四、分布（卡方分布）

五、t分布

六、F分布

七、各分布的总结

四、 $X^{2}$ 分布（卡方分布）

1、定义：设随机变量X1,X2,……Xn相互独立，且XI(i=1，2，……，n)服从标准正态分布，则它们的平方和服从自由度为n的X2分布。

2、性质特点：

因卡方分布是平方和，所以分布的变量值始终为正；
分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布（右偏分布），但随着自由度的增大逐渐趋向对称；

常用于方差的估计和假设检验，以及列联分析中；
期望为：E(x2)=n，方差为：D(x2)=2n（n为自由度）；
可加性：若U和V为两个独立的x2分布随机变量，U~x2(n1),V~x2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的x2分布；
当自由度增加到足够大时，卡方分布的概率密度曲线趋于对称，当n —>+∞时，x2分布的极限分布是正态分布。

理解：卡方分布是相互独立的标准正态分布的平方和。

五、t分布

1、定义：设随机变量X~N(0,1),Y~x2(n),且X与Y独立，则其分布称为t分布，记为t(n)，其中n为其自由度。

2、性质和特点：

当n≥2时，t分布的数学期望E(t)=0；
当n≥3时，t分布的方差D(t)=n/(n-2)；
自由度为1的t分布称为柯西分布；
随着n自由度的增加，t分布的密度函数越来越接近标准正态分布的密度函数。实际中，当n≥30时，t分布与标准正态分布就非常接近；

3、理解：

公式理解：X是标准分布，Y是卡方分布，卡方分布是标准分布的平方和，我们可以换算，后面的公式就是k=2时的幂平均公式。因此我们也可以从另个角度解读这个公式：就是拿一个标准分布除以其一堆标准分布的平均值。
t分布实际是z分布（标准正态分布）小时候的样子（矮一些胖一些），自由度就是它的年龄随着年龄的增大，它逐渐变高变瘦变成了z分布；
做小样本的时候要用t分布，只有在样本量足够大的时候才能用z分布。
做研究的时候大多数是用小样本实验，所以一般是用t分布，如果结果还要换算称z分布工程会很复杂，因此很多研究和教材都默认是用t分布。

六、F分布

1、由R.A.Fisher（费希尔）提出，定义：设若U服从自由度为m的x2分布，即U～x2（m），V服从自由度为n的x2分布，即V～x2(n)，且U和V相互独立。则，称F为服从自由度m和n的F分布。记F~F(m,n)

2、特征：

F分布的数学期望E(t)=n/(n-2),n>2；方差D(t)=2n2(m+n-2)/(m(n-2)(n-4)),n>4;
F分布是右偏分布；
F分布与t分布的关系：如果随机变量X服从t(n)分布，则X2服从F(1,n)的F分布。公式推导：

公式理解：

t分布是标准分布/卡方分布平方根，t2=（标准分布）2/n的卡方分布，而标准分布的平方不就是自由度n为1的卡方分布吗，[N(0,1)]2=x2(1)/1，因此t分布平方是服从m=1和n自由度的F分布。

F分布在方差分析、回归方程的显著性检验中都有重要地位。

3、理解：

F~F(m,n)里的m和n自由度是不能随便调换位置，因为m和n调换位置就意味着公式的m和n也要调换位置。F(m,n)是F(n,m)的倒数。

七、各分布的总结

1、各分布之间的关系：

标准分布的平方构造出卡方分布；
标准分布/卡方分布即是t分布；
t分布的平方是F(1,n)分布；
两个卡方分布构造出F分布；
随着自由度增大，卡方、t分布、F分布最终都会趋向正态分布。
对称分布：正态分布、标准正态分布、t分布；
右偏分布：卡方分布、F分布。

2、用查表方法计算各分布的分布函数和分位点

查表之前，我们需要了解两个指标Zɑ和Ф(x)，以标准分布为例:

分布函数Ф(x):表示在N(0,1)中，X=x左侧的面积，是用x值查表得到左侧面积。
分为点Zɑ：表示在N(0,1)中，右侧的面积为ɑ的点，是用ɑ右侧面积查表得到值。

我们在查表的时候，首先要弄清楚我们拿到的表是分为点表还是分布函数表，以及是什么分布的表。如下图

【例子】设在标准分布下，求Z0.05,Z0.025,Z0.005

【解答】方法一，用分布函数表查：

先将右侧面积转成左侧面积，1-ɑ=1-0.05=0.95
查表是查中间的值等于0.95，查的是在1.64～1.65之间，取中间1.645，所以Z0.05=1.645

方法二，用分为点表查

不用转换，直接查得：Z0.025=1.96，Z0.005=2.576

t分布、F分布和卡方分布表的查询方法和标准分布是一样的。例子：t分布下，自由度n=10，求t0.025.

从t分布-分为点表可以看出，当自由度增大，值就越接近标准分布。也解释了所有分布最终状态是正态分布。（t分布在自由度无限增大时，t0.025≈Z0.025≈1.96

3、分为点Zɑ和分布函数表Ф(x)的关系：

Ф(x)也可以写成P(x)或P(z)，P指的是概率0-1，是图形分布中间的面积，x、z是统计量值，是图形x轴的值，正无穷到负无穷。
Zɑ中Z指的是z分布的统计量，也可以写x2、t分布，是图形x轴的值，分为点，正无穷到负无穷。ɑ指的是概率0-1。
Zɑ与Ф(x)，z就是x，ɑ就是Ф。
Zɑ中因为ɑ概率是大于0，所以ɑ概率面积是右侧面积，所以，如果我们刚拿到ɑ值要先弄明白求的是左侧分为点还是右侧分为点。左侧就需要1-ɑ。
P(x)[或Ф(x)]中，x是可以正负数的，求出的p值是大于0的左侧面积
Zɑ是用概率密度ɑ（面积）求得分为点；
P(x)[或Ф(x)]是用分为点x求得概率密度p（面积）；

（无力吐槽……CSDN公式编辑真的很不智能，我从word写好的笔记复制过来，公式左下角和右上角的值都跑出来了……）

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