信号与系统（20）-拉普拉斯变换的性质

同傅里叶变换一样，拉普拉斯变换的性质也可以实现对更多信号拉普拉斯变换的求解，除此之外，之前提到的求解拉普拉斯反变换的分部分式法以及留数法，也是在拉普拉斯变换具有线性和齐次性的前提下。这一部分内容将对拉普拉斯变换的性质做简要总结。

在讨论拉普拉斯变换的性质时，除变换本身外，要需要对变换前后收敛区间的变换加以强调。

1. 线性：

线性性质说明：信号的和的拉普拉斯变换，等于拉普拉斯变换的和，即“
L{a1f1(t)+a2f2(t)}=a1L{f1(t)}+a2L{f2(t)}L\{a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\}=a_1L\{f_1(t)\}+a_2L\{f_2(t)\} L{a1f1(t)+a2f2(t)}=a1L{f1(t)}+a2L{f2(t)}
收敛区间：通常为L{f1(t)}L\{f_1(t)\}L{f1(t)}和L{f2(t)}L\{f_2(t)\}L{f2(t)}的公共部分，但是也有例外，如下面的例子：
f1(t)=−e−t⋅ε(t),f2(t)=e−t+δ(t)⋅ε(t)f_1(t)=-e^{-t}\cdot \varepsilon(t), \space f_2(t)=e^{-t}+\delta(t)\cdot \varepsilon(t) f1(t)=−e−t⋅ε(t), f2(t)=e−t+δ(t)⋅ε(t)
f1(t)f_1(t)f1(t)和f2(t)f_2(t)f2(t)的收敛区间分别均为Re(s)>−1Re(s)>-1Re(s)>−1，但是当两者相加后，收敛区间扩展成为(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)

适用范围：拉普拉斯变换的线性性质，对单边和双边拉普拉斯变换均适用。

2. 尺度变换特性：

如果L{f(t)}=F(s)L\{f(t)\}=F(s)L{f(t)}=F(s)，收敛区间为σ1<Re(s)<σ2\sigma_1<Re(s)<\sigma_2σ1<Re(s)<σ2，则：
L{f(at)}=1∣a∣F(sa)L\{f(at)\}=\frac{1}{\vert a\vert}F(\frac{s}{a}) L{f(at)}=∣a∣1F(as)
收敛区间：

a>0a>0a>0时，收敛区间为aσ1<Re(s)<aσ2a\sigma_1<Re(s)<a\sigma_2aσ1<Re(s)<aσ2
a<0a<0a<0时，收敛区间为aσ1>Re(s)>aσ2a\sigma_1>Re(s)>a\sigma_2aσ1>Re(s)>aσ2

适用范围：

若用于单边拉普拉斯变换，则要求a>0a>0a>0
对于双边拉普拉斯变换，对aaa没有要求

3. 时延特性：

如果L{f(t)}=F(s)L\{f(t)\}=F(s)L{f(t)}=F(s)，收敛区间为σ1<Re(s)<σ2\sigma_1<Re(s)<\sigma_2σ1<Re(s)<σ2，则：
L{f(t−t0)}=F(s)e−st0L\{f(t-t_0) \}=F(s)e^{-st_0} L{f(t−t0)}=F(s)e−st0
收敛区间：仍为σ1<Re(s)<σ2\sigma_1<Re(s)<\sigma_2σ1<Re(s)<σ2

适用范围：

若用于单边拉普拉斯变换，要求t0≥0t_0\geq 0t0≥0
对于双边拉普拉斯变换没有要求。

应用时延特性，可以求出单边周期信号，即信号f(t)f(t)f(t)按照周期TTT在t>0t>0t>0的部分进行周期化后的信号的拉式变换，如图所示：

若f(t)f(t)f(t)的拉普拉斯变换为F(s)F(s)F(s)，则单边周期化的信号为：
fT(t)=∑n=0∞f(t−nT)f_T(t)=\sum_{n=0}^{\infty}f(t-nT) fT(t)=n=0∑∞f(t−nT)
其拉普拉斯变换为：
L{fT(t)}=L{∑n=0∞f(t−nT)}=∑n=0∞L{f(t−nT)}=∑n=0∞F(s)⋅e−snT=F(s)[∑n=0∞e−snT]=F(s)1−e−sT\begin{aligned} L\{ f_T(t)\}&=L\{\sum_{n=0}^{\infty}f(t-nT) \} \\&=\sum_{n=0}^{\infty}L\{f(t-nT) \} \\&=\sum_{n=0}^{\infty}F(s)\cdot e^{-snT} \\&=F(s)[\sum_{n=0}^{\infty}e^{-snT}] \\&=\frac{F(s)}{1-e^{-sT}} \end{aligned} L{fT(t)}=L{n=0∑∞f(t−nT)}=n=0∑∞L{f(t−nT)}=n=0∑∞F(s)⋅e−snT=F(s)[n=0∑∞e−snT]=1−e−sTF(s)

