二分搜索与三分搜索的应用

二分搜索与三分搜索的应用：

二分和三分都利用了分治的思想,都是通过不断缩小查找的范围,把问题分解为更小的子问题直到找到解为止，,二分的时间复杂度为log2（n）,而三分的时间复杂度为3log3(n)，两者都是非常高效的。

在解题时经常会遇到二分法与其他算法结合的题目，因此有必要总结一下。

一、二分搜索

(1)、应用二分最常见或者说最基础的的就是从有序序列中查找某个值：查找等于val的位置，大于等于val的第一个位置/值，者大于val的第一个值/位置，在STL中都有相对应的实现，binary_search,Lower_bound, .upper_bound等等。

(2)、通常我们会遇到一些问题，这个问题有单调性的特征，这时便可以使用二分了，举个例子，假设求满足某个条件的最小的x，如果对于x1>x都有x1满足条件的话，那么便可以二分求解x了。也就是说，如果问题具有的特征是，对于某个值x，x右边或者左边的值都满足或者不满足某个条件。二分常见于一些最优化问题的处理，比如说最小化最大值，最大化最小值，最大化平均值等等。

(3)、下面是一些常见的应用，总结不可能是全面的，目的是理解二分的思想。

1、假定一个解并判断是否可行。

Poj1064 - Cable master

题意：给出n条线段，以米的单位给出，小数点后两位（精确到厘米），要你对这些线段裁剪，裁剪出m条等长且尽量长的线段，并且让这些线段尽可能长另外线段的长度不能小于1厘米，如果筹不够m条，输出0.00。

分析：和poj3122是一样的，每次假定一个解，判断是否符合要求.对于当前假定的长度len，如果以这种方式去切割时不能满足分出m条线段来则证明len太大，解存在于左区间，否则丢弃左边的区间继续去搜索更大的len。

注意题目要求不能四舍五入，所以需要丢弃小数点两位以后的部分。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>using namespace std;
double len[10010];
const double EPS= 1e-6;int main()
{int n, k;scanf("%d %d", &n, &k);double sum = 0;for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf", &len[i]), sum += len[i];double l = 0.0, r = sum/k;while (r - l >= EPS){double m = l + (r-l)/2;int num = 0;for (int i = 0; i < n; i++) num += (int)(len[i] / m);num >= k ? l = m : r = m;}printf("%.2f\n", floor(r*100) / 100);return 0;
}

2、二分最大化最小值

Poj2456 - Aggressive cow

题意：有n个牛舍，第i个牛舌在xi的位置上面，但是m头牛会互相攻击，因此要使得最近的两头牛之间的距离尽量大，求这个距离。

分析：很明显，枚举所有可能的距离分别判断一下是否能放m头牛能得出解，但是这样复杂度太高，这时候就要思考如何高效的求解了。问题很明显具有的一个特征是：对于当前的距离x，如果x不满足条件，那么比x大的也不可能满足条件，如果满足的话，那么继续去找更大的x。所以我们就是要求出能使得两头牛之间的距离不小于d的最大的d，直接二分即可。判断函数C(x)为能够使得m头牛之间两两的距离都大于等于d。那么首先对牛舍位置排序，之后从第一个牛舍开始，贪心地放在刚好距离不小于d的另一个牛舍上，看能否放n头牛即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>using namespace std;
int n, c;
int x[100010];int cal(int dis)
{int k = 0, cnt = 1;for (int i = 0; i < n; i++)if (x[k] + dis <= x[i]) cnt++, k = i;return cnt >= c;
}
int main()
{scanf("%d %d", &n, &c);for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &x[i]);sort(x, x+n);int l = 0, r = x[n-1] - x[0];while (r - l > 1){int m = (r + l) / 2;cal(m) ? l = m : r = m;}printf("%d\n", l);return 0;
}

Poj3258 - River Hopscotch

题意：一条宽为L的河，有n个石头，然后河的左端为位置0点，右端为位置L点，给定n个石头每个石头的位置，现在要从左端跳至河的右端，只能从一个石头跳至另一个石头上面，然后我们可以去除河中最多m个石头，求去除石头之后一次跳跃的最短距离的最大值是多少？

分析：二分搜索距离，判断的明显就是去掉的石头的数量，跟上道题同样的思路，首先要使得每次跳跃的长度尽可能大的话，那么我们需要去掉尽可能去掉多的石头。那么采取贪心的策略，对于当前假定的距离d，从河的左端开始，每次把离当前的石头的距离小于d的全部去掉，然后跳至刚距离刚好大于d的那个石头，这样一直判断下去直到跳至河的右端，采取这样的贪心策略所跳的次数一定最多，然后去掉的石头数量当然也是最少的，如果此时去掉的石头数量仍然大于m的话，证明这个距离d不可行，而且比d大的也绝对不可行，所以缩小d，否则的话增大d。一直二分直到找到最大的可能的d为止。

