7.3 有源滤波电路（2）

四、开关电容滤波器

开关电容电路由受时钟脉冲信号控制的模拟开关、电容器和运算放大电路三部分组成。这种电路的特性与电容器的精度无关，而仅与各电容器电容量之比的准确性有关。在集成电路中，可以通过均匀地控制硅片上氧化层的介电常数及其厚度，使电容量之比主要取决于每个电容电极的面积，从而获得准确性很高的电容比。自八十年代以来，开关电容电路广泛地应用于滤波器、振荡器、平衡调制器和自适应均衡器等各种模拟信号处理电路之中。由于开关电容电路应用 MOS 工艺，故尺寸小，功耗低，工艺过程较简单，且易于制成大规模集成电路。

1、基本开关电容单元

图7.3.26所示为基本开关电容单元电路，两相时钟脉冲 ϕ \phi ϕ 和 ϕ ‾ \overline\phi ϕ 互补，即 ϕ \phi ϕ 为高电平时 ϕ ‾ \overline\phi ϕ 为低电平， ϕ \phi ϕ 为低电平时 ϕ ‾ \overline\phi ϕ 为高电平；它们分别控制电子开关 S 1 S_1 S1 和 S 2 S_2 S2，因此两个开关不可能同时闭合或断开。当 S 1 S_1 S1 闭合时， S 2 S_2 S2 必然断开， u 1 u_1 u1 对 C C C 充电，充电电荷 Q 1 = C u 1 Q_1=Cu_1 Q1=Cu1；而 S 1 S_1 S1 断开时， S 2 S_2 S2 必然闭合， C C C 放电，放电电荷 Q 2 = C u 2 Q_2=Cu_2 Q2=Cu2。设开关的周期为 T c T_c Tc，节点从左到右传输的总电荷为 Δ Q = C Δ u = C ( u 1 − u 2 ) \Delta Q=C\Delta u=C(u_1-u_2) ΔQ=CΔu=C(u1−u2)等效电流 i = Δ Q T c = C T c ( u 1 − u 2 ) i=\frac{\Delta Q}{T_c}=\frac{C}{T_c}(u_1-u_2) i=TcΔQ=TcC(u1−u2)如果时钟脉冲的频率 f c f_c fc 足够高，以至于可以认为在一个时钟周期内两个端口的电压基本不变，则基本开关电容单元就可以等效为电阻，其阻值为 R = u 1 − u 2 i = T c C R=\frac{u_1-u_2}{i}=\frac{T_c}{C} R=iu1−u2=CTc若 C = 1 pF C=1\,\textrm{pF} C=1pF， f c = 100 kHz f_c=100\,\textrm{kHz} fc=100kHz，则等效电阻 R R R 等于 10 MΩ 10\,\textrm{MΩ} 10MΩ。利用 MOS 工艺，电容只需硅片面积 0.01 mm 2 0.01\,\textrm{mm}^2 0.01mm2，所占面积极小，所以解决了集成运放不能直接制作大电阻的问题。

2、开关电容滤波电路

图7.3.27(a)所示为开关电容低通滤波器，图（b）所示为它的原型电路。电路正常工作的条件是 ϕ \phi ϕ 和 ϕ ‾ \overline\phi ϕ 的频率 f c f_c fc 远大于输入电压 U ˙ i \dot U_i U˙i 的频率。因而开关电容单元可等效成电阻 R R R，且 R = T c / C 1 R=T_c/C_1 R=Tc/C1。电路的通带截止频率 f p f_p fp 决定于时间常数 τ = R C 2 = C 2 C 1 T c \tau=RC_2=\frac{C_2}{C_1}T_c τ=RC2=C1C2Tc f p = 1 2 π τ = C 1 C 2 ⋅ f c ( 7.3.47 ) f_p=\frac{1}{2π\tau}=\frac{C_1}{C_2}\cdot f_c\kern 35pt(7.3.47) fp=2πτ1=C2C1⋅fc(7.3.47)由于 f c f_c fc 是时钟脉冲，频率相当稳定；而且 C 1 / C 2 C_1/C_2 C1/C2 是两个电容的电容量之比，在集成电路制作时易于作到准确和稳定，所以开关电容电路容易实现稳定准确的时间常数，从而使滤波器的截止频率稳定。实际电路常常在图7.3.27(a)所示电路的后面加电压跟随器或同相比例运算电路，如图7.3.28所示。

五、状态变量型有源滤波器

将比例、积分、求和等基本运算电路组合在一起，并能够对所构成的运算电路自由设置传递函数，实现各种滤波功能，称这种电路为状态变量型有源滤波电路。这里以二阶为例讲述状态变量型有源滤波器的传递函数的编程、电路的组成和集成电路的特点。

