tarjan算法求割点割边

在上一节我们已经知道tarjan算法可以求联通图，在这里我们也运用tarjan的思想求割点与割边，首先我们先来说说割点，那么什么事割点呢，先来看一张图（a）,图片来自网络

在（a）图中，我们将A点以及与A点相连的边全部去除，会发现这个联通图被分成了俩个联通图，一个是节点F，另外一个是余下的所有的节点组成的图，因此我们将A点称为割点，同理我们发现B点也是割点，因此我们可以这样定义割点，在一个无向联通图中，如果删除某个节点后，图不再连通（即任意俩点之间不能相互到达），我们称这样的顶点为割点（定义来自啊哈算法），那么问题来了，如何求割点呢？？？

很容易的一个想法就是我们每次删除一个节点后用bfs或者dfs来遍历图是否依然联通，如果不联通则该点是割点，这种方法的复杂度是O（N（N + M）），太暴力了，我们来想想其他的方法

再介绍其他方法前，我们再来了解几个定义（定义来源于网络）

DFS搜索树：用DFS对图进行遍历时，按照遍历次序的不同，我们可以得到一棵DFS搜索树，如图(b)所示。
树边：（在[2]中称为父子边），在搜索树中的实线所示，可理解为在DFS过程中访问未访问节点时所经过的边。
回边：（在[2]中称为返祖边、后向边），在搜索树中的虚线所示，可理解为在DFS过程中遇到已访问节点时所经过的边。

通过观察图（2），我们发现有俩类节点可能成为割点

对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点；（说明删除该节点会产生至少俩棵不联通的子树）
对非叶子节点u（非根节点），若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与u的子树的节点不再连通；则节点u为割点。（在这里可以简单画个图理解一下）

对于这俩类节点，前者我们很容易判断，我们就不做过多的说明了，具体的判断会在代码里面讲解，我们来说说后者的判断

我们用dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小），那么low[u]的计算过程如下：

low[u]={min{low[u], low[v]}，（（u，v）为树边）

low【u】 = min{low[u], dfn[v]} (u,v)为回边且v不为u的父亲节点

至于为什么不为u的父亲节点我暂时还没有想明白......

关于dfn和low数组的计算请参考我另外一篇博客或者去百度上查询资料，这个不好用语言描述，我就暂且大家都知道了

那么对于第二类节点，当(u,v)为树边且low[v] >= dfn[u]时，节点u才为割点。该式子的含义：表示v节点不能绕过u节点从而返回到更早的祖先，因此u节点为割点

下面来看代码实现，在代码里面会做详细的解说

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n, m, root, a, b, total;
int e[101][101], dfn[101], low[101], flag[101], head[101];//链式前向星，不懂的自行百度
struct node{int to;int next;
}edge[10010];int cnt = 1;//前向星建图
void add(int u, int v) {edge[cnt].to = v;edge[cnt].next = head[u];head[u] = cnt++;
}void tarjan(int u, int father) {int child = 0;//child用来记录在生成树中当前顶点的儿子的个数dfn[u] = low[u] = ++total;//时间戳for (int i = head[u]; i != 0; i = edge[i].next) {//前向星遍历该顶点的所有边int v = edge[i].to;//该顶点连接的顶点if (!dfn[v]) {//如果时间戳为0说明没有访问过child++;tarjan(v, u);//继续往下搜索low[u] = min(low[u], low[v]);//更新当前时间戳//  如果当前节点是根节点并且儿子个数大于等于2，则满足第一类节点，为割点if (u == root && child >= 2) {flag[u] = 1;//不为根结点但是满足第二类条件的节点} else if (u != root && low[v] >= dfn[u]) {flag[u] = 1;}//如果顶点被访问过并且不是该节点的父亲，说明此时的v为u的祖先，因此需要更新最早顶点的时间戳} else if (v != father) {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++) {cin >> a >> b;add(a, b);add(b, a);}root = 1; //假设1为根节点
//从1号顶点开始进行深度优先搜索(tarjan)tarjan(1, root);for (int i = 1; i <= n; i++) {if(flag[i]) {cout << i << " ";}}return 0;
}

给一组数据拿来测试一下该代码

6 7（6个顶点，7条无向边）

1 4

1 3

4 2

3 2

2 5

2 6

5 6

输出为 2

如果有多组图，那么我们使用另外的一组代码，见下

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 20010;
const int maxv = 200010;
int cnt = 1, n, m, total, a, b;
int head[maxn], flag[maxn], dfn[maxn], low[maxn], sum;struct node{int to;int next;
}edge[maxv];void add(int u, int v) {edge[cnt].to = v;edge[cnt].next = head[u];head[u] = cnt++;
}void tarjan(int u, int father) {int child = 0;dfn[u] = low[u] = ++total;for (int i = head[u]; i != 0; i = edge[i].next) {int v = edge[i].to;if (!dfn[v]) {tarjan(v, father);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u] && u != father) {flag[u] = 1;}if (u == father) child++;}low[u] = min(low[u], dfn[v]);}if (child >= 2 && u == father) {flag[u] = 1;}
}int main () {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++) {cin >> a >> b;add(a, b);add(b, a);}for (int i = 1; i <= n; i++) {if (!dfn[i]) {tarjan(i, i);}}for (int i = 1; i <= n; i++) {if (flag[i]) sum++;}cout << sum << endl;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (flag[i]) {cout << i << " ";}}return 0;
}

了解完割点后我们再来了解什么是割边，其实很简单，即在一个无向联通图中，如果删除某条边后，图不在联通，那么该条边称为割边，代码和上面的代码基本上一模一样，只要改一个小地方，就是将low【v】 >= dfn[u] 改为 low【v】> dfs

[u]即可，前者便是还可以回到父亲，后者表示连父亲都回不到了，倘若顶点v不能回到祖先，也没有另外一条路可以回到父亲，那么u-v这条边就是割边，其实仔细想想模拟个图就明白了，代码实现如下

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n, m, root, a, b, total;
int e[101][101], dfn[101], low[101], flag[101], head[101];struct node{int to;int next;
}edge[10010];int cnt = 1;
void add(int u, int v) {edge[cnt].to = v;edge[cnt].next = head[u];head[u] = cnt++;
}void tarjan(int u, int father) {int child = 0;dfn[u] = low[u] = ++total;for (int i = head[u]; i != 0; i = edge[i].next) {int v = edge[i].to;if (!dfn[v]) {child++;tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if  (low[v] > dfn[u]) {cout << u << "->" << v << endl;}} else if (v != father) {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++) {cin >> a >> b;add(a, b);add(b, a);}root = 1;tarjan(1, root);for (int i = 1; i <= n; i++) {if(flag[i]) {cout << i << " ";}}return 0;
}

如果输入上面的那组数据那么不会有输出，因为没有割边，再给出一组数据

6 6

1 4

1 3

4 2

3 2

2 5

5 6

输出5->6

2->5

割点和割边就解释到这里了，完毕

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