习题自测

性能指标与一阶系统性能

判断题

1.调节时间衡量了过渡过程的长短。
2.超调量衡量了系统瞬态响应的敏捷性。
3.按照5%误差准则，一阶惯性系统的调节时间为4T。
4.可以通过引入反馈加速一阶惯性系统的响应。
5.引入反馈需要付出器件增多，功率亏损的代价。
6.引入反馈可以提供系统的抗干扰能力。
7.控制系统性能可以归纳为稳、快、准三个主要方面。
8.上升时间和峰值时间主要衡量了系统瞬态响应的平稳特性。
√××√√√√×

计算题

二阶系统响应

判断题

1.欠阻尼二阶系统的阻尼系数满足 0<ξ<1。0<\xi<1 。0<ξ<1。
2.欠阻尼二阶系统的上升时间和峰值时间与阻尼频率负相关。
3.欠阻尼二阶系统的调节时间取决于它的极点实部坐标。
4.欠阻尼二阶系统的超调量衡量了瞬态响应的敏捷性。
5.二阶系统与一阶惯性系统总是有着绝然不同的性能表现。
6.无阻尼二阶系统可以如永动机一般地持续振荡。
7.欠阻尼二阶系统上升时间和峰值时间的变化规律基本一致。
8.欠阻尼二阶系统的超调量与阻尼系数和自然频率都有关。
√√√××√√×
第三题，σ倒数
第四题，平稳性

改进系统

系统原有的传递函数为:
G(s)=10/(0.2s+1)G(s)=10 /(0.2 s+1) G(s)=10/(0.2s+1)

为了加速过渡过程，需要将时间常数降低为原有值的10%，同时保持素统稳态输出不变。试设 计确定合适的放大器 KoK_{o}Ko​ 和反馈放大器 KHK_{H}KH​ 。

解 : 满足性能要求的闭环传递函数应该为 :
φ(s)=10(0.2s/10+1)\varphi(s)=\frac{10}{(0.2 s / 10+1)} φ(s)=(0.2s/10+1)10​

ϕ(s)=Y(s)R(s)=KoG(s)1+KHKoG(s)=10Ko0.2s+1+10KHKo=10Ko1+10KHKo(0.21+10KHKos+1)\begin{aligned}\\ &\phi(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}\\ &=\frac{K_{o} G(s)}{1+K_{H} K_{o} G(s)}\\ &=\frac{10 K_{o}}{0.2 s+1+10 K_{H} K_{o}}\\ &=\frac{\frac{10 K_{o}}{1+10 K_{H} K_{o}}}{\left(\frac{0.2}{1+10 K_{H} K_{o}} s+1\right)} \end{aligned}​ϕ(s)=R(s)Y(s)​=1+KH​Ko​G(s)Ko​G(s)​=0.2s+1+10KH​Ko​10Ko​​=(1+10KH​Ko​0.2​s+1)1+10KH​Ko​10Ko​​​​
比较系数有：
{10Ko1+10KHKo=101+10KHKo=10\begin{aligned}\\ \quad\left\{\begin{array}{l}\frac{10 K_{o}}{1+10 K_{H} K_{o}}=10 \\ 1+10 K_{H} K_{o}=10\end{array}\right.\\ \end{aligned}{1+10KH​Ko​10Ko​​=101+10KH​Ko​=10​​
于是
KH=0.09Ko=10\begin{array}{l} K_{H}=0.09 \\ K_{o}=10 \end{array} KH​=0.09Ko​=10​

系统辨识

( 复习，系统辨识 ) 系统对输入信号 r(t)=(1+t)1(t)r(t)=(1+t) 1(t)r(t)=(1+t)1(t) 的零初始响应为 ：：：
y(t)=(t+0.9)−0.9e−0.1t,t≥0y(t)=(t+0.9)-0.9 e^{-0.1 t}, t \geq 0 y(t)=(t+0.9)−0.9e−0.1t,t≥0

试确定系统的传递函数。
Y(s)=L[y(t)]=1s2+0.9s−0.9s+10=10(s+1)s2(s+10)\begin{aligned} &Y(s)=L[y(t)]\\ &=\frac{1}{s^{2}}+\frac{0.9}{s}-\frac{0.9}{s+10}\\ &=\frac{10(s+1)}{s^{2}(s+10)} \\ \end{aligned}​Y(s)=L[y(t)]=s21​+s0.9​−s+100.9​=s2(s+10)10(s+1)​​

R(s)=1s+1s2=s+1s2\begin{aligned} &R(s)\\ &=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\\ &=\frac{s+1}{s^{2}} \end{aligned}​R(s)=s1​+s21​=s2s+1​​
于是有：
ϕ(s)=Y(s)R(s)=10.1s+1\phi(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{0.1 s+1} ϕ(s)=R(s)Y(s)​=0.1s+11​

这是一个简单的一阶系统。

二阶系统性能参数

判断题

1.欠阻尼二阶系统的阻尼系数与系统上升时间正相关。
2.欠阻尼二阶系统的自然频率与系统上升时间正相关。
3.欠阻尼二阶系统的阻尼系数和自然频率，都与系统调节时间正相关。
4.欠阻尼二阶系统的自然频率与超调量无关。
5.欠阻尼二阶系统的阻尼系数与超调量正相关。
6.两个欠阻尼二阶系统的阻尼比相同，其极点对将处于同一对射线上。
7.两个欠阻尼二阶系统的自然频率相同，其极点对将处于同一圆弧上。
8.欠阻尼二阶系统的峰值时间与极点的虚部绝对值成反比。
9.欠阻尼二阶系统的调节时间与极点的实部绝对值成反比。
√××√×√√√

计算题（看图求传函、参数设计）

二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应如图所示， 试确定其传递函数。

解：注意到稳态输出为3，待求的传递函数为：
ϕ(s)=3ωn2s2+2ξωns+ωn2\phi(s)=\frac{3 \omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \xi \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}} ϕ(s)=s2+2ξωn​s+ωn2​3ωn2​​
由响应曲线可知：
σ%=y(tp)−y(∞)y(∞)⋅100%=4−33=33.3%\sigma \%=\frac{y\left(t_{p}\right)-y(\infty)}{y(\infty)} \cdot 100 \%=\frac{4-3}{3}=33.3 \% σ%=y(∞)y(tp​)−y(∞)​⋅100%=34−3​=33.3%
于是：
ξ=0.33\xi=0.33 ξ=0.33
再注意到： tp=πωn1−ξ2=0.1t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}}=0.1tp​=ωn​1−ξ2​π​=0.1
于是：
ωn=33.2\omega_{n}=33.2 ωn​=33.2

设计增益参数K和参数 p, 使得系统满足时域性能设计。要求 : 阶跃响应应保持超调量不超过5%的条件下，使瞬态响应尽可能地快速，按2%准则的调节时间不大于4s。

解：系统的闭环传递函数为
Y(s)R(s)=Ks2+ps+K\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{K}{s^{2}+p s+K} R(s)Y(s)​=s2+ps+KK​
对照标准形式，则有
p=2ξωnK=ωn2p=2 \xi \omega_{n} \quad K=\omega_{n}^{2} p=2ξωn​K=ωn2​

由超调量不超过5%可知，阻尼比可以取如下值：
ξ=22\xi=\frac{\sqrt{2}}{2} ξ=22​​
按2%准则的调节时间不大于4s，则
因此
4ξωn≤4\frac{4}{\xi \omega_{n}} \leq 4 ξωn​4​≤4
ξωn≥1\xi \omega_{n} \geq 1 ξωn​≥1
可以取 ωn=2\quad \omega_{n}=\sqrt{2}ωn​=2​

T(s)=Ks2+ps+KT(s)=\frac{K}{s^{2}+p s+K}T(s)=s2+ps+KK​
p=2ζωn=2p=2 \zeta \omega_{n}=2p=2ζωn​=2
K=ωn2=2K=\omega_{n}^{2}=2K=ωn2​=2

控制系统性能扩展

判断题

1.欠阻尼二阶系统附加一个闭环零点后，等效阻尼系数将变小。
2.欠阻尼二阶系统附加第三个闭环极点后，等效阻尼系数将变小。
3.与其他极点相比较，若系统的一对极点与虚轴的距离要小很多（1/10），且附件没有零点时，这对极点将主导系统的过渡过程。
4.欠阻尼二阶系统的附加额外极点或闭环极点，它们离虚轴越远，所产生的效应越强。
5.通常都会让控制系统工作在有限有差状态。
6.I型系统对位置信号的稳态跟踪误差为0。
7.I型系统对速度信号的稳态跟踪误差为0。
8.增大开环增益系数，可以提高有差系统的稳态跟踪精度。
√×√×√√×√

