CVaR and VaR

CVaR(Conditional Value-at-Risk)也被称为Expected Shortfall(ES) 或者 Expected Tail Loss(ETL)，可以解释超过给定VaR值的期望损失，在很多风险分析中，CVaR是更具有解释力，当设置了VaR阈值后，CVaR说明了在之后的hhh天交易中的期望损失风险（即资产价值低于预先设置的VaR值）. 显然VaR和资产日回报率的分布有关.

当资产回报率的尾部较厚，使用整态分布刻画是不合适的，考虑使用t分布对资产回报率分布进行描述.

Model

normal distribution

令XXX表示hhh日的回报率，则
VaRh,α=−xh,αVaR_{h, \alpha}=-x_{h, \alpha} VaRh,α=−xh,α
其中，P(X<xh,α)=αP(X<x_{h, \alpha})=\alphaP(X<xh,α)=α.
CVaR使用条件期望的形式表达
CVaRh,α(X)=−E(X∣X<xh,α)=−α−1∫−∞xh,α=xf(x)dxCVaR_{h, \alpha}(X)=-\mathbb{E}(X\mid X<x_{h, \alpha})=-\alpha^{-1}\int_{-\infty}^{x_{h, \alpha}}=xf(x)dx CVaRh,α(X)=−E(X∣X<xh,α)=−α−1∫−∞xh,α=xf(x)dx
对于任意连续的概率密度函数f(x)f(x)f(x)，需要计算x∼100(1−α)%hx\sim 100(1-\alpha)\%hx∼100(1−α)%h天VaR的xf(x)xf(x)xf(x)积分.
考虑在X∼N(μh,σh2)X\sim N(\mu_h, \sigma_h^2)X∼N(μh,σh2)的情况下的CVaR
CVaRh,α(X)=α−1φ(Φ−1(α))σh−μhCVaR_{h, \alpha}(X)=\alpha^{-1}\varphi(\Phi^{-1}(\alpha))\sigma_h-\mu_h CVaRh,α(X)=α−1φ(Φ−1(α))σh−μh
其中φ(z)\varphi(z)φ(z)表示标准正态分布的pdf，Φ(α)−1\Phi(\alpha)^{-1}Φ(α)−1为α\alphaα分位数.
案例：计算h=5h=5h=5的CVaR，股价年化回报率符合σ=41%,μ=0\sigma=41\%, \mu=0σ=41%,μ=0的正态分布，设置一年的交易日为252天计算出
σh=σh/252=0.415/252=0.05798\sigma_h=\sigma\sqrt{h/252}=0.41\sqrt{5/252}=0.05798 σh=σh/252=0.415/252=0.05798
python计算gaussian分布VaR和CVaR代码如下

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
from math import sqrtdef demo_1():h, D=5, 252mu, sig = 0, 0.41muh, sigh=mu*(h/D), sig*sqrt(h/D)alpha=0.01lev=100*(1-alpha)CVaRh=alpha**(-1)*norm.pdf(norm.ppf(alpha))*sigh-muhVaRh=norm.ppf(1-alpha)*sigh-muhprint('{}% {} day Normal VaR= {:.2f}%'.format(lev, h, VaRh*100))print('{}% {} day Normal CVaR= {:.2f}%'.format(lev, h, CVaRh*100))demo_1()