可是对于这样的做法，我感觉有一个问题就是：对于当前的距离d，如果按这样的贪心策略来跳的话，会不会导致在要跳至河的右端的最后一次跳跃的时候距离小于d，那么这不就不满足大于等于d的条件了吗？现在还没有想明白这个问题…表示有点难以理解，但是这样做可以A，是我想错了吗？

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;int x[50010];
int n, l, m;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;int cal(int d)
{int cnt = 0, last = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){if (x[i] - x[last] < d)  cnt++;else last = i;}return cnt <= m;
}
int main()
{scanf("%d %d %d", &l, &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", x+i);sort(x+1, x+n+1);x[0] = 0, x[++n] = l;int le = 0, ri = l+10;while (ri - le > 1){int m = ri- (ri-le)/2;if (cal(m))  le = m;else ri = m;}printf("%d\n", le);return 0;
}

3、最大化平均值

Poj2976 - Dropping tests

题意:有n场考试,第i场考试有bi分,然后得的分数是ai分，最后得的平均分是ai的和除以bi的和乘以100，最多可以去掉k场考试，求去掉k场考试之后平均分最大能多少？

分析：像这种题首先都会想到贪心法求解，但是局部最优不能保证整体最优，贪心策略是错误的，只能另寻他路，一般还需要是分析抓住题目的特征然后以此入手。

满足单调性特征的题目都可以尝试二分搜索，很明显这个题可以二分，二分的最主要一步是确定判断的函数C(x),这题中需要判断的是对于当前假定的平均分x，如何判断是否能达到呢？题目中的变量有两个，可以把两者变成一者来判断。那么求出每个ai-bi*x，如果最大的n-k个相加大于等于0的话证明可行，且继续搜索更大的平均分，否则不可能达到x的平均分，应缩小解的范围。根据上面的原则就可以进行求解了。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <numeric>
#define EPS 1e-5
using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
const int N = 1010;
int n, k;
int a[N], b[N];
double t[N];int main()
{while (scanf("%d %d", &n, &k), n || k){for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", a+i);for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", b+i);double r = 1.0, l = 0.0;while (r - l >= EPS){double m = r - (r-l)/2;for (int i = 0; i < n; i++) t[i] = a[i] - m*b[i];sort(t, t + n);if (accumulate(t + k, t + n, 0.0) >= 0.0) l = m;else r = m;}printf("%d\n", (int)(l*100 + 0.5));}return 0;
}

4、二分查找第k大

Poj3579 – Median

题意：有n个数组成的一个序列，对于∣Xi - Xj∣ (1≤ i ＜ j ≤ N)，这样的数总共C(N,2)个，求出值处在最中间的那个数。

分析：直接枚举所有的差值明显不可能，时间复杂度过高。二分搜索最基本的应用便是查找一个序列中的某个值，查找第k大只是一个拓展而已，判断的原则显而易见就是比差值比他大的有C（n,2）/2个，为方便进行判断，首先对序列进行排序，对于当前假定的某个值x，因为数据量比较大，直接二分查找，也只要循环一遍，统计大于等于a[i]+x的元素有多少个，就可以进一步确定解的范围了。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;int n;
int a[100010];
LL tot;int cal(int k)
{LL cnt = 0;for (int i = 0; i < n; i++) cnt += a+n - lower_bound(a+i, a+n, a[i]+k);return cnt > tot;
}
int main()
{while (~scanf("%d", &n)){for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", a+i);sort(a, a + n);int l = 0, r = a[n-1]-a[0]+10;tot = n*(n-1) / 4;while (r - l > 1){int m = r - (r-l)/2;if (cal(m)) l = m;else r = m;}printf("%d\n", l);}return 0;
}

5、二分最小化最大值

Poj3662 - Telephone Lines

题意：john需通过n根电线杆建立一个电话线系统把农庄连接到电信公司，这些电线杆从1到n编号，1号已连接到电话公司，n号就是john的农庄，现在有p对电线杆之间是可以用电缆连接的，然后电信公司可以提供k条电缆，其他的由John提供，求john提供的电缆中最长的那根的长度最短是多少。