求误差

如下系统 , 当输入信号分别为 1(t),ı、12t21(t), \boldsymbol{\imath} 、 \frac{1}{2} t^{2}1(t),ı、21​t2时，试分别求出系统的稳态误差。

ess=lim⁡t→∞e(t)=lim⁡s→0sE(s)=lim⁡s→0sR(s)1+G(s)H(s)r(t)=1(t),R(s)=1sessp=lim⁡s→0s2+5ss2+5s+10=0r(t)=t,R(s)=1s2essv=lim⁡s→0s+5s2+5s+10=12r(t)=12t2,R(s)=1s3essa=lim⁡s→0s+5s(s2+5s+10)=∞\begin{aligned} &e_{s s}=\lim _{t \rightarrow \infty} e(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s E(s)=\lim _{s \rightarrow 0} s \frac{R(s)}{1+G(s) H(s)}\\ &r(t)=1(t), R(s)=\frac{1}{s} \quad e_{s s p}=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{s^{2}+5 s}{s^{2}+5 s+10}=0\\ &r(t)=t, R(s)=\frac{1}{s^{2}} \quad e_{s s v}=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{s+5}{s^{2}+5 s+10}=\frac{1}{2}\\ &r(t)=\frac{1}{2} t^{2}, R(s)=\frac{1}{s^{3}} \quad e_{s s a}=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{s+5}{s\left(s^{2}+5 s+10\right)}=\infty \end{aligned}​ess​=t→∞lim​e(t)=s→0lim​sE(s)=s→0lim​s1+G(s)H(s)R(s)​r(t)=1(t),R(s)=s1​essp​=s→0lim​s2+5s+10s2+5s​=0r(t)=t,R(s)=s21​essv​=s→0lim​s2+5s+10s+5​=21​r(t)=21​t2,R(s)=s31​essa​=s→0lim​s(s2+5s+10)s+5​=∞​

控制系统稳定性

判断题

1.控制系统所有的极点都处在s平面左半平面（实部为负），则系统稳定。
2.控制系统有一个极点处在s平面右半平面（实部为正），则系统依然稳定。
3.控制系统有一个极点处在s平面虚轴之上（实部为零），则系统依然稳定。
4.控制系统一对极点处在s平面虚轴之上，系统对特定的有界输入会产生无界输出。
5.控制系统的相对稳定性衡量的是系统的稳定程度。控制系统的相对稳定性衡量的是系统的稳定程度。
√××√√

求响应和判断稳定性

求系统的单位阶跃响应, 即 r(t)=1(t)r(t)=1(t)r(t)=1(t)

解： Y(s)=G(s)R(s)=1(s+1)(s−1)1s=−1s+0.5s+1+0.5s−1\boldsymbol{Y}(\boldsymbol{s})=\boldsymbol{G}(\boldsymbol{s}) \boldsymbol{R}(\boldsymbol{s})=\frac{1}{(\boldsymbol{s}+1)(\boldsymbol{s}-1)} \frac{1}{\boldsymbol{s}}=\frac{-1}{\boldsymbol{s}}+\frac{0.5}{\boldsymbol{s}+1}+\frac{0.5}{\boldsymbol{s}-1}Y(s)=G(s)R(s)=(s+1)(s−1)1​s1​=s−1​+s+10.5​+s−10.5​
y(t)=−1+0.5e−t+0.5et\boldsymbol{y}(\boldsymbol{t})=-1+0.5 e^{-t}+0.5e^{t} \quady(t)=−1+0.5e−t+0.5et 不稳定 !!!

判定如下系统的稳定性
T(s)=1s−1T(s)=1s2+2s+2T(s)=1s2+2\begin{aligned} &\mathrm{T}(\mathbf{s})=\frac{1}{s-1}\\ &\mathrm{T}(\mathrm{s})=\frac{1}{s^{2}+2 s+2}\\ &\mathrm{T}(\mathrm{s})=\frac{1}{s^{2}+2} \end{aligned}​T(s)=s−11​T(s)=s2+2s+21​T(s)=s2+21​​
不稳定，稳定，不稳定

劳斯判据

判断题

1.系统的特征方程为 q(s)=s2+10s+5=0,q(s)=s^{2}+10 s+5=0,q(s)=s2+10s+5=0, 则系统稳定。
2.系统的特征方程为 q(s)=s4+s3+s2+s+2=0,q(s)=s^{4}+\mathrm{~s}^{3}+\mathrm{~s}^{2}+s+2=0,q(s)=s4+ s3+ s2+s+2=0, 则系统稳定。
3.系统的特征方程为 q(s)=s4+s3+s+2=0,q(s)=s^{4}+\mathrm{~s}^{3}+s+2=0,q(s)=s4+ s3+s+2=0, 则系统稳定。
4.系统的特征方程为 q(s)=s4+Ks3+(1+K)s2+s+2=0,q(s)=s^{4}+\mathrm{Ks}^{3}+(1+\mathrm{~K}) \mathrm{~s}^{2}+s+2=0,q(s)=s4+Ks3+(1+ K) s2+s+2=0, 则系统始终稳定。
5.系统的特征方程为 q(s)=s3+Ks2+Ks+5=0,q(s)=\mathrm{~s}^{3}+\mathrm{Ks}^{2}+\mathrm{~K} s+5=0,q(s)= s3+Ks2+ Ks+5=0, 则系统稳定的参数取值范围是 (0,5)

√××××

计算

二阶系统的特征方程如下，分析其稳定性。
q(s)=a2s2+a1s+a0q(s)=a_{2} s^{2}+a_{1} s+a_{0} q(s)=a2​s2+a1​s+a0​

s2a2a0s1a10s0a0\begin{array}{c|lc} \boldsymbol{s}^{2} & \boldsymbol{a}_{2} & \boldsymbol{a}_{0} \\ \boldsymbol{s}^{1} & \boldsymbol{a}_{1} & 0 \\ \boldsymbol{s}^{0} & \boldsymbol{a}_{0} & \end{array} s2s1s0​a2​a1​a0​​a0​0​

a2,a1,a0\boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{0} \quada2​,a1​,a0​ 具有相同符号则稳定

三阶系统的特征方程如下，分析其稳定性。
q(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0q(s)=a_{3} s^{3}+a_{2} s^{2}+a_{1} s+a_{0}q(s)=a3​s3+a2​s2+a1​s+a0​

s3a3a1s2a2a0s1b10s0a0\begin{array}{c|ll} \boldsymbol{s}^{3} & \boldsymbol{a}_{3} & \boldsymbol{a}_{1} \\ \boldsymbol{s}^{2} & \boldsymbol{a}_{2} & \boldsymbol{a}_{0} \\ \boldsymbol{s}^{1} & \boldsymbol{b}_{1} & 0 \\ \boldsymbol{s}^{0} & \boldsymbol{a}_{0} & \end{array} s3s2s1s0​a3​a2​b1​a0​​a1​a0​0​

b1=−∣a3a1a2a0∣a2=a2a1−a3a0a2\boldsymbol{b}_{1}=\frac{-\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{3} & \boldsymbol{a}_{1} \\ \boldsymbol{a}_{2} & \boldsymbol{a}_{0}\end{array}\right|}{\boldsymbol{a}_{2}}=\frac{\boldsymbol{a}_{2} \boldsymbol{a}_{1}-\boldsymbol{a}_{3} \boldsymbol{a}_{0}}{\boldsymbol{a}_{2}}b1​=a2​−∣∣∣​a3​a2​​a1​a0​​∣∣∣​​=a2​a2​a1​−a3​a0​​

系数大于0的三阶系统稳定的充要条件是：
a2a1>a3a0\boldsymbol{a}_{2} \boldsymbol{a}_{1}>\boldsymbol{a}_{3} \boldsymbol{a}_{0} a2​a1​>a3​a0​

判断如下5阶系统的稳定性
q(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10q(s)=s^{5}+2 s^{4}+2 s^{3}+4 s^{2}+11 s+10 q(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10

s5s4s312112410060\begin{array}{c|ll} s^{5} \\ s^{4} \\ s^{3} \end{array} \begin{array}{lll} 1 & 2 & 11 \\ 2 & 4 & 10 \\ 0 & 6 & 0 \end{array} s5s4s3​120​246​11100​

b3=−∣1224∣2=0\boldsymbol{b}_{3}=\frac{-\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right|}{2}=0b3​=2−∣∣∣​12​24​∣∣∣​​=0
b1=−∣111210∣2=6\boldsymbol{b}_{1}=\frac{-\left|\begin{array}{ll}1 & 11 \\ 2 & 10\end{array}\right|}{2}=6b1​=2−∣∣∣​12​1110​∣∣∣​​=6