1、二阶有源滤波电路的传递函数

二阶有源滤波电路的传递函数为 A u ( s ) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 b 0 + b 1 s + b 2 s 2 ( 7.3.48 ) A_u(s)=\frac{a_0+a_1s+a_2s^2}{b_0+b_1s+b_2s^2}\kern 40pt(7.3.48) Au(s)=b0+b1s+b2s2a0+a1s+a2s2(7.3.48)根据低通、高通、带通和带阻滤波电路传递函数的表达式（7.3.14）、（7.3.25）、（7.3.34）、（7.3.40），合理选择 a 0 a_0 a0、 a 1 a_1 a1、 a 2 a_2 a2 和 b 0 b_0 b0、 b 1 b_1 b1、 b 2 b_2 b2 的数值（称为编程），即可实现任意传递函数。
当 a 1 = a 2 = 0 a_1=a_2=0 a1=a2=0 时，式（7.3.48）变为 A u ( s ) = a 0 b 0 + b 1 s + b 2 s 2 ( 7.3.49 ) A_u(s)=\frac{a_0}{b_0+b_1s+b_2s^2}\kern 44pt(7.3.49) Au(s)=b0+b1s+b2s2a0(7.3.49)表明电路实现二阶低通滤波。
当 a 0 = a 1 = 0 a_0=a_1=0 a0=a1=0 时，式（7.3.48）变为 A u ( s ) = a 2 s 2 b 0 + b 1 s + b 2 s 2 ( 7.3.50 ) A_u(s)=\frac{a_2s^2}{b_0+b_1s+b_2s^2}\kern 44pt(7.3.50) Au(s)=b0+b1s+b2s2a2s2(7.3.50)表明电路实现二阶高通滤波。
当 a 0 = a 2 = 0 a_0=a_2=0 a0=a2=0 时，式（7.3.48）变为 A u ( s ) = a 1 s b 0 + b 1 s + b 2 s 2 ( 7.3.51 ) A_u(s)=\frac{a_1s}{b_0+b_1s+b_2s^2}\kern 44pt(7.3.51) Au(s)=b0+b1s+b2s2a1s(7.3.51)表明电路实现二阶带通滤波。
当 a 1 = 0 a_1=0 a1=0 时，式（7.3.48）变为 A u ( s ) = a 0 + a 2 s 2 b 0 + b 1 s + b 2 s 2 ( 7.3.52 ) A_u(s)=\frac{a_0+a_2s^2}{b_0+b_1s+b_2s^2}\kern 44pt(7.3.52) Au(s)=b0+b1s+b2s2a0+a2s2(7.3.52)表明电路实现二阶带阻滤波。
由以上分析可知，如果能够根据式（7.3.48）组成电路，并能方便地改变电路参数，就能实现各种滤波功能。改变 a 0 a_0 a0、 a 1 a_1 a1、 a 2 a_2 a2 和 b 0 b_0 b0、 b 1 b_1 b1、 b 2 b_2 b2 的数值，不但能够改变滤波的类型，而且可以获得不同的通带放大倍数和通带截止频率。

2、状态变量型有源滤波电路的组成

根据式（7.3.48），利用基本运算电路可以构造出二阶有源滤波电路，如图7.3.29所示。图中箭头表示信号的传递方向；每个方框表示一个基本运算电路，有比例、积分和求和三种运算电路，方框的输出标注了运算关系。

输入电压所接求和运算电路的输出，即 P \textrm P P 点的表达式为 U p ( s ) = b 2 x = U i ( s ) − b 1 x s − b 0 x s 2 U_p(s)=b_2x=U_i(s)-\frac{b_1x}{s}-\frac{b_0x}{s^2} Up(s)=b2x=Ui(s)−sb1x−s2b0x经整理，可得 U i ( s ) = ( b 0 s 2 + b 1 s + b 2 ) x U_i(s)=\big(\frac{b_0}{s^2}+\frac{b_1}{s}+b_2\big)x Ui(s)=(s2b0+sb1+b2)x输出电压的表达式 U o ( s ) = ( a 0 s 2 + a 1 s + a 2 ) x U_o(s)=\big(\frac{a_0}{s^2}+\frac{a_1}{s}+a_2\big)x Uo(s)=(s2a0+sa1+a2)x所以，传递函数 A u ( s ) = U o ( s ) U i ( s ) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 b 0 + b 1 s + b 2 s 2 A_u(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{a_0+a_1s+a_2s^2}{b_0+b_1s+b_2s^2} Au(s)=Ui(s)Uo(s)=b0+b1s+b2s2a0+a1s+a2s2与式（7.3.48）相同。改变求和运算电路 Ⅱ Ⅱ Ⅱ 的输入，就可改变 A u ( s ) A_u(s) Au(s)，从而得到不同类型的滤波电路。用实际电路取代方框图时，可以适当简化。合理选择积分运算电路的 R R R 和 C C C，可以不需比例运算电路，直接获得合适的 b 0 b_0 b0 和 b 1 b_1 b1。利用二阶电路的构思方法，可以实现高阶滤波电路。