student t distribution

考虑更适合肥尾的t分布进行建模，标准t分布的pdf函数为
fν(x)=((ν−2)π)−1/2Γ(v2)−1Γ(ν+12)⏟A(1+(ν−2)−1⏟ax2)−(ν+1)/2⏟bf_\nu(x)=\underbrace{((\nu-2)\pi)^{-1/2}\Gamma(\frac{v}{2})^{-1}\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}_{A}(1+\underbrace{(\nu-2)^{-1}}_{a}x^2)^{\underbrace{-(\nu+1)/2}_{b}} fν(x)=A((ν−2)π)−1/2Γ(2v)−1Γ(2ν+1)(1+a(ν−2)−1x2)b−(ν+1)/2
其中Γ\GammaΓ表示gamma函数，ν\nuν表示自由度，方程一般形式为
fν(x)=A(1+ax2)bf_\nu(x)=A(1+ax^2)^b fν(x)=A(1+ax2)b
代入到CVaR定义中得到
CVaRα,ν=−α−1∫−∞xα,νxfν(x)dx=−α−1∫−∞xα,νxA(1+ax2)bdx=−Aα∫−∞xα,νx(1+ax2⏟y)bdx(1)\begin{aligned} CVaR_{\alpha, \nu}&=-\alpha^{-1}\int_{-\infty}^{x_{\alpha, \nu}}xf_\nu(x)dx\\ &=-\alpha^{-1}\int_{-\infty}^{x_{\alpha, \nu}}xA(1+ax^2)^bdx\\ &=-\frac{A}{\alpha}\int_{-\infty}^{x_{\alpha, \nu}}x(\underbrace{1+ax^2}_y)^bdx \end{aligned}\tag{1} CVaRα,ν=−α−1∫−∞xα,νxfν(x)dx=−α−1∫−∞xα,νxA(1+ax2)bdx=−αA∫−∞xα,νx(y1+ax2)bdx(1)
令y=1+ax2y=1+ax^2y=1+ax2进行变换，dy=2axdx，B=1+(ν−2)−1xα,ν2dy=2axdx，B=1+(\nu-2)^{-1}x^2_{\alpha, \nu}dy=2axdx，B=1+(ν−2)−1xα,ν2，方程(1)(1)(1)变换得到
(1)=−Aα∫−∞Bx(1+ax2)b2axdy=−A2aα∫∞Bybdy=−A2aαBb+1b+1\begin{aligned} (1)&=-\frac{A}{\alpha}\int_{-\infty}^B\frac{x(1+ax^2)^b}{2ax}dy\\ &=-\frac{A}{2a\alpha}\int_{\infty}^{B}y^bdy\\ &=-\frac{A}{2a\alpha}\frac{B^{b+1}}{b+1} \end{aligned} (1)=−αA∫−∞B2axx(1+ax2)bdy=−2aαA∫∞Bybdy=−2aαAb+1Bb+1
由于b+1=(1−ν)/2b+1=(1-\nu)/2b+1=(1−ν)/2代入得到(1)(1)(1)值为
−A(ν−2)−1α2B(1−ν)/21−ν-\frac{A}{(\nu-2)^{-1}\alpha}\frac{2B^{(1-\nu)/2}}{1-\nu} −(ν−2)−1αA1−ν2B(1−ν)/2
根据fν(x)f_\nu(x)fν(x)的表达式可以知道
fν(x)=ABb⇒A=fν(x)B−b=fν(x)B(1+ν)/2f_\nu(x)=AB^b\Rightarrow A=f_\nu(x)B^{-b}=f_\nu(x)B^{(1+\nu)/2} fν(x)=ABb⇒A=fν(x)B−b=fν(x)B(1+ν)/2
代入方程(1)(1)(1)得到CVaR值为
(1)=−α−1fν(x)B(1+ν)/22(ν−2)−12B(1−ν)/21−ν=−α−1fν(x)(ν−2)(1−ν)−1B=−α−1(ν−2)(1−ν)−1(1+(ν−2)−1xα,ν2)fν(xα,ν)=−α−1(1−ν)−1[ν−2+xα,ν2]fν(xα,ν)\begin{aligned} (1)&=-\alpha^{-1}\frac{f_\nu(x)B^{(1+\nu)/2}}{2(\nu-2)^{-1}}\frac{2B^{(1-\nu)/2}}{1-\nu}\\ &=-\alpha^{-1}f_\nu(x)(\nu-2)(1-\nu)^{-1}B\\ &=-\alpha^{-1}(\nu-2)(1-\nu)^{-1}(1+(\nu-2)^{-1}x^2_{\alpha, \nu})f_\nu(x_{\alpha, \nu})\\ &=-\alpha^{-1}(1-\nu)^{-1}[\nu-2+x^2_{\alpha, \nu}]f_\nu(x_{\alpha, \nu}) \end{aligned} (1)=−α−12(ν−2)−1fν(x)B(1+ν)/21−ν2B(1−ν)/2=−α−1fν(x)(ν−2)(1−ν)−1B=−α−1(ν−2)(1−ν)−1(1+(ν−2)−1xα,ν2)fν(xα,ν)=−α−1(1−ν)−1[ν−2+xα,ν2]fν(xα,ν)
所以，hhh天，t分布下CVaR值为
CVaRh,α,ν(X)=−α−1(1−ν)−1[ν−2+xα,ν2]fν(xα,ν)σh−μhCVaR_{h, \alpha, \nu}(X)=-\alpha^{-1}(1-\nu)^{-1}[\nu-2+x_{\alpha, \nu}^2]f_\nu(x_{\alpha, \nu})\sigma_h-\mu_h CVaRh,α,ν(X)=−α−1(1−ν)−1[ν−2+xα,ν2]fν(xα,ν)σh−μh
案例计算自由度为666的t分布的VaR和CVaR
python计算t分布下VaR和CVaR代码如下