出现首项0，用无穷小正数 ε\varepsilonε 代替 0 , 继续运算
s51211s42410s3ε60s2c2c0s1s0\begin{array}{c|ccc} \boldsymbol{s}^{5} & 1 & 2 & 11 \\ \boldsymbol{s}^{4} & 2 & 4 & 10 \\ \boldsymbol{s}^{3} & \varepsilon & 6 & 0 \\ \boldsymbol{s}^{2} & \boldsymbol{c}_{2} & \boldsymbol{c}_{0} & \\ \boldsymbol{s}^{1} & & & \\ \boldsymbol{s}^{0} & & & \end{array} s5s4s3s2s1s0​12εc2​​246c0​​11100​

c2=−∣24ε6∣ε=4−12εc_{2}=\frac{-\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \\ \varepsilon & 6\end{array}\right|}{\varepsilon}=4-\frac{12}{\varepsilon}c2​=ε−∣∣∣​2ε​46​∣∣∣​​=4−ε12​
c0=−∣210ε0∣ε=10c_{0}=\frac{-\left|\begin{array}{ll}2 & 10 \\ \varepsilon & 0\end{array}\right|}{\varepsilon}=10c0​=ε−∣∣∣​2ε​100​∣∣∣​​=10

s51211s42410s3ε60s24−12ε10s1d1s010\begin{array}{r|ccc} s^{5} & 1 & 2 & 11 \\ s^{4} & 2 & 4 & 10 \\ s^{3} & \varepsilon & 6 & 0 \\ s^{2} & 4-\frac{12}{\varepsilon} & 10 & \\ s^{1} & d_{1} & & \\ s^{0} & 10 & & \end{array} s5s4s3s2s1s0​12ε4−ε12​d1​10​24610​11100​

d1=−∣ε64−12ε10∣4−12ε=−10ε2−24ε+724ε−12\begin{aligned} \boldsymbol{d}_{1}=\frac{-\left|\begin{array}{cr}\varepsilon & 6 \\ 4-\frac{12}{\varepsilon} & 10\end{array}\right|}{4-\frac{12}{\varepsilon}}=-\frac{10 \varepsilon^{2}-24 \varepsilon+72}{4 \varepsilon-12} \end{aligned}d1​=4−ε12​−∣∣∣∣​ε4−ε12​​610​∣∣∣∣​​=−4ε−1210ε2−24ε+72​​

令无穷小正数 ε\varepsilonε 趋近于零，首列符号变化两次，系统不稳定。

判断如下 3 阶系统的稳定性
q(s)=s3+2s2+4s+8q(s)=s^{3}+2 s^{2}+4 s+8 q(s)=s3+2s2+4s+8

s314s228s100s0\begin{array}{l|ll} s^{3} & 1 & 4 \\ s^{2} & 2 & 8 \\ s^{1} & 0 & 0 \\ s^{0} & & \end{array} s3s2s1s0​120​480​

全 0 行的前一行多项式是q(s)的因子。
2s2+8=2(s2+4)2 s^{2}+8=2\left(s^{2}+4\right)2s2+8=2(s2+4)
=2(s+j2)(s−j2)=2(s+j 2)(s-j 2)=2(s+j2)(s−j2)
全 0 行的情况下，系统不稳定

设计参数K的取值范围，以保证闭环系统稳定。

T(s)=K(s+1)s2+(K−1)s+K⇒K>1T(s)=\frac{K(s+1)}{s^{2}+(K-1) s+K} \Rightarrow K>1T(s)=s2+(K−1)s+KK(s+1)​⇒K>1

T(s)=Ks3+3s2+2s+KT(s)=\frac{K}{s^{3}+3 s^{2}+2 s+K}T(s)=s3+3s2+2s+KK​

s312s23KS6−K3\begin{array}{c|cc} s^{3} & \mathbf{1} & \mathbf{2} \\ s^{2} & \mathbf{3} & \mathbf{K} \\ \boldsymbol{S} & \frac{6-K}{3} & \end{array} s3s2S​1336−K​​2K​

6−K3≥0\frac{6-K}{3} \geq 036−K​≥0
0<K<60<K<60<K<6

已知系统的特征方程为:
−0.025s3−0.325s2−s−k=0-0.025 s^{3}-0.325 s^{2}-s-k=0 −0.025s3−0.325s2−s−k=0

(1)试确定使系统稳定的 k 的取值范围 ;
(2)如果要求特征根均位于 s=−1\mathrm{s}=-1s=−1 垂线左侧 ,,, 问 k\mathrm{k}k 的 取值又应该如何调整?

0.025s3+0.325s2+s+k=00.025 s^{3}+0.325 s^{2}+s+k=0 0.025s3+0.325s2+s+k=0

列劳斯表可知 , 系统稳定要求 :
k>00.325>0.025∗k}⇒0<k<13\left.\begin{array}{l} \boldsymbol{k}>0 \\ 0.325>0.025 * \boldsymbol{k} \end{array}\right\} \Rightarrow 0<\boldsymbol{k}<13 k>00.325>0.025∗k​}⇒0<k<13

如果要求特征值均位于垂线 =−1=-1=−1 的左侧 ,,, 问 k\mathrm{k}k
的取值范围应该如何调整? ( 相对稳定性 )
s3+13s2+40s+40k=0s^{3}+13 s^{2}+40 s+40 k=0 s3+13s2+40s+40k=0

令 s=sn−1,sn=0s=s_{\mathrm{n}}-1, s_{\mathrm{n}}=0s=sn​−1,sn​=0 线就是 s=−1s=-1s=−1 线。代 λq(s)\lambda q(s)λq(s) 得到新
多项式，再用Routh判据。

(sn−1)3+13(sn−1)2+40(sn−1)+40k=0sn3+10sn2+17sn+(40k−28)=0\begin{array}{c} \left(s_{n}-1\right)^{3}+13\left(s_{n}-1\right)^{2}+40\left(s_{n}-1\right)+40 k=0 \\ s_{n}^{3}+10 s_{n}^{2}+17 s_{n}+(40 k-28)=0 \end{array}(sn​−1)3+13(sn​−1)2+40(sn​−1)+40k=0sn3​+10sn2​+17sn​+(40k−28)=0​

40k−28>010∗17>40k−28}⇒0.7<k<4.95\left.\begin{array}{l}40 \boldsymbol{k}-28>0 \\ 10 * 17>40 \boldsymbol{k}-28\end{array}\right\} \Rightarrow 0.7<\boldsymbol{k}<4.9540k−28>010∗17>40k−28​}⇒0.7<k<4.95

控制系统性能

前面我们已经了解了控制系统的多种数学模型，知道了动态响应的数学解析
Y(s)=G(s)R(s)y(t)=L−1(Y(s))Y(s)=G(s) R(s) \quad y(t)=L^{-1}(Y(s)) Y(s)=G(s)R(s)y(t)=L−1(Y(s))

但是数学解析远远不够，工程目标是为了设计性能可接受的控制系统，而其中宏观来看就是三个指标：稳, 快 , 准！在接下来的学习中，我们就要对这三个指标逐步量化。
做工程不能像写诗作词，稳如泰山、快如闪电，不动如山，这样的描述，不是我们需要的。

性能指标与一阶系统性能

测试信号

时域分析法是在时间域内研究控制系统性能的方法。

性能指标（瞬态过程、稳态过程、上升时间、峰值时间、调节时间、超调量）

∙\bullet∙ 瞬态过程: 又称为过渡过程 , 指系统在输入信号作用下 , 系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程，会随着时间的推移而消失。
∙\bullet∙ 稳态过程 : 指系统在输入信号作用下，当时间t 趋于无穷大时，系统输出量的表现方式。表征系统输出量最终复现输入量的程度。
瞬态性能指标：一组刻画瞬态过程快速、平稳等
动态特性的定量指标。

(1) 上升时间 trt_rtr​, 对于有超调的系统 , 上升时间定义为首次穿越稳态值 y(∞)y(\infty)y(∞) 的时间。对于无超调系统 , 则为响应由 稳态值的10%上升至90% 的时间。
(2) 峰值时间 tpt_{p}tp​ 对于有超调的系统，峰值时间定义为首次达到峰值的时间。

这两个指标主要衡量了系统响应的敏捷性。
(3) 调节时间 tS\boldsymbol{t}_{\boldsymbol{S}}tS​
系统响应进入稳态响应的容许误差范围，并不再出超所需要的时间 , 常用的容许误差范围为：
Δ=5%y(∞)or Δ=2%y(∞)\Delta=5 \% y(\infty) \text { or } \Delta=2 \% y(\infty) Δ=5%y(∞) or Δ=2%y(∞)

该指标标志着过渡过程的结束，衡量了系统响应的快速性。

(4) 超调量σ%\sigma \%σ%
系统响应与稳态响应的最大偏差占稳态响应的 百分比。
σ%=y(tp)−y(∞)y(∞)×100%\sigma \%=\frac{y\left(t_{p}\right)-y(\infty)}{y(\infty)} \times 100 \% σ%=y(∞)y(tp​)−y(∞)​×100%

该指标衡量了系统响应的平稳性。

典型一阶系统

典型一阶系统框图与零极点图

典型的例子是RC低通滤波器，也叫惯性器件。

一阶系统的数学模型
微分方程模型： Tdc(t)dt+c(t)=r(t)T \frac{d c(t)}{d t}+c(t)=r(t)Tdtdc(t)​+c(t)=r(t)
开环传递函数： G(s)=1Ts=ks,k=1TG(s)=\frac{1}{T s}=\frac{k}{s}, k=\frac{1}{T}G(s)=Ts1​=sk​,k=T1​
闭环传递函数： ϕ(s)=C(s)R(s)=1Ts+1\phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{T s+1}ϕ(s)=R(s)C(s)​=Ts+11​
其中，T称为时间常数，是一阶系统唯一的性能参数。

响应（四种典型信号下）

r(t)=δ(t)⟶R(s)=1⟶Φ(s)=1Ts+1⟶y(t)=1Te−tT\mathbf{r}(\mathbf{t})=\delta(\mathbf{t}) \longrightarrow \mathbf{R}(\mathbf{s})=\mathbf{1} \longrightarrow \Phi(s)=\frac{1}{T s+1} \longrightarrow y(t)=\frac{1}{T} e^{-\frac{t}{T}}r(t)=δ(t)⟶R(s)=1⟶Φ(s)=Ts+11​⟶y(t)=T1​e−Tt​

r(t)=1(t)⟶R(s)=1s⟶Φ(s)=1Ts+1⟶y(t)=1−e−tT\mathrm{r}(\mathrm{t})=1(\mathrm{t}) \longrightarrow R(s)=\frac{1}{s} \longrightarrow \Phi(s)=\frac{1}{T s+1} \quad \longrightarrow y(t)=1-e^{-\frac{t}{T}}r(t)=1(t)⟶R(s)=s1​⟶Φ(s)=Ts+11​⟶y(t)=1−e−Tt​

