图的存储 —— 邻接矩阵

图的结构比较复杂，任何两个节点之间都可能有关系。
图的存储分为顺序存储和链式存储。
顺序存储包括邻接矩阵和边集数组，
链式存储包括邻接表、链式前向星、十字链表和邻接多重表。

图的存储 —— 邻接矩阵

邻接矩阵通常采用一个一维数组存储图中节点的信息，采用一个二维数组存储图中节点之间的邻接关系。

【邻接矩阵的表示方法】

无向图、有向图和网的邻接矩阵的表示方法如下所述。

① 无向图的邻接矩阵

在无向图中，若从节点vi 到节点vj 有边，则邻接矩阵 M [ i ][ j ]= M [ j ][ i ]=1，否则 M [ i ][ j ]=0。

例如，一个无向图的节点信息和邻接矩阵如下图所示。

在该无向图中，从节点a 到节点b 有边，从节点b 到节点a 也有边，节点a 、b 在一维数组中的存储位置分别为0、1，则 M [ 0 ][ 1 ]= M [ 1 ][ 0 ]=1。

无向图的邻接矩阵的特点如下：

无向图的邻接矩阵是对称矩阵，并且是唯一的。
第i 行或第i 列非零元素的个数正好是第i 个节点的度。上图中的邻接矩阵，第3列非零元素的个数为2，说明第3个节点c 的度为2。

② 有向图的邻接矩阵

在有向图中，若从节点vi 到节点vj 有边，则邻接矩阵 M [ i ][ j ]=1，否则 M [ i ][ j ]=0。

以尖括号<vi ,vj >表示的是有序对，以圆括号(vi ,vj )表示的是无序对

例如，一个有向图的节点信息和邻接矩阵如下图所示。

在该有向图中，从节点a 到节点b 有边，节点a 、b 在一维数组中的存储位置分别为0、1，因此 M [ 0 ][ 1 ]=1。有向图中的边是有向边，从节点a 到节点b有边，从节点b 到节点a 不一定有边，因此有向图的邻接矩阵不一定是对称的。

有向图的邻接矩阵的特点如下：

有向图的邻接矩阵不一定是对称的。
第i 行非零元素的个数正好是第i 个节点的出度，第i 列非零元素的个数正好是第i 个节点的入度。上图中的邻接矩阵，第3行非零元素的个数为2，第3列非零元素的个数也为2，说明第3个节点c 的出度和入度均为2。

③ 网的邻接矩阵

网是带权图，需要存储边的权值，则邻接矩阵表示为

其中，wij 表示边上的权值，∞表示无穷大。当i =j 时，wii 也可被设置为0。

例如，一个网的节点信息和邻接矩阵如下图所示。

在该网中，从节点a 到节点b 有边，且该边的权值为2，节点a 、b 在一维数组中的存储位置分别为0、1，因此 M [ 0 ][ 1 ]=2。从节点b 到节点a 没有边，因此 M [ 1 ][ 0 ]=∞。

【邻接矩阵的数据结构定义】

首先定义邻接矩阵的数据结构，如下图所示。

#define MaxVnum 100  //节点数的最大值
typedef char VexType;  //节点的数据类型，根据需要定义
typedef int EdgeType;  //边上权值的数据类型，若为不带权值的图，则为0或1

【邻接矩阵的存储方法】

[算法步骤]

输入节点数和边数
依次输入节点信息，将其存储到节点数组Vex[]中；
初始化邻接矩阵，如果是图，则将其初始化为0；如果是网，则将其初始化为∞；
依次输入每条边依附的两个节点，如果是网，则还需要输入该边的权值。

如果是无向图，则输入a b ，查询节点a、b 在节点数组Vex[]中的存储下标i 、j ，令Edge[ i ][ j ]=Edge[ j ][ i ]=1
如果是无向网，则输入a b w ，查询节点a、b 在节点数组Vex[]中的存储下标i 、j ，令Edge[ i ][ j ]=Edge[ j ][ i ]=w 。
如果是有向网，则输入a b w ，查询节点a、b 在节点数组Vex[]中的存储下标i 、j ，令Edge[ i ][ j ]=w 。

[完美图解]

一个无向图如下图所示，其邻接矩阵的存储过程如下所述。

① 输入节点数和边数。

4 5

结果：G .vexnum=4、G .edgenum=5。

② 输入节点信息，将其存入节点信息数组。

a b c d

存储结果如下图所示。

③ 初始化邻接矩阵的值均为0，如下图所示。

④ 依次输入每条边依附的两个节点。

输入a b ，处理结果：在Vex[]数组中查找到节点a 、b 的下标分别为0、1，是无向图，因此令Edge[0][1]=Edge[1][0]=1，如下图所示。
输入a d ，处理结果：在Vex[]数组中查找到节点a 、d 的下标分别为0、3，是无向图，因此令Edge[0][3]= Edge[3][0]=1，如下图所示。
输入b c ，处理结果：在Vex[]数组中查找到节点b 、c 的下标分别为1、2，是无向图，因此令Edge[1][2]= Edge[2][1]=1，如下图所示
输入b d ，处理结果：在Vex[]数组中查找到节点b 、d 的下标分别为1、3，是无向图，因此令Edge[1][3]= Edge[3][1]=1，如下图所示
输入c d ，处理结果：在Vex[]数组中查找到节点c 、d 的下标分别为2、3，是无向图，因此令Edge[2][3]= Edge[3][2]=1，如下图所示