3、集成状态变量型滤波电路

集成状态变量型滤波电路由若干基本运算电路组合而成，仅需外接几个电阻，就可得到低通、高通、带通和带阻滤波电路，因而均为多功能电路。型号为 AF100 的集成电路是二阶集成状态变量型滤波电路，它利用积分运算电路的频率特性来实现滤波作用，内部电路如图7.3.30所示。

从对反相输入低通滤波器的分析可知，积分运算电路具有低通特性。但当频率趋近于零时其电压放大倍数的数值将趋于无穷大，故在电容 C C C 上并联电阻 R 2 R_2 R2，如图7.3.11所示，以确定通带放大倍数。同理，在图7.3.30所示电路中，也是利用电阻网络引入级间负反馈来限制通带放大倍数的。当 U o 1 ( s ) U_{o1}(s) Uo1(s) 接 U i 2 ( s ) U_{i2}(s) Ui2(s) 时，通过电阻 R 1 R_1 R1 引入负反馈；当 U o 1 ( s ) U_{o1}(s) Uo1(s) 接 U i 2 ( s ) U_{i2}(s) Ui2(s)，且 U o 2 ( s ) U_{o2}(s) Uo2(s) 接 U i 3 ( s ) U_{i3}(s) Ui3(s) 时，通过电阻 R 2 R_2 R2 引入负反馈。
AF100 的典型接法之一如图7.3.31所示，凡打 “ * ” 的均为外接电阻。四个集成运放的输出实现四种滤波功能。以集成运放作为放大电路，以一种运算电路作为其反馈通路，便可实现该种运算的逆运算，利用这一道理，可以较容易地理解图7.3.31所示电路的组成及其工作原理。例如，若反馈通路是低通滤波电路，则整个电路实现高通滤波；若反馈通路是高通滤波电路，则整个电路实现低通滤波。在参数选择得当时，若高通滤波电路串联一个低通滤波电路，则整个电路实现带通滤波；若高通滤波电路的输出与低通滤波电路的输出接求和运算电路，则整个电路实现带阻滤波；根据式（7.3.51），若带通滤波电路串联一个积分电路，则必然消去带通滤波电路传递函数中分子的 s s s，故整个电路实现低通滤波。