值得注意的是，一阶系统阶跃响应3T的时候就达到了5%误差范围，4T的时候就达到了2%误差范围。
r(t)=t⟶y(t)=t−T+Te−t/Tr(t)=t \quad \longrightarrow \quad y(t)=t-T+T e^{-t / T}r(t)=t⟶y(t)=t−T+Te−t/T

R(s)=1s3,C(s)=Φ(s)R(s)=11+Ts⋅1s3=1s3−Ts2+Ts+Ts+1/TR(s)=\frac{1}{s^{3}}, \quad C(s)=\Phi(s) R(s)=\frac{1}{1+T s} \cdot \frac{1}{s^{3}}=\frac{1}{s^{3}}-\frac{T}{s^{2}}+\frac{T}{s}+\frac{T}{s+1 / T}R(s)=s31​,C(s)=Φ(s)R(s)=1+Ts1​⋅s31​=s31​−s2T​+sT​+s+1/TT​
c(t)=12t2−Tt+T2(1−e−t/T),t≥0c(t)=\frac{1}{2} t^{2}-T t+T^{2}\left(1-e^{-t / T}\right), \quad t \geq 0c(t)=21​t2−Tt+T2(1−e−t/T),t≥0
由于第一项的存在，响应有无限偏差。
可以看到，一阶系统过于简单，能够处理的信号非常有限。

一阶系统的改进(缩小T，即RC数值，或引入反馈)

一阶系统功能简单，改善性能的空间和手段有限，只能想办法缩小时间常数T。
1、选择元器件，以减小时间常数T，

Φ(s)=1RCs+1T=RC\Phi(s)=\frac{1}{R C s+1} \quad T=R CΦ(s)=RCs+11​T=RC
对RC低通滤波器来说，就只能缩小RC两项了。
2、或引入反馈，以减小时间常数。

Φ(s)=KTS+1\Phi(s)=\frac{K}{T S+1}Φ(s)=TS+1K​

Φ(s)=K/(K+1)(T/(K+1))S+1\Phi(s)=\frac{K /(K+1)}{(T /(K+1)) S+1}Φ(s)=(T/(K+1))S+1K/(K+1)​
注意：反馈有功率损失的副作用。是药三分毒，没有绝对完美的办法，性能改进只能以减小稳态输出为代价。

总结

瞬态过程和瞬态性能指标
一阶系统功能简单， 性能改善的空间和手段有限：
1、选择元器件以减小时间常数，
2、引入反馈以减小时间常数。

二阶系统

标准二阶系统的框图如下

T(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2T(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}}T(s)=s2+2ζωn​s+ωn2​ωn2​​

ζ称为阻尼比/相对阻尼系数,ωn为系统固有频率（自然振荡频率/无阻尼振荡频率）。\zeta称为阻尼比/相对阻尼系数 , \omega_{\mathrm{n}} 为系统固有频率（自然振荡频率/无阻尼振荡频率）。ζ称为阻尼比/相对阻尼系数,ωn​为系统固有频率（自然振荡频率/无阻尼振荡频率）。

ζ=0,\zeta=\mathbf{0},ζ=0, 无阻尼系统

0<ζ<1,\mathbf{0}<\zeta<\mathbf{1},0<ζ<1, 欠阻尼系统

ζ=1,\zeta=1,ζ=1, 临界阻尼系统

ζ>1,\zeta>1,ζ>1, 过阻尼系统

二阶系统响应

阶跃响应

过阻尼

响应性能大相径庭 , 关键在于极点，源头在于参数。 当 ξ>1\xi>1ξ>1 时，系统称为过阻尼系统，有2个不同的实极点。
Y(s)R(s)=ωn2s2+2ξ⋅ωns+ωn2=1/T1T2(s+1/T1)(s+1/T2)\begin{aligned}\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \xi \cdot \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}} =\frac{1 / T_{1} T_{2}}{\left(s+1 / T_{1}\right)\left(s+1 / T_{2}\right)} \end{aligned}R(s)Y(s)​=s2+2ξ⋅ωn​s+ωn2​ωn2​​=(s+1/T1​)(s+1/T2​)1/T1​T2​​​

{−1T1=−ξωn+ωnξ2−1−1T2=−ξωn−ωnξ2−1\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{T_{1}}=-\xi \omega_{n}+\omega_{n} \sqrt{\xi^{2}-1} \\ -\frac{1}{T_{2}}=-\xi \omega_{n}-\omega_{n} \sqrt{\xi^{2}-1}\end{array}\right.{−T1​1​=−ξωn​+ωn​ξ2−1​−T2​1​=−ξωn​−ωn​ξ2−1​​

系统的单位阶跃响应为 :
Y(s)=1/T1T2(s+1/T1)(s+1/T2)⋅1sy(t)=L−1[Y(s)]=1+1T2/T1−1e−t/T1+1T1/T2−1e−t/I2\begin{aligned} &Y(s)=\frac{1 / T_{1} T_{2}}{\left(s+1 / T_{1}\right)\left(s+1 / T_{2}\right)} \cdot \frac{1}{s} \\ &y(t)=L^{-1}[Y(s)]=1+\frac{1}{T_{2} / T_{1}-1} e^{-t / T_{1}}+\frac{1}{T_{1} / T_{2}-1} e^{-t / I_{2}} \end{aligned}​Y(s)=(s+1/T1​)(s+1/T2​)1/T1​T2​​⋅s1​y(t)=L−1[Y(s)]=1+T2​/T1​−11​e−t/T1​+T1​/T2​−11​e−t/I2​​
系统的表现和性能与一阶系统类似，过渡过程长短取决于较慢的衰减,即离虛轴较近的极点 ( 较大的时间常数 ) , 没有振荡和超调。

临界阻尼

当 ξ=1\xi=1ξ=1 时，系统称为临界阻尼系统，有2个相同 的实极点。
−1T1=−1T2=−ωn-\frac{1}{T_{1}}=-\frac{1}{T_{2}}=-\omega_{n} −T1​1​=−T2​1​=−ωn​

系统的单位阶跃响应为：
Y(s)=ωn2(s+ωn)2⋅1s=1s−ωn(s+ωn)2−1s+ωn\begin{aligned}Y(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{\left(s+\omega_{n}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{s}=\frac{1}{s}-\frac{\omega_{n}}{\left(s+\omega_{n}\right)^{2}}-\frac{1}{s+\omega_{n}}\end{aligned}Y(s)=(s+ωn​)2ωn2​​⋅s1​=s1​−(s+ωn​)2ωn​​−s+ωn​1​​

求Laplace反变换可知

y(t)=1−(1+ωnt)e−ωnty(t)=1-\left(1+\omega_{n} t\right) e^{-\omega_{n} t}y(t)=1−(1+ωn​t)e−ωn​t

同样，系统的表现和性能与一阶系统类似。

欠阻尼

当 0<ξ<10<\xi<10<ξ<1 时 ,系统称为欠阻尼系统 , 有1对共轭复极点。
S1,2=−ξωn±jωn1−ξ2=−σ±jωdσ=ξωn−−−衰减系数ωd=ωn1−ξ2−−−阻尼频率\begin{array}{l} S_{1,2}=-\xi \omega_{n} \pm j \omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}=-\sigma \pm j \omega_{d} \\ \sigma=\xi \omega_{n} \quad ---衰减系数 \\ \omega_{d}=\omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}} \quad ---阻尼频率 \end{array} S1,2​=−ξωn​±jωn​1−ξ2​=−σ±jωd​σ=ξωn​−−−衰减系数ωd​=ωn​1−ξ2​−−−阻尼频率​

系统的单位阶跃响应为 :

Y(s)=ωn2s2+2ξωns+ωn2⋅1sY(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \xi \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}} \cdot \frac{1}{s} Y(s)=s2+2ξωn​s+ωn2​ωn2​​⋅s1​

