前言

排列与组合问题，无论是在我们生活中还是项目实际运用中，都说非常之常见的。那么，如何去运用算法思想生成全排列（一组元素的所有排列）呢？
首先，我们来算一笔账。组合是无序的，只需要从一组数据中找到一个子组即可，而组合数如下：

那么排列呢？只会比组合更为复杂，排列在组合的基础上，加了顺序，我们需要获取的是带有顺序的一组数据，n个数据中取m个数进行排列，总排列数如下：

而全排列，是在n个中取n个进行排列，则全排列个数为n!，n!级别的计算量，在算法运算中，本就已经是很大的量了，再加上我们还要通过一些算法来获取到全排列，那么，这个算法的复杂度级别注定会非常高。
插入法获取全排列，这是一个非常容易想到的方法，利用全面已经获取到的排列，直接插入来获取排列，但是这个算法不仅实施起来有难度，而且其复杂度也是在n!之上，显然不可取，这就是为什么我们要理解Johnson Trotter全排列算法了。

一、算法思想分析

Johnson Trotter全排列算法，是一种非常高效的生成全排列的算法。其原理在于，我们为需要排列的每个元素进行标记，先赋予一个初始排列，在初始排列的基础上，获取所有的排列。

赋予从小到大的初始排列，将每个元素赋予一个方向，所有元素的初始方向，全部指向较小的方向（可以理解为左方），如果箭头指向一个相邻的较小元素（就是我指定的方向的相邻的元素比我小），我们说它在这个箭头标记的排列中是可移动的元素。而可移动元素显然不可能只有一个，但是对于n个需要排列的数据，我们在一次遍历之后，查找到的最大的可移动元素才是我们想要的元素。
怎么处理这个最大的可移动元素？在一轮遍历找到最大的可移动元素后，我们将最大的可移动元素与其指向的相邻元素（就是我指的那个较小的元素）交换位置，由此便产生了一次排列。
在交换了顺序之后，再重复上述操作？不，这里需要再加一步操作：我们需要将所有比我们刚才找到的最大的可移动元素大的元素（这里需要理清一下最大可移动的概念，比最大可移动元素还要大的元素不一定是可以移动元素哦），将这些元素的指向进行反转（例如：如果原先指向左边，则重新指向到右边），完成这一步之后，再重复上述操作，继续查找最大可移动元素。
最后，直至我们找不到可移动元素，那么我们认定，全排列已经生成。

Johnson Trotter全排列算法的思想较容易理解，用代码实现起来较为轻松，但这个算法也因此存在缺点，存在什么缺点？大家可以思考一下。

二、算法效率分析

emmmm我能不分析么。。。
总的来说，因为全排列的个数本身就已经有n!个了，那么算法复杂度再怎么优化也是大于n!的，但相对于其他算法，本算法对于全排列个数本身，可以说是线性级别的。
具体级别，大家有兴趣可以分析一下，如果分析出来了，可以留言给我一份嘿嘿，非常感谢。

三、算法代码

C语言代码

C语言的代码如下，如果代码中有任何问题，大家都可以提出来，欢迎指正，感激不尽。今天就先不贴JavaScript代码了，晚上还要肝英语作业emmmmm。

/*johnson-Trotter 全排列算法 输入：一个随机数n  输出：展示n的全排列 因排列有限 最大先限制为7 */
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
struct element {/*值*/int value;/*状态*/int state;
};
#define MAXN 100
/*全局数组*/
element arr[MAXN];
int counter=0;/*交换ele函数 显然 我们交换的是地址*/
void swap(int i,int j){element t=arr[i];arr[i]=arr[j];arr[j]=t;
} /*参数1：数组长度  参数2：上一次查找后所得到的最大可移动元素的位置*/
void JST(int n,int maxIndex) {/*上一次查找后 输出一次排列*/printf("第%d个:",++counter);for(int i=1; i<=n; i++) {printf("%d",arr[i]);}printf("\n");/*因为上一次其实已经查找过最大可移动元素 当前只有将最大可移动元素与它该交换的位置交换即可 这里我们需要明确 交换之后的排列 是在下一次输出的（前提是下一次存在交换的）*//*交换*/int maxIndexValue=arr[maxIndex].value;swap(maxIndex,maxIndex+arr[maxIndex].state);/*变换所有比上一次查找出来的元素大的方向*/for(int i=1;i<=n;i++){if(arr[i].value>maxIndexValue){arr[i].state=(arr[i].state==1)?-1:1;}}/*找到下一次最大可移动元素 我们先假设存在*/int isCanMove=false; // 必须假设一个是否可移动 因为我假设了第一个可移动 所以必须有一个标准来衡量是否可以的 来达到出口条件的要求int flagMax; // 标记最大可移动元素的位置 假设第一个int valueMax=-1; // 标记最大可移动元素的值 假设第一个for(int i=1; i<=n; i++) {/*如果为1 向 右 比较*/if(arr[i].state==1) {if(arr[i].value>arr[i+1].value&&arr[i].value>=valueMax) {flagMax=i;valueMax=arr[i].value;isCanMove=true;}}/*如果为-1 向 左 比较*/if(arr[i].state==-1) {if(arr[i].value>arr[i-1].value&&arr[i].value>=valueMax) {flagMax=i;valueMax=arr[i].value;isCanMove=true;}}}/*如果还可以移动 则进入下一次的排列 */if(isCanMove) JST(n,flagMax);else {printf("第%d个:",++counter);for(int i=1; i<=n; i++) {printf("%d",arr[i]);}}return ;
}
int main() {/*改变随机种子数 保证每次的随机数不一样*/srand(time(NULL));/*2~7以内的随机全排列*/int n = rand() % 5+2;/* 数组赋值 初值是位置值 状态全部向左 即-1 向右则为1 */arr[0].value=9999; // 0位置元素极大 保证第一个元素不会与之交换  反正正常数组里面最大的为7 arr[n+1].value=9999; // 同理 for(int i=1; i<=n; i++) {arr[i].value=i;arr[i].state=-1;}/*调用全排列算法 显然 第一次默认最后一个元素为最大可以的元素 所以第二个参数传递位置：n*/JST(n,n);printf("\n %d个数全排列共有%d个 ",n,counter);
}

后记

非常感谢看到这里。
在众多的排列算法之中，Johnson Trotter算法思想是较为好理解的，无论是对于手写全排列，还是对于计算机编程全排列，其思想都是易于实现的。并且其复杂度也是相对较低的（还是那句话，本身全排列个数就已经n!了，算法效率也没法低了）。而前面我们提到，Johnson Trotter算法本身存在一个缺陷，是什么呢？Johnson-Trotter算法生成的是最小变化的序，对于需要字典序列的全排列（例如：123，132，213，231，312，312），是无法满足的，这也是它的一个小缺陷了，不过它已经很强大了。
JavaScript代码后续会更新，记得用node运行更佳哦。

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算法设计与分析——Johnson Trotter算法

目录

前言

一、算法思想分析

二、算法效率分析

三、算法代码

C语言代码

后记

算法设计与分析——Johnson Trotter算法相关推荐

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