4. 复移频特性

如果L{f(t)}=F(s)L\{f(t)\}=F(s)L{f(t)}=F(s)，收敛区间为σ1<Re(s)<σ2\sigma_1<Re(s)<\sigma_2σ1<Re(s)<σ2，则：
L{f(t)es0t}=F(s−s0)L\{f(t)e^{s_0t}\}=F(s-s_0) L{f(t)es0t}=F(s−s0)
收敛区间：σ1+Re(s0)<Re(s)<σ2+Re(s0)\sigma_1+Re(s_0)<Re(s)<\sigma_2+Re(s_0)σ1+Re(s0)<Re(s)<σ2+Re(s0)

使用范围：双边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯变换均适用。

例如：已知L{tε(t)}=1s2L\{t\varepsilon(t)\}=\frac{1}{s^2}L{tε(t)}=s21，收敛区为Re(s)>0Re(s)>0Re(s)>0，则
L{t⋅es0t}=1(s−s0)2L\{t\cdot e^{s_0t}\}=\frac{1}{(s-s_0)^2} L{t⋅es0t}=(s−s0)21
收敛区：Re(s)>Re(s0)Re(s)>Re(s_0)Re(s)>Re(s0)

5. 时域微分特性：

在了解时域微分特性之前，首先回顾0+0^+0+系统和0−0^-0−系统：

如果在t=0t=0t=0时刻作为对系统开始观察的时刻，比如施加激励的时刻，或系统状态发生变化的时刻等，在t=0t=0t=0之后很近的时刻称为0+0^+0+时刻，在t=0t=0t=0之前很近的时刻称为0−0^-0−时刻，如下图所示：

0+0^+0+系统：从t=0+t=0^+t=0+开始考虑系统的激励和响应，响应的拉普拉斯变换为:
F(s)=∫0++∞f(t)e−stdtF(s)=\int_{0^+}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt F(s)=∫0++∞f(t)e−stdt
0−0^-0−系统：从t=0−t=0^-t=0−开始考虑系统的激励和响应，响应的拉普拉斯变换为:
F(s)=∫0−+∞f(t)e−stdtF(s)=\int_{0^-}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt F(s)=∫0−+∞f(t)e−stdt
0+0^+0+系统和0−0^-0−系统的主要区别为：

在t=0t=0t=0时刻，如果激励信号存在冲激信号，则在t=0t=0t=0时刻系统可能发生跳变，使得t=0−t=0^-t=0−时刻的状态和t=0+t=0^+t=0+时刻的状态不同。
0+0^+0+系统并没有考虑在t=0t=0t=0时刻信号加到系统时系统的状态，而是直接考虑信号加载之后的系统状态，即没有考虑系统的初始状态。0−0^-0−系统则考虑了系统的初始状态，在使用拉普拉斯变换时会自动引入初始条件。因此一般都使用0−0^-0−系统的拉普拉斯变换

时域微分特性：

如果L{f(t)}=F(s)L\{f(t)\}=F(s)L{f(t)}=F(s)，收敛区间为σ1<Re(s)<σ2\sigma_1<Re(s)<\sigma_2σ1<Re(s)<σ2，则：
L{ddtf(t)}=sF(s)−f(0−),→0−系统L{ddtf(t)}=sF(s)−f(0+),→0+系统\begin{aligned} &L\{\frac{d}{dt}f(t)\}=sF(s)-f(0^-),\space \rightarrow0^-系统 \\&L\{\frac{d}{dt}f(t)\}=sF(s)-f(0^+),\space \rightarrow0^+系统 \end{aligned} L{dtdf(t)}=sF(s)−f(0−), →0−系统L{dtdf(t)}=sF(s)−f(0+), →0+系统
收敛区间：可能会增大，但是不会减小

适用范围：单边和双边拉普拉斯变换都适用。

对于多阶微分，其拉普拉斯变换为：
L{dndtnf(t)}=snF(s)−sn−1f(0−)−sn−2f′(0−)−⋯−sf(n−2)(t)−f(n−1)(0−)L\{\frac{d^n}{dt^n}f(t)\}=s^nF(s)-s^{n-1}f(0^-)-s^{n-2}f'(0^-)-\cdots-sf^{(n-2)}(t)-f^{(n-1)}(0^-) L{dtndnf(t)}=snF(s)−sn−1f(0−)−sn−2f′(0−)−⋯−sf(n−2)(t)−f(n−1)(0−)
即：
L{dndtnf(t)}=snF(s)−sn−1∑i=0n−1s−ididtif(t)∣t=0−L\{\frac{d^n}{dt^n}f(t)\}=s^nF(s)-s^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}s^{-i}\frac{d^i}{dt^i}f(t)|_{t=0^-} L{dtndnf(t)}=snF(s)−sn−1i=0∑n−1s−idtidif(t)∣t=0−
若令初始状态为零，则：
L{dndtnf(t)}=snF(s)L\{\frac{d^n}{dt^n}f(t)\}=s^nF(s) L{dtndnf(t)}=snF(s)
可以用于求解零状态响应。