Y(s)=1s−s+2ξωns2+2ξωns+ωn2Y(s)=1s−ξ(s+ξωn)2+(1−ξ2ωn)2y(t)=1−e−ξωntcos⁡(1−ξ2ωnt)+ξ1−ξ2sin⁡(1−ξ2ωnt)]y(t)=1−e−ξωntcos⁡(1−ξ2ωnt)+ξ1−ξ2sin⁡(1−ξ2ωnt)]ωd=1−ξ2ωn−−阻尼频率β=tan⁡−1(1−ξ2ξ)=cos⁡−1(ξ)−−阻尼角y(t)=1−e−ξωnt1−ξ2sin⁡(ωdt+β)\begin{aligned}\\ &Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+2 \xi \omega_{n}}{s^{2}+2 \xi \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}}\\ &Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{\xi}{(s+\xi \omega_{n})^{2}+(\sqrt{1-\xi^{2}} \omega_{n})^{2}}\\ &y(t)=1-e^{-\xi \omega_{n} t} \cos (\sqrt{1-\xi^{2}} \omega_{n} t)+\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin (\sqrt{1-\xi^{2}} \omega_{n} t)]\\ &y(t)=1-e^{-\xi \omega_{n} t} \cos (\sqrt{1-\xi^{2}} \omega_{n} t)+\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin (\sqrt{1-\xi^{2}} \omega_{n} t)]\\ &\omega_{d}=\sqrt{1-\xi^{2}} \omega_{n} \quad - -阻尼频率\\ &\beta=\tan ^{-1}(\frac{\sqrt{1-\xi^{2}}}{\xi})=\cos ^{-1}(\xi) \quad - -阻尼角\\ &y(t)=1-\frac{e^{-\xi \omega_{n} t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin (\omega_{d} t+\beta)\end{aligned}​Y(s)=s1​−s2+2ξωn​s+ωn2​s+2ξωn​​Y(s)=s1​−(s+ξωn​)2+(1−ξ2​ωn​)2ξ​y(t)=1−e−ξωn​tcos(1−ξ2​ωn​t)+1−ξ2​ξ​sin(1−ξ2​ωn​t)]y(t)=1−e−ξωn​tcos(1−ξ2​ωn​t)+1−ξ2​ξ​sin(1−ξ2​ωn​t)]ωd​=1−ξ2​ωn​−−阻尼频率β=tan−1(ξ1−ξ2​​)=cos−1(ξ)−−阻尼角y(t)=1−1−ξ2​e−ξωn​t​sin(ωd​t+β)​

y(t)=1−e−ξωnt1−ξ2sin⁡(ωdt+β)y(t)=1-\frac{e^{-\xi \omega_{n} t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin \left(\omega_{d} t+\beta\right)y(t)=1−1−ξ2​e−ξωn​t​sin(ωd​t+β)

阶跃响应总结

欠阻尼二阶系统的阶跃响应性能指标计算

上升时间t_r

(1)上升时间
y(t)=1−e−ξωnt1−ξ2sin⁡(ωdt+β)y(t)=1-\frac{e^{-\xi \omega_{n} t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin \left(\omega_{d} t+\beta\right) y(t)=1−1−ξ2​e−ξωn​t​sin(ωd​t+β)
到达稳态值条件
ωdtr+β=nπ\omega_{d} t_{r}+\beta=n \pi ωd​tr​+β=nπ
首次到达 , 取n=1
tr=π−βωd=π−βωn1−ξ2t_{r}=\frac{\pi-\beta}{\omega_{d}}=\frac{\pi-\beta}{\omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}} tr​=ωd​π−β​=ωn​1−ξ2​π−β​

峰值时间t_p

(2) 峰值时间
只需要求导得到导数为0的第一个点即可
y(t)=1−e−ξωnt1−ξ2sin⁡(ωdt+β)y(t)=1-\frac{e^{-\xi \omega_{n} t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin \left(\omega_{d} t+\beta\right) y(t)=1−1−ξ2​e−ξωn​t​sin(ωd​t+β)
取得峰值时的条件：
ωdtp=nπ\omega_{d} t_{p}=n \pi ωd​tp​=nπ
取n=1
tp=πωd=πωn1−ξ2t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}=\frac{\pi}{\omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}} tp​=ωd​π​=ωn​1−ξ2​π​

调节时间t_s

(3) 调节时间
y(t)=1−e−ξωnt1−ξ2sin⁡(ωdt+β)y(t)=1-\frac{e^{-\xi \omega_{n} t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin \left(\omega_{d} t+\beta\right)y(t)=1−1−ξ2​e−ξωn​t​sin(ωd​t+β)
ts=3.5ξω=3T（5%准则）ts=4.4ξω=4T（2%准则）t_{s}=\frac{3.5}{\xi \omega}=3 T（5\% 准则） \quad t_{s}=\frac{4.4}{\xi \omega}=4 T（2\% 准则）ts​=ξω3.5​=3T（5%准则）ts​=ξω4.4​=4T（2%准则）
准则 T=1ξωT=\frac{1}{\xi \omega}T=ξω1​ 称为广义时间常数，衰减系数的倒数。

超调量σ

(4) 超调量 σ%\sigma \%σ%
y(t)=1−e−ξωnt1−ξ2sin⁡(ωdt+β)y(t)=1-\frac{e^{-\xi \omega_{n} t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin \left(\omega_{d} t+\beta\right)y(t)=1−1−ξ2​e−ξωn​t​sin(ωd​t+β)
y(tp)=1+e−πξ/1−ξ2y\left(t_{p}\right)=1+e^{-\pi \xi / \sqrt{1-\xi^{2}}}y(tp​)=1+e−πξ/1−ξ2​
σ%=y(tp)−y(∞)y(∞)⋅100%=e−πξ/1−ξ2⋅100%\sigma \%=\frac{y\left(t_{p}\right)-y(\infty)}{y(\infty)} \cdot 100 \%=e^{-\pi \xi / \sqrt{1-\xi^{2}}} \cdot 100 \%σ%=y(∞)y(tp​)−y(∞)​⋅100%=e−πξ/1−ξ2​⋅100%

欠阻尼二阶系统性能的参数调节

(1) 上开时间 trt_{r}tr​
tr=π−βωd=π−βωn1−ξ2t_{r}=\frac{\pi-\beta}{\omega_{d}}=\frac{\pi-\beta}{\omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}} tr​=ωd​π−β​=ωn​1−ξ2​π−β​

固定 ωn,\omega_{n},ωn​, 则 ξ\xiξ 越小 ,tr, t_{r},tr​ 越小。正相关。
固定 ξ,\xi,ξ, 则 ωn\omega_{n}ωn​ 越小 ,tr, t_{r},tr​ 越大。负相关。

(2) 峰值时间 tpt_{p}tp​
tr=πωd=πωn1−ξ2t_{r}=\frac{\pi}{\omega_{d}}=\frac{\pi}{\omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}} tr​=ωd​π​=ωn​1−ξ2​π​
固定 ωn,\omega_{n},ωn​, 则 ξ\xiξ 越小 ,tr, t_{r},tr​ 越小。正相关。
固定 ξ,\xi,ξ, 则 ωn\omega_{n}ωn​ 越小 ,tr, t_{r},tr​ 越大。负相关。
峰值时间 tpt_{p}tp​ 与上开时间 trt_{r}tr​ 表现相同。

(3) 调节时间 tst_{s}ts​
ts=3ξω=3T(5%)ts=4ξω=4T(2%)t_{s}=\frac{3}{\xi \omega}=3 T(5\%) \quad t_{s}=\frac{4}{\xi \omega}=4 T(2\%) ts​=ξω3​=3T(5%)ts​=ξω4​=4T(2%)

调节时间 tst_{s}ts​ 近似与复合参数 δ=ξωn\delta=\xi \omega_{n}δ=ξωn​ (哀减因 子 ) 直接负相关 , 与 ξ\xiξ 和 ωn\omega_{n}ωn​ 负相关。

(4) 超调量 σ%\sigma \%σ%
σ%=e−πξ/1−ξ2⋅100%\sigma \%=e^{-\pi \xi / \sqrt{1-\xi^{2}}} \cdot 100 \% σ%=e−πξ/1−ξ2​⋅100%

由于ξ在0-1之间，ξ减小，则1−ξ2\sqrt{1-\xi^{2}}1−ξ2​增大，那么他的导数（11−ξ2\frac{1}{\sqrt{1-\xi^{2}}}1−ξ2​1​）就减小，再加一负号（-11−ξ2\frac{1}{\sqrt{1-\xi^{2}}}1−ξ2​1​）就增大,而分子的影响也一样分析。
超调量只与 ξ\xiξ 负相关。这提供了参数设计的 一个突破口：根据用户要求首先确定 ξ\quad \xiξ 的容许值， 再去考虑其他参数。
要在快速性和平稳性中间取得平衡，通常将 取值介于 0.4-0.8之间，超调量将处在25%-2.5%之 间。计算的关键是极点的实部虚部之比。

极点位置和参数关系

Φ(s)=ωn2s2+2ξωns+ωn2s1,2=−ξωn±jωn1−ξ2β=arctg⁡1−ξ2ξorβ=arccos⁡ξy(t)=1−e−ξ⋅ωn⋅t1−ξ2sin⁡(ωdt+β\begin{aligned} &\Phi(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \xi \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}}\\ & s_{1,2}=-\xi \omega_{n} \pm j \omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}\\ & \beta=\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{1-\xi^{2}}}{\xi} or \beta=\arccos \xi\\ & y(t)=1-\frac{e^{-\xi \cdot \omega_{n} \cdot t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin (\omega_{d} t+\beta \end{aligned}​Φ(s)=s2+2ξωn​s+ωn2​ωn2​​s1,2​=−ξωn​±jωn​1−ξ2​β=arctgξ1−ξ2​​orβ=arccosξy(t)=1−1−ξ2​e−ξ⋅ωn​⋅t​sin(ωd​t+β​

等阻尼线(β线、P.O 线)

P.O=σ%=e−ξ1−ξ2π⋅100%P . O=\sigma \%=e^{-\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \pi} \cdot 100 \%P.O=σ%=e−1−ξ2​ξ​π⋅100%
β=arccos⁡(ξ)=tan⁡−11−ξ2ξ\beta=\arccos (\xi)=\tan ^{-1} \frac{\sqrt{1-\xi^{2}}}{\xi}β=arccos(ξ)=tan−1ξ1−ξ2​​
哪组极点超调较大 ?

