[矩阵论]欧氏空间的线性变换是正交变换的充要条件是，它对于标准正交基的矩阵是正交矩阵

证明：
设欧氏空间VnV^nVn的标准正交基为x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn，线性变换TTT在该基下的矩阵为A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times n}A=(aij)n×n.
必要性。若TTT是正交变换，那么(Txi,Txj)=(xi,xj)=δij(Tx_i,Tx_j)=(x_i,x_j)=\delta_{ij}(Txi,Txj)=(xi,xj)=δij.另一方面，由于
Txi=a1ix1+a2ix2+⋯+anixnTxj=a1jx1+a2jx2+⋯+anjxnTx_i=a_{1i}x_1+a_{2i}x_2+\cdots+a_{ni}x_n \\Tx_j=a_{1j}x_1+a_{2j}x_2+\cdots+a_{nj}x_nTxi=a1ix1+a2ix2+⋯+anixnTxj=a1jx1+a2jx2+⋯+anjxn
可得：
(Txi,Txj)=∑k=1nakiakj=δij(Tx_i,Tx_j)=\sum_{k=1}^na_{ki}a_{kj}=\delta_{ij}(Txi,Txj)=k=1∑nakiakj=δij
即AAA的nnn个列是两两正交的单位向量，也就是AAA为正交矩阵。
充分性。设ATA=IA^TA=IATA=I，对任意x∈Vnx\in V^nx∈Vn，有
x=(x1,x2,⋯,xn)[ξ1ξ2⋮ξn],Tx=(x1,x2,⋯,xn)A[ξ1ξ2⋮ξn]x=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \vdots\\ \xi_n \end{bmatrix},Tx=(x_1,x_2,\cdots,x_n)A \begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \vdots\\ \xi_n \end{bmatrix}x=(x1,x2,⋯,xn)⎣⎢⎢⎢⎡ξ1ξ2⋮ξn⎦⎥⎥⎥⎤,Tx=(x1,x2,⋯,xn)A⎣⎢⎢⎢⎡ξ1ξ2⋮ξn⎦⎥⎥⎥⎤
由于VnV^nVn中两个向量的内积，就等于这两个向量在VnV^nVn的标准正交基下的坐标向量的内积（RnR^nRn中），所以
(Tx,Tx)=(ξ1,ξ2,⋯,ξn)ATA[ξ1ξ2⋮ξn]=(x,x)(Tx,Tx)=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)A^TA \begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \vdots\\ \xi_n \end{bmatrix}=(x,x)(Tx,Tx)=(ξ1,ξ2,⋯,ξn)ATA⎣⎢⎢⎢⎡ξ1ξ2⋮ξn⎦⎥⎥⎥⎤=(x,x)
即TTT是正交变换。
证毕

[矩阵论]欧氏空间的线性变换是正交变换的充要条件是，它对于标准正交基的矩阵是正交矩阵相关推荐

【矩阵论】07——线性变换——线性变换的矩阵
本系列文章由Titus_1996 原创,转载请注明出处. 文章链接:https://blog.csdn.net/Titus_1996/article/details/83093450 本系列文章使 ...
矩阵论-线性空间与线性变换（一）
矩阵论刚开始学习的时候很抽象,感觉很多不懂,但是反复看了几遍定义后,得到了一些心得体会. 定义1.1 线性空间:线性空间在本科线性代数课中在最后的章节很简单的谈了一下,没想到矩阵论开头就是暴击,第一次 ...
【矩阵论笔记】线性变换在不同基偶下的矩阵之间的关系
研究在不同基下的线性变换,是为了找到比较简单的形式在同一个线性空间不同基下的线性变换之间的关系我们为了找比较简单的形式例题这个就是套公式的形状,是一个比较固定的求法.把这个特征向量构成的矩阵P ...
【矩阵论笔记】线性变换的不变子空间
定义定理1 定理2 证明略.
【矩阵论笔记】线性变换的特征值和特征向量（几何重数和代数重数）
定理几何重数特征子空间的维数为几何重数,因为空间是几何里的概念. 代数重数相同特征值的个数几何重数 ≤ 代数重数例题
【矩阵论笔记】线性变换的矩阵表示
定义例子例题2
【杂文随笔1】学习笔记（含欧氏空间、范数、李群与李代数、单满双射、矩阵求导等）
文章目录前言一.欧几里得空间(欧氏空间) 二.范数 1. 定义1 2. 定义2 三.李群与李代数四.单.满.双射五.矩阵的求导六.齐次坐标七.尺寸不变性.旋转不变性八.句柄(Handle ...
矩阵论笔记（三）——欧氏空间与正交变换
包括两种内积空间: (1)实内积空间(欧氏空间) (2)复内积空间(酉空间) 本节讲欧氏空间,包括四个部分: (1)欧氏空间 (2)正交性 (3)正交变换与正交矩阵 (4)对称变换与对称矩阵欧氏空间 ...
矩阵论学习笔记一：线性空间与线性变换
参考书:<矩阵论>第3版,程云鹏张凯院徐仲编著西北工业大学出版社 1. 线性空间 1)集合与映射 a)集合:数域 b)映射:定义:变换:运算 2)线性空间及其性质 a)线性空间是某类 ...
【矩阵论】线性空间与线性变换（6）
有关线性映射的[值域空间]和[核子空间]的讨论一. 满射.单射与双射定义回顾在前一篇文章<[矩阵论]线性空间与线性变换(5)>中我们对线性映射的值域和核子空间进行了定义: 同样地,我 ...

[矩阵论]欧氏空间的线性变换是正交变换的充要条件是，它对于标准正交基的矩阵是正交矩阵

[矩阵论]欧氏空间的线性变换是正交变换的充要条件是，它对于标准正交基的矩阵是正交矩阵相关推荐

最新文章

热门文章