【2017 BSUIR Semifinal D】Friends rescue 题解
题目大意
有一个池塘,中间有 nnn 行 n+1n+1n+1 列的石头阵。
连边只能连相邻的格子,相邻定义为四连通。
现在左边第一列石头已经跟左边大陆 LLL 相连,右边最后一列石头已经跟右边大陆 RRR 相连。问剩下的有多少种连边方式,使得 LLL 与 RRR 连通。
n≤42n \leq 42n≤42
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题解
观察能力是真nmd缺啊。。。
看这个图
绿色边不影响连通性,先不考虑。
我们要连的是红色的边,考虑把这幅图的对偶图做出来(蓝边),如果某一条红边没有连上,那么就把对应的蓝边连上。
于是就会发现,每一种连边方案,要么 LRLRLR 连通,要么 UDUDUD 连通。
进而发现,红边的规模跟蓝边的规模是完全一样的,也就是说,任意一种 LRLRLR 连通的方案,都可以翻转一下,成为一种 UDUDUD 连通的方案,反之亦然。
所以 LRLRLR 连通的方案数等于 UDUDUD 连通的方案数。
所以 LRLRLR 连通的方案数等于(红边的)总方案数除以 222,再乘上绿边的方案数。
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