只与阻尼系数有关 !
计算：实部虛部之比。

等ω_n线

s1,2=−ζωn±jωn1−ζ2s_{1,2}=-\zeta \omega_{n} \pm j \omega_{n} \sqrt{1-\zeta^{2}}s1,2​=−ζωn​±jωn​1−ζ2​

等 tst_{s}ts​ 线

Ts=4ζωnT_{s}=\frac{4}{\zeta \omega_{n}}Ts​=ζωn​4​
哪组极点过渡过程较短 ?
只与实部有关！

等 tpt_{p}tp​ 线

Tp=πωn1−ζ2T_{p}=\frac{\pi}{\omega_{n} \sqrt{1-\zeta^{2}}} Tp​=ωn​1−ζ2​π​
哪组极点峰值时间较短
只与虚部有关 !

总结

结合以上所有特性，就能判断满足系统性能的可行域。
极点越靠近实轴，系统越稳定；
极点往上，峰值时间和上升时间缩短；
极点往左，调节时间缩短。
同一个圆上，ωn\omega_nωn​即阻尼振荡频率相等，同一条横线上，调节时间相等，同一条竖线上，调节时间和上升时间相等，同一条射线上，ξ相等。

实际工程应用中我们要先调解超调量，因为他只与阻尼系数ξ有关，并且要本着可接受、不冒尖的原则，满足用户最低需求即可。

二阶系统性能扩展优化

生活中的大部分系统都是二阶系统，但是这还不够，为了扩展我们最拿手的二阶系统的适用范围，我们需要了解增加零极点的影响，以及如何将高阶系统近似成二阶系统。
基本要求：
・ 掌握二阶系统时域性能指标的定义与计算
掌握极点位置与性能指标之间的对应关系
・ 掌握稳态误差的计算方法
能力要求 :
对二阶系统性能了如指掌，调控自如。

额外闭环零点的影响

T(s)=ωn2s2+2ξωn+ωn2(s+zz)T(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \xi \omega_{n}+\omega_{n}^{2}}\left(\frac{s+z}{z}\right)T(s)=s2+2ξωn​+ωn2​ωn2​​(zs+z​)

y(t)=1−e−ξωnt1−ξ2sin⁡(1−ξ2ωnt+β)+ωnze−ξωnt1−ξ2sin⁡(1−ξ2ωnt)y(t)=1-\frac{e^{-\xi \omega_{n} t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin \left(\sqrt{1-\xi^{2}} \omega_{n} t+\beta\right)+\frac{\omega_{n}}{z} \frac{e^{-\xi \omega_{n} t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} \sin \left(\sqrt{1-\xi^{2}} \omega_{n} t\right)y(t)=1−1−ξ2​e−ξωn​t​sin(1−ξ2​ωn​t+β)+zωn​​1−ξ2​e−ξωn​t​sin(1−ξ2​ωn​t)
原有二阶输出Y 1(s)_{1}(\mathrm{~s})1​( s) 被微分环节调理 , 波动增强。
新加的微分环节的作用下，输出得到矫正，超调量增加，也即等效阻尼降低（超调量和ξ的公式），零点越靠近虚轴越明显。

第三个闭环极点的影响

T(s)=ωn2s2+2ξωn+ωn2(ps+p)T(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \xi \omega_{n}+\omega_{n}^{2}}\left(\frac{p}{s+p}\right)T(s)=s2+2ξωn​+ωn2​ωn2​​(s+pp​)

原有二阶输出Y 1(s)_{1}(\mathrm{~s})1​( s) 被积分环节调理 , 波动減弱
Y(s)=1s−As+Bs2+2ξωns+ωn2−C1s+pA=p2−2pξωnp2−2pξωn+ωn2B=ωn2+2pξωn−4ξ2ωn2p−2ξωnC=ωn2p2−2pξωn+ωn2\begin{aligned} &Y(s)=\frac{1}{s}-A \frac{s+B}{s^{2}+2 \xi \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}}-C \frac{1}{s+p}\\ &A=\frac{p^{2}-2 p \xi \omega_{n}}{p^{2}-2 p \xi \omega_{n}+\omega_{n}^{2}}\\ &B=\frac{\omega_{n}^{2}+2 p \xi \omega_{n}-4 \xi^{2} \omega_{n}^{2}}{p-2 \xi \omega_{n}}\\ &C=\frac{\omega_{n}^{2}}{p^{2}-2 p \xi \omega_{n}+\omega_{n}^{2}}\end{aligned}​Y(s)=s1​−As2+2ξωn​s+ωn2​s+B​−Cs+p1​A=p2−2pξωn​+ωn2​p2−2pξωn​​B=p−2ξωn​ωn2​+2pξωn​−4ξ2ωn2​​C=p2−2pξωn​+ωn2​ωn2​​​
加入积分环节后，等效阻尼上升，波动减少，越靠近虚轴越明显。

主导极点与模型降阶近似

有第三个极点的三阶系统的单位阶跃响应构成 :


主导极点 : 靠近虚轴且附近没有零点的极点。
一个好的设计，应该使系统表现得如同主导二阶系统，易于把控。

误差分析(静态误差:开环传函和动态误差：误差传函三种信号下的分析，利用终值定理)

误差的定义 :系统输出量的实际值与期望值之差。
e(t)=r(t)−y(t)e(t)=r(t)-y(t) e(t)=r(t)−y(t)

视在误差的定义 :系统的输入信号与反馈信号之差。
e(t)=r(t)−b(t)e(t)=r(t)-b(t) e(t)=r(t)−b(t)

由于工程上输出通常难以取得，例如熔炉的温度，这个时候就只能退而求其次。当H(s)增益为1时，这两者之间就没有差别了。

误差传递函数：Φe(s)=E(s)R(s)=11+G(s)H(s)\Phi_{e}(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s) H(s)}Φe​(s)=R(s)E(s)​=1+G(s)H(s)1​
稳态误差 ess:\mathrm{e}_{\mathrm{ss}}:ess​: 误差信号的稳态分量 ess(∞)=lim⁡t→∞es(t)=lim⁡t→∞e(t)e_{s \mathrm{~s}}(\infty)=\lim \limits_{t \rightarrow \infty} e_{s}(t)=\lim\limits _{t \rightarrow \infty} e(t)es s​(∞)=t→∞lim​es​(t)=t→∞lim​e(t)
稳定的反贵系统的稳态误差为 :
ess=lim⁡t→∞e(t)=lim⁡s→0sE(s)=lim⁡s→0sR(s)1+G(s)H(s)e_{s s}=\lim\limits _{t \rightarrow \infty} e(t)=\lim\limits _{s \rightarrow 0} s E(s)=\lim\limits _{s \rightarrow 0} s \frac{R(s)}{1+G(s) H(s)}ess​=t→∞lim​e(t)=s→0lim​sE(s)=s→0lim​s1+G(s)H(s)R(s)​
控制系统的稳态误差取决于输入信号和开环传递函数。

单位阶跃信号输入时的稳态误差 ( 静差 ) :
r(t)=1(t),R(s)=1sr(t)=1(t), R(s)=\frac{1}{s}r(t)=1(t),R(s)=s1​

essP=lim⁡s→0sR(s)1+G(s)H(s)=11+lim⁡s→0G(s)H(s)=11+Kpe_{s s P}=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{s R(s)}{1+G(s) H(s)}=\frac{1}{1+\lim _{s \rightarrow 0} G(s) H(s)}=\frac{1}{1+K_{p}}essP​=lims→0​1+G(s)H(s)sR(s)​=1+lims→0​G(s)H(s)1​=1+Kp​1​

Kp=lim⁡s→0G(s)H(s),K_{p}=\lim _{s \rightarrow 0} G(s) H(s),Kp​=lims→0​G(s)H(s), 位置误差系数

单位速度 ( 斜坡 ) 信号输入时的稳态误差：
r(t)=t,R(s)=1s2essv=lim⁡s→0sR(s)1+G(s)H(s)=lim⁡s→0s1+G(s)H(s)1s2=1lim⁡s→0sG(s)H(s)=1Kv\begin{aligned} r(t) &=t, R(s)=\frac{1}{s^{2}} \\ e_{s s v} &=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{s R(s)}{1+G(s) H(s)}=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{s}{1+G(s) H(s)} \frac{1}{s^{2}} \\ &=\frac{1}{\lim _{s \rightarrow 0} s G(s) H(s)}=\frac{1}{K_{v}} \end{aligned}r(t)essv​​=t,R(s)=s21​=s→0lim​1+G(s)H(s)sR(s)​=s→0lim​1+G(s)H(s)s​s21​=lims→0​sG(s)H(s)1​=Kv​1​​
Kv=lim⁡s→0sG(s)H(s),K_{v}=\lim _{s \rightarrow 0} s G(s) H(s),Kv​=lims→0​sG(s)H(s), 速度误差系数