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm, t
from math import sqrtdef demo_2():h, D = 10, 252mu, sig=0, 0.41muh, sigh=mu*(h/D), sig*sqrt(h/D)alpha=0.01lev=100*(1-alpha)nu=6 # 设置自由度xanu=t.ppf(alpha, nu)CVaRh=-1/alpha*(1-nu)**(-1)*(nu-2+xanu**2)*t.pdf(xanu, nu)*sigh-muhVaRh=sqrt(h/D*(nu-2)/nu)*t.ppf(1-alpha, nu)*sig-muprint('{}% {} day t VaR= {:.2f}%'.format(lev, h, VaRh*100))print('{}% {} day t CVaR= {:.2f}%'.format(lev, h, CVaRh*100))demo_2()

可以发现，随着自由度的上升，t分布的VaR和CVaR逐渐收敛到gaussian分布的VaR和CVaR

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm, t
from math import sqrtdef demo_3():h, D = 10, 252mu, sig=0, 0.41muh, sigh=mu*(h/D), sig*sqrt(h/D)alpha=0.01lev=100*(1-alpha)data=[]for nu in range(5, 101):xanu=t.ppf(alpha, nu)CVaRt=-1/alpha*(1-nu)**(-1)*(nu-2+xanu**2)*t.pdf(xanu, nu)*sigh-muhVaRt=sqrt(h/D*(nu-2)/nu)*t.ppf(1-alpha, nu)*sig-muhdata.append([nu, VaRt, CVaRt])CVaRn=alpha**(-1)*norm.pdf(norm.ppf(alpha))*sigh-muhVaRn=norm.ppf(1-alpha)*sigh-muhdata=np.array(data)fig, ax=plt.subplots(figsize=(8, 6))plt.plot(data[:, 0], data[:, 1]*100, 'b-', label='VaRt')plt.plot(np.arange(5, 100), VaRn*np.ones(95)*100, 'b:', label='VaRn')plt.plot(data[:, 0], data[:, 2]*100, 'r-', label='CVaRt')plt.plot(np.arange(5, 100), CVaRn*np.ones(95)*100, 'r:', label='CVaRn')plt.xlabel('student t. d.o.f')plt.ylabel('%')plt.legend()plt.show()demo_3()

Case Study

使用IBM数据进行实证分析，使用gaussian分布和t分布拟合IBM日回报收益率得到拟合图像如下

可以发现，t分布更适合拟合这种存在高噪声的尖峰厚尾的数据，不同分布计算的CVaR和VaR值如下

99.0% 1 day gaussian VaR= 2.81%
99.0% 1 day gaussian CVaR= 3.22%
99.0% 1 day student t VaR= 2.22%
99.0% 1 day student t CVaR= 3.91%