6. 时域积分特性：

如果L{f(t)}=F(s)L\{f(t)\}=F(s)L{f(t)}=F(s)，收敛区间为σ1<Re(s)<σ2\sigma_1<Re(s)<\sigma_2σ1<Re(s)<σ2，则：
L{∫0−tf(τ)dτ}=F(s)sL\{\int_{0^-}^{t}f(\tau)d\tau\}=\frac{F(s)}{s} L{∫0−tf(τ)dτ}=sF(s)
收敛区间：因为多引入了一个极点，因此收敛区间可能变小

适用范围：单边和双边均适用

推广：
L{∫0−t∫0−τ2f(τ1)dτ1dτ2}=F(s)s2L\left\{\int_{0^{-}}^{t} \int_{0^{-}}^{\tau_{2}} f\left(\tau_{1}\right) d \tau_{1} d \tau_{2}\right\}=\frac{F(s)}{s^{2}} L{∫0−t∫0−τ2f(τ1)dτ1dτ2}=s2F(s)

7. 复频域微积分特性：

如果L{f(t)}=F(s)L\{f(t)\}=F(s)L{f(t)}=F(s)，收敛区间为σ1<Re(s)<σ2\sigma_1<Re(s)<\sigma_2σ1<Re(s)<σ2，则：
L{t⋅f(t)}=−ddsF(s)L{f(t)t}=∫s+∞F(p)dp\begin{aligned} L\{t\cdot f(t)\}&=-\frac{d}{ds}F(s) \\L\{\frac{f(t)}{t}\}&=\int_{s}^{+\infty}F(p)dp \end{aligned} L{t⋅f(t)}L{tf(t)}=−dsdF(s)=∫s+∞F(p)dp
收敛区：

复频域微分：可能增加
复频域积分：可能减小

8. 参量微积分特性

设L{f(t,a)}=F(s,a)L\{f(t,a)\}=F(s,a)L{f(t,a)}=F(s,a)，收敛区间为σ1<Re(s)<σ2\sigma_1<Re(s)<\sigma_2σ1<Re(s)<σ2，则：
L{∂∂af(t,a)}=∂∂aF(s,a)L\{\frac{\partial}{\partial a}f(t,a)\}=\frac{\partial}{\partial a}F(s,a) L{∂a∂f(t,a)}=∂a∂F(s,a)

L{∫a1a2f(t,a)}=∫a1a2F(s,a)daL\{\int_{a_1}^{a_2}f(t,a)\}=\int_{a_1}^{a_2}F(s,a)da L{∫a1a2f(t,a)}=∫a1a2F(s,a)da

收敛区间：不变

9. 初值定理

如果f(t)f(t)f(t)和f′(t)f'(t)f′(t)存在，且f(t)f(t)f(t)的拉普拉斯变换也存在，则：
f(0+)=lim⁡t→0+f(t)=lim⁡s→∞sF(s)f(0^+)=\lim_{t\rightarrow0^+}f(t)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s) f(0+)=t→0+limf(t)=s→∞limsF(s)
推广：
f′(0+)=lim⁡s→∞s[sF(s)−f(0−)]f'(0^+)=\lim_{s \rightarrow\infty}s[sF(s)-f(0^-)] f′(0+)=s→∞lims[sF(s)−f(0−)]
或：
f′(0+)=lim⁡s→∞s[sF(s)−f(0+)]f'(0^+)=\lim_{s \rightarrow\infty}s[sF(s)-f(0^+)] f′(0+)=s→∞lims[sF(s)−f(0+)]
或：
f′(0+)=lim⁡s→∞s2F(s)f'(0^+)=\lim_{s\rightarrow\infty}s^2F(s) f′(0+)=s→∞lims2F(s)

10. 终值定理

如果f(t)f(t)f(t)和f′(t)f'(t)f′(t)存在，且f(t)f(t)f(t)的拉普拉斯变换也存在，且F(s)F(s)F(s)的极点位于s平面的左半平面，并且在s=0s=0s=0上至多存在单极点，则：
f(+∞)=lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)f(+\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s) f(+∞)=t→∞limf(t)=s→0limsF(s)

11. 卷积定理

L{f1(t)∗f2(t)}=L{f1(t)}⋅L{f2(t)}L\{f_1(t)*f_2(t)\}=L\{f_1(t)\}\cdot L\{f_2(t)\} L{f1(t)∗f2(t)}=L{f1(t)}⋅L{f2(t)}

且：
L{f1(t)⋅f2(t)}=12πjL{f1(t)}∗L{f2(t)}L\{f_1(t)\cdot f_2(t)\}=\frac{1}{2\pi j}L\{f_1(t)\}*L\{f_2(t)\} L{f1(t)⋅f2(t)}=2πj1L{f1(t)}∗L{f2(t)}

12. 对偶特性

如果：
L{f(t)}=F(s)L\{f(t)\}=F(s) L{f(t)}=F(s)
则:
L{F(t)}=2πj⋅f(−s)L\{F(t)\}=2\pi j\cdot f(-s) L{F(t)}=2πj⋅f(−s)

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