时间复杂度简述及例题

一，时间复杂度

一个算法需要的运算时间常与问题规模有关，问题规模是一个和输入有关的量n，通常把算法运行需要的时间T表示为n的函数，为T(n)

不同的算法中，n增长时，T增长的快慢很不相同，一个算法所需的执行时间就是该算法中所有语句执行次数之和，当n逐渐增大时，T(n)的极限情况，简称为时间复杂度

二，常用的时间复杂度大小次序

O(1)<O(log2n)<O(n)<O(nlog2n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

数量级越大，该算法效率越低

三，分析算法时间复杂度

x=0;y=0;for(k=1;k<=n;k++)x++;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)y++;分析：
其包含两个循环体，第一个循环的时间复杂度为n
第二个是双重循环，其时间复杂度为n^2，所以以上程序的时间复杂度是：T(n)=n+n^2则其时间复杂度为：T(n)=O(n^2)

i=1;
while(i<=n)i=2*i;分析：
第3行执行次数是f(n)，则2^f(n)<=n所以T(n)=O(log2n)

void mult(int a[][N],int b[][N],int c[][N])
{for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){c[i][j]=0;for(k=0;k<n;k++)c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];}
}分析：
嵌套循环为每层循环次数的乘积，因为该函数三重循环
所以时间复杂度为：T(n)=O(n^3)

四，例题

例题一：(洛谷) P2249 查找

分析：

1，一般测试点都会有一个极限数据，所以要分析时间复杂度，确保能过所有测试点。

2，如果用平常的循环访问查找，n个系数，处理m个访问，其时间复杂度是O(nm)=10^6 * 10^5 = 10^11，而测评机1秒只会执行10^9次运算，所以一定会超时，因此要寻找其他算法来解题。

3，查找算法中，根据不同情况有不同解法，我们先接触到的是二分算法，其时间复杂度是O(log2n)，所以值得一试。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000006int n,m,a[N],s;int find(int s){//二分算法本体int r=n,l=1;while (r>l){int mid = (r+l)/2;if(a[mid] >= s)r = mid;else l = mid+1;}if(a[l] == s)return l;else return -1;
}int main(){cin>>n>>m;for(int i = 1;i <= n;i++){cin>>a[i];}for(int j = 1;j <= m;j++){cin>>s;cout<<find(s)<<" ";}return 0;
}

例题二：(洛谷) P8780 [蓝桥杯 2022 省 B] 刷题统计

分析：

先看问题规模，如果用普通循环来计算，必超时，但是这题又不用查找，所以要想办法，把不必要的计算部分舍掉。

代码如下（简单版）：

#include<iostream>
using namespace std;int main(){long long a,b,c,i,weeks,left,sum=0;cin>>a>>b>>c;weeks = c / (a*5+b*2);//需要几个星期left = c % (a*5+b*2);//几个星期之后剩的题for(i =1;i <= 7;i++){//剩下的题会在这个星期之内做完if(i>5){sum += b;if(sum >= left)break;//如果剩下的题能在这次sum中做完，就结束}else {sum += a;if(sum >= left)break;}}if(left == 0)cout<<weeks*7<<endl;else cout<<weeks*7+i<<endl;return 0;
}

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