单位加速度 ( 抛物线 ) 信号输入时的稳态误差：
r(t)=12t2,R(s)=1s3essa=lim⁡s→0sR(s)1+G(s)H(s)=lim⁡s→0s1+G(s)H(s)1s3=1lim⁡s→0s2G(s)H(s)=1Ka\begin{aligned} r(t) &=\frac{1}{2} t^{2}, R(s)=\frac{1}{s^{3}} \\ e_{s s a} &=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{s R(s)}{1+G(s) H(s)}=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{s}{1+G(s) H(s)} \frac{1}{s^{3}} \\ &=\frac{1}{\lim _{s \rightarrow 0} s^{2} G(s) H(s)}=\frac{1}{K_{a}} \end{aligned}r(t)essa​​=21​t2,R(s)=s31​=s→0lim​1+G(s)H(s)sR(s)​=s→0lim​1+G(s)H(s)s​s31​=lims→0​s2G(s)H(s)1​=Ka​1​​
Ka=lim⁡s→0s2G(s)H(s),K_{a}=\lim _{s \rightarrow 0} s^{2} G(s) H(s),Ka​=lims→0​s2G(s)H(s), 加速度误差系数

系统型数为开环极点数目，尾一多项式形式的系数即为开环增益。

误差系数的求解方法
Kp=lim⁡s→0G(s)H(s)=lim⁡KsNG0H0=lim⁡s→0KsNKv=lim⁡s→0sG(s)H(s)=lim⁡KsN−1[G0H]=lim⁡s→0KsN−1Ka=lim⁡s→0s2G(s)H(s)=lim⁡s→0KsN−2G0H0=lim⁡s→0KsN−2\begin{aligned}\\ &K_{p}=\lim _{s \rightarrow 0} G(s) H(s)=\lim \frac{K}{s^{N}} G_{0} H_{0}=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{K}{s^{N}}\\ &K_{v}=\lim _{s \rightarrow 0} s G(s) H(s)=\lim \frac{K}{s^{N-1}}\left[G_{0} H\right]=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{K}{s^{N-1}}\\ &K_{a}=\lim _{s \rightarrow 0} s^{2} G(s) H(s)=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{K}{s^{N-2}} G_{0} H_{0}=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{K}{s^{N-2}}\end{aligned}​Kp​=s→0lim​G(s)H(s)=limsNK​G0​H0​=s→0lim​sNK​Kv​=s→0lim​sG(s)H(s)=limsN−1K​[G0​H]=s→0lim​sN−1K​Ka​=s→0lim​s2G(s)H(s)=s→0lim​sN−2K​G0​H0​=s→0lim​sN−2K​​

essP=11+Kpessv=1Kvessa=1Kae_{s s P}=\frac{1}{1+K_{p}} \quad e_{s s v}=\frac{1}{K_{v}} \quad e_{s s a}=\frac{1}{K_{a}}essP​=1+Kp​1​essv​=Kv​1​essa​=Ka​1​

减小稳态误差的方法

减小稳态误差措施有哪些?
1、增大开环增益 ( 首选，工程实际有差工作状态 ) ;
2、提高系统型数，但会有显著的副作用 ;
3、干扰对消技术。

总结

附加闭环零、极点对性能的影响：
主导极点
提高精度的主要措施 :
1、增大开环增益。（首选，有差工作状态 ）
2、提高系统型数，但有显著的副作用 ;

控制系统稳定性

平衡状态 如果没有受到任何扰动或者输入信号的激励 控制系统输出量将保持在某个状志，则称控制系统处于平衡状态。
dxdt=0\frac{d x}{d t}=\mathrm{0} dtdx​=0

稳定性 一个处在平衡状态的系统，在扰动作用下，会偏离平衡状态。当扰动消失后 ,扰动的后效随着时间消失，系统能恢復到平衡状态，则称该系统是稳定的。反之 ，则称该系统不稳定。

例如，在正常状态下，左右两图均为平衡状态，但是左边收到扰动后，能逐渐恢复原状态，稳定；而右图稍一碰撞便无法恢复原状态，不稳定。不倒翁是全局稳定的。
这就好比上晚自习一样，如果外面放烟花，有的同学非常稳定，不为所动；有的同学可能抬头看两眼，然后恢复稳定；有的同学可能就直接跑出去了，失去稳定性。
相对稳定性 :
稳定的系统之间，还需要进一步衡量哪一个更稳定。
轮船 - -》民航客机 - -》战斗机
稳定性的严格定义多种多样 :
BIBO稳定，
扰动消失稳定 , Lyapunov稳定性 ( 论运动的稳定性 )……) \ldots \ldots)……

稳定性严格定义之一 : 输入输出有界 ( BIBO ) 稳定
有界输入的激励下，系统只会产生有界的输出。

∣r(t)∣t→∞<∞∣y(t)∣t→∞<∞|\boldsymbol{r}(\boldsymbol{t})|_{t \rightarrow \infty}<\infty \quad|\boldsymbol{y}(\boldsymbol{t})|_{t \rightarrow \infty}<\infty∣r(t)∣t→∞​<∞∣y(t)∣t→∞​<∞
稳定性是系统的固有属性 , 只与系统自身有关。

极点位置与单位脉冲响应

可以看到，实部决定发散与收敛，而单极点还是共轭跟决定是否出现正弦包络。

稳定的充分必要条件(所有闭环极点都位于s平面的左半平面)

所有闭环极点的实部为负，或者说，所有闭环极点都位于s平面的左半平面。
输出是有界输入与单位脉冲响应的卷积 ( 组合 ) 。
由此判断闭环传递函数的脉冲响应是否有界。

闭环传递函数的一般形式：
G(s)=K∏i=1l(s−zi)sN∏j=1Q(s+σj)∏m=1R(s2+2ams+(am2+ωm2))G(s)=\frac{K \prod\limits_{i=1}^{l}\left(s-z_{i}\right)}{s^{N} \prod\limits_{j=1}^{Q}\left(s+\sigma_{j}\right) \prod\limits_{m=1}^{R}\left(s^{2}+2 a_{m} s+\left(a_{m}^{2}+\omega_{m}^{2}\right)\right)} G(s)=sNj=1∏Q​(s+σj​)m=1∏R​(s2+2am​s+(am2​+ωm2​))Ki=1∏l​(s−zi​)​

N=0,am≠0\mathrm{N}=0, a_{m} \neq 0N=0,am​​=0 (虛轴上无极点)时，脉冲响应的 一般形式为：
y(t)=∑j=1QAje−σjt+∑m=1RBm(1ωm)e−amtsin⁡(ωmt+θm)y(t)=\sum\limits_{j=1}^{Q} A_{j} e^{-\sigma_{j} t}+\sum\limits_{m=1}^{R} B_{m}\left(\frac{1}{\omega_{m}}\right) e^{-a_{m} t} \sin \left(\omega_{m} t+\theta_{m}\right)y(t)=j=1∑Q​Aj​e−σj​t+m=1∑R​Bm​(ωm​1​)e−am​tsin(ωm​t+θm​)
所有极点的实部为负，则有界 ( 稳定 ) 。有一个非负，则无界 ( 不稳定 )。
其中K叫做根轨迹增益。

N=1\mathrm{N}=1N=1 或只有单个 am=0a_{m}=0am​=0 时，系统在原点处或 虚轴上单重极点，脉冲响应通常有界，但对特定的输 入产生共振效应，出现无界响应 (临界稳定 ) 。（需要注意临界稳定是不稳定的状态）
以单重极点±jω± j\omega±jω 为例，脉冲响应为有限振荡， 但当输入恰好为同频率谐波信号时，输出响应为：
ω2(s2+ω2)2=−14(1(s−jω)2+1(s+jω)2)+12(s2+ω2)ypart(t)=−t4sin⁡(ωmt)+12ωmsin⁡(ωmt)\begin{aligned} &\frac{\omega^{2}}{\left(s^{2}+\omega^{2}\right)^{2}}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{(s-j \omega)^{2}}+\frac{1}{(s+j \omega)^{2}}\right)+\frac{1}{2\left(s^{2}+\omega^{2}\right)} \\ &y_{p a r t}(t)=-\frac{t}{4} \sin \left(\omega_{m} t\right)+\frac{1}{2 \omega_{m}} \sin \left(\omega_{m} t\right) \end{aligned} ​(s2+ω2)2ω2​=−41​((s−jω)21​+(s+jω)21​)+2(s2+ω2)1​ypart​(t)=−4t​sin(ωm​t)+2ωm​1​sin(ωm​t)​

N大于1，或系统在原点处 ( 或虛轴上 ) 有多重 极点时，脉冲响应通常就已无界，对任意有界输入的 响应无界（不稳定）。
以 ±jω\pm j \omega±jω 为2重极点为例，
ω2(s2+ω2)2=−14(1(s−jω)2+1(s+jω)2)+12(s2+ω2)\frac{\omega^{2}}{\left(s^{2}+\omega^{2}\right)^{2}}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{(s-j \omega)^{2}}+\frac{1}{(s+j \omega)^{2}}\right)+\frac{1}{2\left(s^{2}+\omega^{2}\right)} (s2+ω2)2ω2​=−41​((s−jω)21​+(s+jω)21​)+2(s2+ω2)1​
则脉冲响应就已经无界！
ypart(t)=−t4sin⁡(ωmt)+12ωmsin⁡(ωmt)y_{\text {part}}(t)=-\frac{t}{4} \sin \left(\omega_{m} t\right)+\frac{1}{2 \omega_{m}} \sin \left(\omega_{m} t\right) ypart​(t)=−4t​sin(ωm​t)+2ωm​1​sin(ωm​t)