根据上述原则可知，在 U i ( s ) U_i(s) Ui(s) 作用下，若以 U o 1 ( s ) U_{o1}(s) Uo1(s) 为输出，则因其反馈通路为串接的两个积分运算电路，即二阶低通滤波电路，故实现的是二阶高通滤波。若以 U o 2 ( s ) U_{o2}(s) Uo2(s) 为输出，则因高通滤波的输出 U o 1 ( s ) U_{o1}(s) Uo1(s) 又经低通滤波，故实现带通滤波。若以 U o 3 ( s ) U_{o3}(s) Uo3(s) 为输出，则因带通滤波的输出 U o 2 ( s ) U_{o2}(s) Uo2(s) 又经积分电路，故实现低通滤波。若以 U o 4 ( s ) U_{o4}(s) Uo4(s) 为输出，则因高通滤波的输出 U o 1 ( s ) U_{o1}(s) Uo1(s) 和低通滤波的输出 U o 3 ( s ) U_{o3}(s) Uo3(s) 经求和运算，故必然实现带阻滤波。因此，整个电路从不同的输出端得到四种不同的滤波功能。电路具体的分析计算如下。
A 1 A_1 A1 同相输入端（这里 R 1 R_1 R1 的阻值应该为 10 k Ω 10\,\textrm kΩ 10kΩ） U p ( s ) = 0.1 U o 2 ( s ) U_p(s)=0.1U_{o2}(s) Up(s)=0.1Uo2(s)根据叠加原理，以 U i ( s ) U_i(s) Ui(s)、 U o 2 ( s ) U_{o2}(s) Uo2(s) 和 U o 3 ( s ) U_{o3}(s) Uo3(s) 为输入，第一级求和电路的输出 U o 1 ( s ) = − U i ( s ) + 0.2 U o 2 ( s ) − 0.1 U o 3 ( s ) U_{o1}(s)=-U_i(s)+0.2U_{o2}(s)-0.1U_{o3}(s) Uo1(s)=−Ui(s)+0.2Uo2(s)−0.1Uo3(s)即 U i ( s ) = − U o 1 ( s ) + 0.2 U o 2 ( s ) − 0.1 U o 3 ( s ) ( 7.3.53 ) U_i(s)=-U_{o1}(s)+0.2U_{o2}(s)-0.1U_{o3}(s)\kern 25pt(7.3.53) Ui(s)=−Uo1(s)+0.2Uo2(s)−0.1Uo3(s)(7.3.53)若 R 6 R_6 R6、 R 7 R_7 R7 用 R R R 取代， C 1 C_1 C1、 C 2 C_2 C2 用 C C C 取代，则 U o 1 ( s ) U_{o1}(s) Uo1(s)、 U o 2 ( s ) U_{o2}(s) Uo2(s) 和 U o 3 ( s ) U_{o3}(s) Uo3(s) 之间的关系为 U o 2 ( s ) = − U o 1 ( s ) s R C ( 7.3.54 ) U_{o2}(s)=-\frac{U_{o1}(s)}{sRC}\kern 85pt(7.3.54) Uo2(s)=−sRCUo1(s)(7.3.54) U o 3 ( s ) = − U o 2 ( s ) s R C = U o 1 ( s ) ( s R C ) 2 ( 7.3.55 ) U_{o3}(s)=-\frac{U_{o2}(s)}{sRC}=\frac{U_{o1}(s)}{(sRC)^2}\kern 40pt(7.3.55) Uo3(s)=−sRCUo2(s)=(sRC)2Uo1(s)(7.3.55) U o 1 ( s ) = − s R C U o 2 ( s ) = ( s R C ) 2 U o 3 ( s ) ( 7.3.56 ) U_{o1}(s)=-sRCU_{o2}(s)=(sRC)^2U_{o3}(s)\kern 20pt(7.3.56) Uo1(s)=−sRCUo2(s)=(sRC)2Uo3(s)(7.3.56)将式（7.3.54）、（7.3.55）、（7.3.56）代入式（7.3.53），可以分别求出 U o 1 ( s ) U_{o1}(s) Uo1(s)、 U o 2 ( s ) U_{o2}(s) Uo2(s)、 U o 3 ( s ) U_{o3}(s) Uo3(s) 和 U i ( s ) U_i(s) Ui(s) 之间的传递函数 A u 1 ( s ) = U o 1 ( s ) U i ( s ) = − 10 ( s R C ) 2 1 + 2 s R C + 10 ( s R C ) 2 ( 7.3.57 ) A_{u1}(s)=\frac{U_{o1}(s)}{U_i(s)}=-\frac{10(sRC)^2}{1+2sRC+10(sRC)^2}\kern 10pt(7.3.57) Au1(s)=Ui(s)Uo1(s)=−1+2sRC+10(sRC)210(sRC)2(7.3.57) A u 2 ( s ) = U o 2 ( s ) U i ( s ) = 10 s R C 1 + 2 s R C + 10 ( s R C ) 2 ( 7.3.58 ) A_{u2}(s)=\frac{U_{o2}(s)}{U_i(s)}=\frac{10sRC}{1+2sRC+10(sRC)^2}\kern 17pt(7.3.58) Au2(s)=Ui(s)Uo2(s)=1+2sRC+10(sRC)210sRC(7.3.58) A u 3 ( s ) = U o 3 ( s ) U i ( s ) = − 10 1 + 2 s R C + 10 ( s R C ) 2 ( 7.3.59 ) A_{u3}(s)=\frac{U_{o3}(s)}{U_i(s)}=-\frac{10}{1+2sRC+10(sRC)^2}\kern 10pt(7.3.59) Au3(s)=Ui(s)Uo3(s)=−1+2sRC+10(sRC)210(7.3.59)因为 U o 4 ( s ) = − [ A u 1 ( s ) + A u 3 ( s ) ] U i ( s ) U_{o4}(s)=-[A_{u1}(s)+A_{u3}(s)]U_i(s) Uo4(s)=−[Au1(s)+Au3(s)]Ui(s)，所以 A u 4 ( s ) = U o 4 ( s ) U i ( s ) = − 10 + 10 ( s R C ) 2 1 + 2 s R C + 10 ( s R C ) 2 ( 7.3.60 ) A_{u4}(s)=\frac{U_{o4}(s)}{U_i(s)}=-\frac{10+10(sRC)^2}{1+2sRC+10(sRC)^2}\kern 10pt(7.3.60) Au4(s)=Ui(s)Uo4(s)=−1+2sRC+10(sRC)210+10(sRC)2(7.3.60)将式（7.3.57）、（7.3.58）、（7.3.59）、（7.3.60）与式（7.3.49）、（7.3.50）、（7.3.51）、（7.3.52）比较可知， A u 1 ( s ) A_{u1}(s) Au1(s)、 A u 2 ( s ) A_{u2}(s) Au2(s)、 A u 3 ( s ) A_{u3}(s) Au3(s) 和 A u 4 ( s ) A_{u4}(s) Au4(s) 分别为高通、带通、低通和带阻滤波电路的传递函数，与定性分析的结果相同。