在实际应用中，也可以先输入节点信息并将其存入数组Vex[]。在输入边时直接输入节点的存储下标序号，这样可以节省查询节点下标所需的时间，从而提高效率。

[算法实现代码]

void CreateAMGragh(AMGragh &G){int i , j ;VexType u , v;cout << "请输入节点数：" << endl;cin >> G.vexnum;cout << "请输入边数：" << endl;cin >> G.edgenum;cout << "请输入节点信息：" << endl;for(int i = 0 ; i < G.vexnum ; i ++){ //输入节点信息，将其存入节点信息数组cin >> G.Vex[i];}for(int i = 0 ; i < G.vexnum ; i++){ //初始化邻接矩阵的所有值为0，如果是网，则初始化其邻接矩阵为无穷大for(int j = 0; j < G.vexnum ; j ++){G.Edge[i][j] = 0;}}cout << "请输入每条边依附的两个节点：" << endl;while(G.edgenum --){cin >> u >> v;i = locatevex(G , u);  //查找节点u 的存储下标j = locatevex(G , v);  //查找节点v 的存储下标if(i != -1 && j != -1){G.Edge[i][j] = G.Edge[j][i] = 1;  //将邻接矩阵设置为1}}
}

【邻接矩阵的优缺点】

优点：

快速判断在两节点之间是否有边。在图中，Edge[i ][j ]=1，表示有边；Edge[i ][j ]=0，表示无边。在网中，Edge[i ][j ]=∞，表示无边，否则表示有边。时间复杂度为O (1)。
方便计算各节点的度。在无向图中，邻接矩阵第i 行元素之和就是节点i 的度；在有向图中，第i 行元素之和就是节点i 的出度，第i列元素之和就是节点i 的入度。时间复杂度为O (n )。

缺点：

不便于增删节点。增删节点时，需要改变邻接矩阵的大小，效率较低。
不便于访问所有邻接点。访问第i 个节点的所有邻接点时，需要访问第i 行的所有元素，时间复杂度为O (n )。访问所有节点的邻接点，时间复杂度为O (n^2 )。
空间复杂度高，为O (n^2 )。

在实际应用中，如果在一个程序中只用到一个图，就可以用一个二维数组表示邻接矩阵，直接输入节点的下标，省去节点信息查询步骤。有时如果图无变化，则为了方便，可以省去输入操作，直接在程序头部定义邻接矩阵。
例如，可以直接定义图的邻接矩阵如下：

int M[m][n] = {{0,1,0,1} , {1,0,1,1} , {0,1,0,1} , {1,1,1,0}};

图的存储 —— 邻接矩阵相关推荐

图的存储邻接矩阵+邻接表+链式前向星
图的存储 - 邻接矩阵在树的问题中,邻接矩阵是空间.时间的极大浪费. 假设树的结点个数为 N = 100000. 建立邻接矩阵需要空间为 1e5*1e5 但是由于只有 N - 1 条边,所以在邻接矩 ...
c语言图的存储邻接矩阵,数据结构之---C语言实现图的数组（邻接矩阵）存储表示...
//图的数组(邻接矩阵)存储表示 #include #include #define MAX_VEX_NUM 50 typedef char VertexType; typedef enum { DG ...
图的存储-邻接矩阵和邻接表之间的相互转化
邻接矩阵和邻接表之间的相互转化,输出邻接矩阵和邻接表算法实现. 将文件保存为GraphBasicOperation.cpp文件,具体实现如下: #include <stdio.h> #in ...
图的存储--邻接矩阵和邻接表(链表实现和用vector实现)
邻接矩阵: #include<iostream> #include<vector> #include<iomanip> #include<string> ...
网状结构（图）图的存储（邻接矩阵、邻接表）、图的遍历（深度DFS、广度BFS）、图的最短路径
图多对多关系是一种网状数据结构,图是由非空的顶点集合和一个描述顶点之间关系的集合组成其定义 Graph = (V, E) V={x | x ∈某个数据对象} E = {<u, v> ...
图/图的存储/图的遍历
图的概念:图的数据结构由两个集合构成,一个是顶点集V (vertex),一个是边集E(Edge):无向图一般记为G(V , E) :有向图记为 G<V, E> 有向图就是边的指向是有方向区 ...
图的数组(邻接矩阵)存储结构
图是比较复杂的数据结构,它由顶点和顶点之间的弧或边组成.任何两个顶点之间都可能存在弧或边.在计算机存储图时,只要能表示出顶点的个数及每个顶点的特征.每对顶点之间是否存在弧(边)及弧(边)的特征,就 ...
假设以邻接矩阵作为图的存储结构_图的存储
因为图的结构特点,使得其在存储.遍历也相对复杂一些. 邻接矩阵存储图最简单的方式就是将图的顶点用一维数组存储进来,然后将边信息存储在二维矩阵中,这两个数组合称为图的邻接矩阵(Adjacency Ma ...
(王道408考研数据结构)第六章图-第二节1：图的存储结构（邻接矩阵、邻接表、十字链表和邻接多重表）
文章目录一:邻接矩阵--适合存储稠密图 (1)邻接矩阵定义 (2)代码二:邻接表 (1)邻接表定义 (2)代码 (3)邻接表和邻接矩阵对比三:十字链表(用于有向图) 四:邻接多重表(用于优化无向 ...

图的存储 —— 邻接矩阵

图的存储 —— 邻接矩阵

图的存储 —— 邻接矩阵相关推荐

最新文章

热门文章