多重假设检验：Bonferroni 和 FDR

在进行生物统计学的计算过程中，P值是需要进行校正的。因为P值的阈值是人为规定的，无论是多小的P值，也仅仅能代表结果的低假阳性，而非保证结果为真。即使P值已经很小（比如0.05），也会被检验的总次数无限放大。比如检验10000次，得到假阳性结果的次数就会达到 5%*10000=500次。
所以这时候我们就需要引入多重检验来进行校正，从而减低假阳性结果在我们的检验中出现的次数。

主要使用的校正办法有两种：

1、Bonferroni 校正

Bonferroni 校正法可以称作是“最简单粗暴有效”的校正方法，它拒绝了所有的假阳性结果发生的可能性，通过对p值的阈值进行校正来实现消除假阳性结果。

Bonferroni 校正的公式为p(1/n)，其中p为原始阈值，n为总检验次数。

如果像我们举的例子一样，原始的P值为0.05，检验次数为10000次，那么在Bonferroni 校正中，校正的阈值就等于5%/ 10000 = 0.000005，所有P值超过0.00005的结果都被认为是不可靠的。这样的话假阳性结果在10000次检验中出现的次数为 10000 * 0.000005 =0.5，还不到1次。

但是这也存在问题：Bonferroni 委实太过严格，被校正后的阈值拒绝的不只有假阳性结果，很多阳性结果也会被它拒绝。

2. FDR（FalseDiscovery Rate）校正

相对Bonferroni 来说，FDR温和得多，这种校正方法不追求完全没有假阳性结果，而是将假阳性结果和真阳性的比例控制在一定范围内。

举个例子，我们最开始设定的情况中进行了10000次检验，这次我们设定FDR<0.05，如果我们的检验对象为差异表达的基因，那么在10000次检验中假如得到了500个基因，那么这500个基因中的假阳性结果小于 500*5% = 25 个。

FDR的计算方法有很多种，这里介绍一个比较常用的：

BH（Benjaminiand Hochberg）法：

BH 法需要将总计m次检验的结果按由小到大进行排序，k为其中一次检验结果的P值所对应的排名。

找到符合原始阈值α的最大的k值，满足P(k)<=αk/m，认为排名从1到k的所有检验存在显著差异，并计算对应的q值公式为q = p(m/k)。

举个例子，如果我们有总共六个结果进行FDR校正：

按α=0.05进行计算：
排名第四的 P (4) = 0.03 < 0.05 4/6 = 0.033，符合要求
排名第五的 P (5)= 0.045 > 0.055/6 = 0.041，不满足P(k)<=α*k/m，因此在这个列表里排名前四的G2,G6,G5,G4 为具有显著差异的基因。

我们也可以用q值进行FDR校正：

排名第五的G3，其q值大于0.05，故G2,G6,G5,G4 为具有显著差异的基因。