线性系统稳定的充分必要条件 : 所有闭环极点的实部为负, 或者说，所有闭环极点都位于s平面的左半平面。

劳斯判据

常规劳斯表

特征多项式 ：q(s)=ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0=0： q(s)=a_{n} s^{n}+a_{n-1} s^{n-1}+\cdots+a_{1} s+a_{0}=0：q(s)=an​sn+an−1​sn−1+⋯+a1​s+a0​=0
将上式因式分解：
q(s)=an(s−r1)(s−r2)⋯(s−rn)q(s)=a_{n}\left(s-r_{1}\right)\left(s-r_{2}\right) \cdots\left(s-r_{n}\right)q(s)=an​(s−r1​)(s−r2​)⋯(s−rn​)
=ansn−an(r1+r2+⋯+rn)sn−1+an(r1r2+r1r3+⋯+rn−1rn)sn−2=a_{n} s^{n}-a_{n}\left(r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n}\right) s^{n-1}+a_{n}\left(r_{1} r_{2}+r_{1} r_{3}+\cdots+r_{n-1} r_{n}\right) s^{n-2}=an​sn−an​(r1​+r2​+⋯+rn​)sn−1+an​(r1​r2​+r1​r3​+⋯+rn−1​rn​)sn−2
−an(r1r2r3+r1r2r4+⋯+rn−2rn−1rn)sn−3+⋯+an(−1)nr1r2⋯rn=0-a_{n}\left(r_{1} r_{2} r_{3}+r_{1} r_{2} r_{4}+\cdots+r_{n-2} r_{n-1} r_{n}\right) s^{n-3}+\cdots+a_{n}(-1)^{n} r_{1} r_{2} \cdots r_{n}=0−an​(r1​r2​r3​+r1​r2​r4​+⋯+rn−2​rn−1​rn​)sn−3+⋯+an​(−1)nr1​r2​⋯rn​=0

高中我们知道根据韦达定理一元二次方程的两根满足
x1+x2=−bax1x2=ca\begin{aligned} x_{1}+x_{2} &=-\frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} &=\frac{c}{a} \end{aligned}x1​+x2​x1​x2​​=−ab​=ac​​
既然通过根的符号我们便可以判断系统的稳定性，那么就由此入手。
必要条件→\rightarrow→ 线性系统稳定 ⇒\Rightarrow⇒ 特征多项式的所有系数为正（同号）
若特征多项式中任一系数为负或缺项 ( 系数为零) 则系统为不稳定系统。

例6.2 判断下列系统特征方程的稳定性：
q(s)=s2−s+4=0不稳定 q(s)=s3+2s2+9=0不稳定 q(s)=s3+3s2+3s+1稳定 q(s)=s3+s2+2s+8稳定 \begin{array}{ll} q(s)=s^{2}-s+4=0 & \text { 不稳定 } \\ q(s)=s^{3}+2 s^{2}+9=0 & \text { 不稳定 }\\ q(s)=s^{3}+3 s^{2}+3 s+1& \text { 稳定 } \\ q(s)=s^{3}+s^{2}+2 s+8&\text { 稳定 } \end{array}q(s)=s2−s+4=0q(s)=s3+2s2+9=0q(s)=s3+3s2+3s+1q(s)=s3+s2+2s+8​ 不稳定  不稳定  稳定  稳定 ​
第三个式子是s+1的立方和公式，最后一个式子也可以做因式分解q(s)=(s+2)(s2−s+4)=s3+s2+2s+8q(s)=(s+2)\left(s^{2}-s+4\right)=s^{3}+s^{2}+2 s+8q(s)=(s+2)(s2−s+4)=s3+s2+2s+8

Routh1877年Routh判据，Hurwitz1895年Routh-Hurwitz稳定性判据。
Routh-Hurwitz判据：q(s)的正实部根的数目等于Routh表首列中符号变化的次数。

q(s)=ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0=0q(s)=a_{n} s^{n}+a_{n-1} s^{n-1}+\cdots+a_{1} s+a_{0}=0q(s)=an​sn+an−1​sn−1+⋯+a1​s+a0​=0

snanan−2an−4sn−1an−1an−3an−5sn−2bn−1bn−3bn−5sn−3cn−1cn−3cn−5⋮⋮⋮⋮s0hn−1\begin{array}{c|ccc} \boldsymbol{s}^{n} & \boldsymbol{a}_{n} & \boldsymbol{a}_{n-2} & \boldsymbol{a}_{n-4} \\ \boldsymbol{s}^{n-1} & \boldsymbol{a}_{n-1} & \boldsymbol{a}_{n-3} & \boldsymbol{a}_{n-5} \\ \boldsymbol{s}^{n-2} & \boldsymbol{b}_{n-1} & \boldsymbol{b}_{n-3} & \boldsymbol{b}_{n-5} \\ \boldsymbol{s}^{n-3} & \boldsymbol{c}_{n-1} & \boldsymbol{c}_{n-3} & \boldsymbol{c}_{n-5} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \boldsymbol{s}^{0} & \boldsymbol{h}_{\boldsymbol{n}-1} & & \end{array} snsn−1sn−2sn−3⋮s0​an​an−1​bn−1​cn−1​⋮hn−1​​an−2​an−3​bn−3​cn−3​⋮​an−4​an−5​bn−5​cn−5​⋮​
Routh-Hurwitz表的第一、第二行，直接由特征多项式系数间隔排列构成。
bn−1=−1an−1∣anan−2an−1an−3∣=an−1an−2−anan−3an−1\begin{aligned} b_{n-1}=\frac{-1}{a_{n-1}}\left|\begin{array}{ll}a_{n} & a_{n-2} \\ a_{n-1} & a_{n-3}\end{array}\right|=\frac{a_{n-1} a_{n-2}-a_{n} a_{n-3}}{a_{n-1}} \end{aligned}bn−1​=an−1​−1​∣∣∣∣​an​an−1​​an−2​an−3​​∣∣∣∣​=an−1​an−1​an−2​−an​an−3​​​
bn−3=−1an−1∣anan−4an−1an−5∣\begin{aligned} b_{n-3}=\frac{-1}{a_{n-1}}\left|\begin{array}{ll}a_{n} & a_{n-4} \\ a_{n-1} & a_{n-5}\end{array}\right| \end{aligned}bn−3​=an−1​−1​∣∣∣∣​an​an−1​​an−4​an−5​​∣∣∣∣​​
上一行首列元素始终为分母。上两行首列元素始终参与行列式运算，其他轮值。
cn−1=−1bn−1∣an−1an−3bn−1bn−3∣\begin{aligned} c_{n-1}=\frac{-1}{b_{n-1}}\left|\begin{array}{ll}a_{n-1} & a_{n-3} \\ b_{n-1} & b_{n-3}\end{array}\right| \end{aligned}cn−1​=bn−1​−1​∣∣∣∣​an−1​bn−1​​an−3​bn−3​​∣∣∣∣​​
cn−3=−1bn−1∣an−1an−5bn−1bn−5∣\begin{aligned} c_{n-3}=\frac{-1}{b_{n-1}}\left|\begin{array}{ll}a_{n-1} & a_{n-5} \\ b_{n-1} & b_{n-5}\end{array}\right| \end{aligned}cn−3​=bn−1​−1​∣∣∣∣​an−1​bn−1​​an−5​bn−5​​∣∣∣∣​​

特殊情况

首列中有1个元素为零

用无穷小正数 ε\varepsilonε 代替 0 , 继续运算，最后令无穷小正数 ε\varepsilonε 趋近于零

Routh表中存在全零行

全 0 行的前一行多项式是q(s)的因子
全 0 行的情况下，系统不稳定

如果要求特征值均位于垂线 =−1=-1=−1 的左侧 ,,, 问 k\mathrm{k}k 的取值范围应该如何调整? ( 相对稳定性 )
令 s=sn−1,sn=0s=s_{\mathrm{n}}-1, s_{\mathrm{n}}=0s=sn​−1,sn​=0 线就是 s=−1s=-1s=−1 线。代入 q(s)q(s)q(s) 得到新多项式，再用Routh判据。

步骤总结

1.将s从高到低依次排开
2.将奇数次幂项的系数和偶数次幂项的系数，分别列写两条横线；
3.之后的新项，每个以头顶为分母，头顶两列前两项和头顶右边一列，紧挨着的两项，组成的行列式乘机的负数，为分子，求解即可；
4.若出现首项为0，令其为ε；全零，则上一列特征方程顶替；
5.最后一项即为常数项。

总结

稳定性是系统的固有属性。
充要条件 : 所有极点位于s平面的左半平面。
劳斯判据可以判定系统稳定性。
劳斯判据也可以用于控制系统的初步参数设计。

判断稳定性的步骤
1.看是否有s的某个次方缺项或变号，有则系统直接不稳定；
2.排除不稳定后，尝试因式分解或依照劳斯表判断。

总结

参考

国防科技大学学堂在线《自动控制原理》

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