案例python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm, t, skew, kurtosis, kurtosistest
from math import sqrt
import pandas_datareader.data as web
import pickle# Fetching Yahoo Finance for IBM stock data
def data_fetch():data = web.DataReader('IBM', data_source='yahoo', start='2010-12-31', end='2015-12-31')['Adj Close']adj_close=np.array(data.values)ret=adj_close[1:]/adj_close[:-1]-1file=open('ibm_ret', 'wb')pickle.dump(ret, file)with open('ibm_ret', 'rb') as file:ret=pickle.load(file)dx=0.0001
x=np.arange(-0.1, 0.1, dx)# gaussian fit
mu_norm, sig_norm=norm.fit(ret)
pdf_norm=norm.pdf(x, mu_norm, sig_norm)# student t fit
nu, mu_t, sig_t=t.fit(ret)
nu=np.round(nu)
pdf_t=t.pdf(x, nu, mu_t, sig_t)# VaR and CVaR
h=1
alpha=0.01
lev=100*(1-alpha)
xanu=t.ppf(alpha, nu)CVaRn=alpha**(-1)*norm.pdf(norm.ppf(alpha))*sig_norm-mu_norm
VaRn=norm.ppf(1-alpha)*sig_norm-mu_norm
CVaRt=-1/alpha*(1-nu)**(-1)*(nu-2+xanu**2)*t.pdf(xanu, nu)*sig_t-h*mu_t
VaRt=sqrt((nu-2)/nu)*t.ppf(1-alpha, nu)*sig_t-h*mu_tprint('{}% {} day gaussian VaR= {:.2f}%'.format(lev, h, VaRn*100))
print('{}% {} day gaussian CVaR= {:.2f}%'.format(lev, h, CVaRn*100))
print('{}% {} day student t VaR= {:.2f}%'.format(lev, h, VaRt*100))
print('{}% {} day student t CVaR= {:.2f}%'.format(lev, h, CVaRt*100))plt.figure(figsize=(12, 8))
grey=0.75, 0.75, 0.75
plt.hist(ret, bins=50, density=True, color=grey, edgecolor='none')
plt.axis('tight')
plt.plot(x, pdf_norm, 'b-.', label='Guassian Fit')
plt.plot(x, pdf_t, 'g-.', label='Student t Fit')
plt.xlim([-0.2, 0.1])
plt.ylim([0, 50])
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('IBM daily return')
plt.ylabel('ret. distr.')# plt.savefig('ibm_fit')
# inset local
sub=plt.axes([0.22, 0.35, 0.3, 0.4])
plt.hist(ret, bins=50, density=True, color=grey, edgecolor='none')
plt.plot(x, pdf_norm, 'b')
plt.plot(x, pdf_t, 'g')
plt.plot([-CVaRt, -CVaRt], [0, 3], 'g:')
plt.plot([-CVaRn, -CVaRn], [0, 4], 'b:')
plt.text(-CVaRt-0.015, 3.1, 'Stu. t', color='g')
plt.text(-CVaRn-0.015, 4.1, 'Gaussian CVaR', color='b')
plt.xlim([-0.09, -0.02])
plt.ylim([0, 5])# plt.savefig('ibmcvar')
plt.show()

从数据和图像可以看出，Gaussian拟合计算的CVaR值存在低估风险的倾向.

Reference

CVaR Quant at risk

【FinE】正态分布和t分布下的CVaR相关推荐

机器学习中的数学——常用概率分布（五）：高斯分布（Gaussian分布）/正态分布（Normal分布）
分类目录:<机器学习中的数学>总目录相关文章: · 常用概率分布(一):伯努利分布(Bernoulli分布) · 常用概率分布(二):范畴分布(Multinoulli分布) · 常用概率 ...
正态分布、T分布、卡方分布、F分布的分位数、临界值公式
以下我们计算值都以alpha(α) = 0.05为例正态分布标准正态分布,虽是一个对称的,但我们要考虑其正负值,即在零的左边还是右边. = NORM.S.INV(0.05) #Excel中标准正态 ...
[python skill]利用python计算T分布下的置信区间
上篇博文中的置信区间计算代码在使用过程中并不准确,本人没并没有搞清楚原因 - - 求大神解答: import numpy as np from scipy import statsX1=np.arra ...
一种崭新的长尾分布下分类问题的通用算法｜NeurIPS 2020
↑ 点击蓝字关注视学算法作者丨汤凯华@知乎来源丨https://zhuanlan.zhihu.com/p/259569655 编辑丨极市平台本文主要介绍我们组今年被NeurIPS 2020接收 ...
matlab如何表示三峰正态分布,正态分布及常用分布的matlab编程实现
<正态分布及常用分布的matlab编程实现>由会员分享,可在线阅读,更多相关<正态分布及常用分布的matlab编程实现(3页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.functio ...
机械学习07：常用统计分布：正态分布、T分布、卡方分布、F分布
目录 1.正态分布(高斯概率密度函数和概率分布函数) 2.t分布: 3.卡方分布 4.F 分布 1.正态分布(高斯概率密度函数和概率分布函数) 正态分布(Normal distribution)又名高 ...
长尾分布下的分类问题
长尾分布下的分类问题基于深度学习的分类算法应用于长尾分布数据集时,识别效果不好.对尾部类别的学习效果很差.为解决长尾分类下的识别问题,有多种不同思想的优化方法.最简单的方法是重采样(re-sam ...
正态分布/卡方分布/F分布/T分布
正态分布: 正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussiandistribution),若随机变量X服从一个数学期望为μ.方差为σ^2的高斯分布,记为N(μ,σ^2). ...
python 服从正太分布下概率密度函数
# python 服从正太分布下概率密度函数利用input()函数输入均值和标准差, 多次绘制概率密度函数图形并将图像曲线放置在同一张图中代码块: """ 绘制正太分 ...

【FinE】正态分布和t分布下的CVaR

导航