旅游背包(多维有界的背包问题)

描述：

想去旅游吗？那得先准备背包！背包用来装旅游物品，现在共n种(n<=50)旅游物品，每种物品都有体积vi，重量wi，数量ci，价值ti (vi,wi,ci和ti都为整数)。
限制体积最多V立方厘米(V<=1000)，重量最多W公斤(W<=500)。请问你如何选择物品，使得带上的物品总价值最大，这个最大总价值为多少？比如：
物品     体积       重量    数量    价值
编号  （立方厘米）  （公斤）   （个）    （元）1        30          3        10       42        50          8        10       53        10          2        10       24        23          5        8        35        130         20       5        11若V为500，W为100，则选择物品的最大价值为72（且72=10*4+10*2+4*3：由10件物品1，10件物品3，和4件物品4组成）。这是一个多维且有界的背包问题，属于常规0-1背包问题的扩展问题。

输入格式：

第一行，物品的种类n，背包体积的限制V，背包载重量的限制W。n,V和W的范围如前所述。
接下来n行，每行为该种物品i的体积vi，重量wi，数量ci，价值ti (规定vi,wi,ci和ti都为整数)。

输出格式：

仅一行，为选择物品子集所能获得的最大价值。

输入样例：

5 500 100
30 3 10 4
50 8 10 5
10 2 10 2
23 5 8 3
130 20 5 11

输出样例：

分析：

 发现对于这个题目，很多同学使用直接的递归方式完成，这里使用动态规划的方法完成。

 n种物品，每种物品体积v[i]，重量w[i]，c[i]件，价值t[i]。

设：m[i][x][y] 表示可选前i 种物品，所选物品总体积不超过x ,总重量不超过y ，的最大价值。

首先对三维数组初始化为0；

存在如下递归关系：

当 i=1 时：

m[1][x][y]=0                                      x<v[1]||y<w[1];

m[1][x][y]=min(x/v[1],y/[w[1],c[1])*t[1]          x>=v[1]&&y>=w[1];

当 i>1 时:

m[i][x][y]=max{m[i-1][x][y],m[i-1][x-k*v[i]][y-k*w[i]]+k*t[i]}      x>=v[i]&&y>=w[i];   其中:  0<k<min(x/v[i],y/w[i],c[i]);

m[i][x][y]=m[i-1][x][y]                                             x<v[i]||y<w[i];

k表示背包能放入i物品最多的件数；

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;int m[51][1001][501]={0};     //m[i][j][k] 表示可选前i 种物品，总体积不超过j， 总重量不超过k 的最大值
int v_arr[51];                //物品体积
int w_arr[51];                //重量
int c_arr[51];               //件数
int t_arr[51];               //价值int min(int a,int b,int c){        //三个数找最小int m;m=a;if(b<m)m=b;if(c<m)m=c;return m;
}void func(int v,int w,int n){    //可选前n个物品，体积不超过v，重量不超过wint i=0,j=0;int x=0,y=0;int k=0,max=0;for(x=0;x<=v;x++)for(y=0;y<=w;y++)if((x/v_arr[1]>0)&&(y/w_arr[1]>0))                               //x>=v_arr[1]&&y>=w_arr[1]m[1][x][y]=min(x/v_arr[1],y/w_arr[1],c_arr[1])*t_arr[1];     //m[1][x][y]取最大值elsem[1][x][y]=0;                                                //x<v_arr[1]&&y<w_arr[1]                   for(i=2;i<=n;i++)                                             //从第i=2开始填充for(x=0;x<=v;x++)for(y=0;y<=w;y++){max=m[i-1][x][y];if((x>=v_arr[i])&&(y>=w_arr[i])){for(k=0;k<=min(x/v_arr[i],y/w_arr[i],c_arr[i]);k++)if((m[i-1][x-k*v_arr[i]][y-k*w_arr[i]]+k*t_arr[i])>max)         //找出符合的最大的max=(m[i-1][x-k*v_arr[i]][y-k*w_arr[i]]+k*t_arr[i]);m[i][x][y]=max;}elsem[i][x][y]=m[i-1][x][y];}}int main(){int n=0;    //物品种类int v=0;    //背包体积int w=0;    //背包载重cin>>n>>v>>w;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v_arr[i]>>w_arr[i]>>c_arr[i]>>t_arr[i];func(v, w, n);cout<<m[n][v][w];return 0;
}

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