关于100层楼，扔两个鸡蛋，求摔碎鸡蛋的临界层的问题

题目描述：

两个软硬程度一样但未知的鸡蛋，它们有可能都在一楼就摔碎，也可能从一百层楼摔下来没事。有座100层的建筑，要你用这两个鸡蛋确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置。可以摔碎两个鸡蛋。

网上有人说可以写动态规划方程来解决，我也没看。不过依我之见，这个问题通过简单的证明就可以得出结论。我们可以直接对n层建筑来分析。

如果我们只有一个鸡蛋，那么只能从最底层，一层一层的做实验，直到鸡蛋摔碎为止。

对于一个x层的楼，做这种实验最坏情况下需要的次数记为f(x).

现在我们有两个鸡蛋，并假设我们已经知道临界层是在[a,b]之间（共b-a+1层），那么我们第一次尝试要从哪层开始呢？假设从第a+k层开始，那么分两种情况

1）鸡蛋在第a+k层碎了，那么我们接下去要用剩下的那个鸡蛋从第a层开始，一层一层尝试下去，这样最坏情况下还需要尝试k次(a,a+1,…,a+k-1)

2）鸡蛋在第a+k层没有碎，那么我们就知道了，临界区是在[a+k+1,b]之间(共有b-a-k层)，这样我们就把问题转化成为了一个更小的问题了。

以上两种情况，第一种情况下的最坏情况，总共尝试了k+1次，而第二中情况下，最坏的可能是1+f(b-a-k)。因此我们有：

f(b-a+1)=min{max{1+k,1+f(b-a-k)}|0<=k<=b-a}

很容易证明，函数f(x)是随自变量x单调递增的。于是我们有：1+k随着k的增加而单调递增，1+f(b-a-k)随着k的增加而单调递减。我们可以证明，当1+k=1+f(b-a-k)的时候，max{1+k,1+f(b-a-k)}取得最小值。证明如下，假设有任意一个k’!=k，

如果k’>k，那么1+k’>1+k, 1+f(b-a-k’)<1+f(b-a-k).由于1+k=1+f(b-a-k),因此有1+f(b-a-k’)<1+f(b-a-k)=1+k<1+k’

显然有max{1+k’,1+f(b-a-k’)}>max{1+k,1+f(b-a-k)}

如果k’<k,则我们会得到1+k’<1+k=1+f(b-a-k)<1+f(b-a-k’),于是同样得出上述结论。

由上可知，我们第一步所要取的k,就是使得1+k=1+f(b-a-k)的一个值。那么对于n层的楼来说，我们有：

F(n)=1+k1=1+f(n-k1-1)

F(n-k1-1)=1+k2=1+f(n-k1-k2-2)

…

F(1)=1

F(0)=0

由以上一些公式我们可知：

1)1+k1=1+f(n-k1-1)=1+(1+k2)，即k1=k2+1,这说明k1,…,km是一些连续的整数

2)n-(k1+1)-(k2+1)-…-(km+1)=0，说明这些连续的整数(k1+1,…,km+1)的和是n

3)km<=0,说明这些连续的整数(k1+1,…,km+1)是从1开始的

由以上3点，我们可以知道，k1就是满足1+…+(k1+1)=(k1+2)(k1+1)/2=n的那个数。当然，如果找不到一个k1满足(k1+2)(k1+1)/2=n,那么只需要找到一个最小的k1满足(k1+2)(k1+1)/2>n，就行了。

由上可以看出，这道题我们不需要编程序什么的，只需要运用一点点算数小技巧，就可以推理得到答案。对于100层楼的情况，那么由于满足条件的最小k1是13，所以我们第一次就从第k1+1=13+1=14层开始做实验。

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