聚类标准误（cluster standard errors）是什么，什么情况下需要聚类，控制了固定效应（fixed effect）还需要聚类吗？

Cluster standard errors又称 or Liang-Zeger standard errors。

1. Intuition-一个经典的例子

如果想考察一项新的教学方式，如引入课堂投影仪对学生成绩的影响。将全国的学校分为实验组和控制组，实验组的班级里老师开始使用投影仪，而控制组则未使用。当使用计量模型分析引入投影仪对学生成绩的影响时，我们可能保留student-level的数据，核心解释变量就是是否引入投影仪，同时控制student-level的其他characteristics，如智商、家庭收入等。此时，在估计系数时，会发现classic或者heteroscedasticity-robust standard error均不合适，因为在同一个班级内，学生成绩并非独立分布的。例如，一个班级的教师水平更高的话，可能该班级的学生的成绩整体更高。因而可以在class-level进行cluster standard errors。（有一个疑问，这里和直接控制class fixed effect的区别是什么？）

2. 数学推导

3. 什么时候选择cluster standard errors

Athey, Abadie, Imbens and Wooldridge（2022）when should you cluster standard errors

提出，在下面两种情况下的时候，需要cluster

第一种，a sampling design reason：具体而言，当我们拿到的sample其实是整体（population）通过整群抽样（cluster sampling）得到的，而我们又想使用sample得到的分析结果来解释population的性质，此时需要使用cluster standard error，并且在哪个level进行cluster sampling的，就在这个level进行cluster。

第二种，an experimental design: causal treatment 对实验组的冲击，实验组和对照组的选择是clustered，则需选择cluster standard error。例如一项政策的treatment 对象是个体，则无需选择cluster，但如果treatment是某些village的个体，则需要在village层面进行cluster。

4. Cluster standard error与控制fixed effect的区别？

如果在city-level抽样，并且在回归中控制了城市层面的固定效应，此时还需要在city-level的cluster吗？作者给的建议是此时还是需要进行一个判断，回归使用的样本是否是cluster sampling或者assignment to treatment was clustered，若是，则还是需要进行city-level 的cluster。

参考：

https://en.wikipedia.org/wiki/Clustered_standard_errors

When should you cluster standard errors? New wisdom from the econometrics oracle