分析：直接枚举显然不可能。最小化最大值是一个常见的最值优化目标。问题具有的特征是单调性。长度越长，越可能达成，长度越短，越不可能达成。我们只需要通过二分不断来枚举当前的长度就行了。如何判断当前的长度是否可行呢？题目给定了一个明显的图，点数和边的情况都已输入，如果从1号连接到n号需要的最少的电缆的数量仍然大于k的话，证明当前的长度太短，不可能保证联通，否则继续去搜索尽量短的长度。那么我们只需要找出保证1号n号联通的最少电缆数量就好了，如何判断呢？利用动态规划的思想求取最短路就好了，图中所有长度大于等于当前假定的长度的边定为边权1,否则定为边权0，这样就可以求取最少需要多少根电缆了。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
#include <utility>
using namespace std;typedef pair<int, int> p;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
struct edge{int to, d;edge(int a = 0, int b = 0) : to(a), d(b){}
};
vector<edge> G[1010];
int dis[1010];int dijstra(int n, int len)
{fill(dis + 2, dis+ n+1, INF);priority_queue<p, vector<p>, greater<p> > q;q.push(p(0, 1));while (!q.empty()){p t = q.top(); q.pop();int x = t.second;if (dis[x] < t.first) continue;if (x == n) return dis[n];for (int i = 0; i < G[x].size(); i++){int to = G[x][i].to, d = G[x][i].d;d = d <= len ? 0 : 1;if (dis[to] > dis[x] + d){dis[to] = dis[x] + d;q.push(p(dis[to], to));}}}return INF;
}
int main()
{int n, k, p, ma = 0;scanf("%d %d %d", &n, &p, &k);for (int i = 0; i < p; i++){int f, t, d;scanf("%d %d %d", &f, &t, &d);ma = max(ma, d);G[f].push_back(edge(t, d));G[t].push_back(edge(f, d));}int l = -1, r = ma + 1;while (r - l > 1){int m = (r+l) / 2;dijstra(n, m) <= k ? r = m : l = m;}r > ma? puts("-1") : printf("%d\n", r);return 0;
}

(4)、二分搜索的总结：

1、使用二分需要保证上下界包含解的所有范围，不管是最优化问题还是判定问题，最重要的一步都是向判定问题C(x)的转化，即判断当前假定的解是否符合条件。

2、对于整数的二分，循环条件while (r – l) > 1)或者while (r >= l)都可以，怎么方便怎么处理，只要保证那个不是解的端点在初始化时不取可能的解就行了。对于小数的二分，可以用eps来控制，但是精度的控制必须满足条件而且不能取得太小，否则容易进入死循环。可以循环一定的次数来二分，而不通过while (r – l) > EPS)来循环。一般循环100次就可以达到1e-30的精度了。而且最后得到的解就是其中的一个端点的值，是哪个端点就看二分的方式了。

正因为二分的高效和简单，所以二分常与其他算法结合起来，应用也十分普遍。掌握二分的思想是很重要的。

二、三分搜索

二分法适用于单调函数求解某点的值，而三分法适用于拟凸函数求解极值。

三分与二分的实现时的不同点在于每次会在l和r之间选取两个点，分别是：m = l+(r-l)/3=(2l+r)/3 和 mm = r-(r-l)/3=(l+2r)/3，假设判定函数为c(x),则当c(m)>c(mm)时证明m更靠近最值点，则令r = mm，否则令l = mm。如果要求取的是极小值，则上面的改为小于即可。

下面是一些三分搜索的常见应用：

1、三分角度

题意：给定n个点，求最小的正方形能够覆盖这n个点，正方形不需要平行坐标轴。输出这个正方形的面积。

分析：一般随角度变化的值都会具有凸函数的性质，极值点总在某点取得。可以知道，不论正方形的角度如何，最小的正方形两条对边上面至少一定会经过一个点，否则总可以把正方形缩小而且也满足条件。

所以我们可以三分正方形的边与x轴正向的夹角a，然后求出旋转坐标系a角之后横坐标和纵坐标的最大值和最小值之差，然后要保证覆盖所有点，取两个坐标的差的较大值即为边长。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define EPS 1e-8
using namespace std;int x[50], y[50];
int n;
double cal(double a)
{double maxx = -INF, maxy = -INF, minx = INF, miny = INF;for (int i = 0; i < n; i++){double xx = x[i]*cos(a) - y[i]*sin(a);double yy = y[i]*cos(a) + x[i]*sin(a);maxx = max(maxx, xx);maxy = max(maxy, yy);minx = min(minx, xx);miny = min(miny, yy);}return max(maxx - minx, maxy - miny);
}
int main()
{int t;scanf("%d", &t);while (t--){scanf("%d", &n);for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d %d", x+i, y+i);double l = 0, r = acos(-1.0);while (r - l >= EPS){double m = l + (r-l)/3, mm = r - (r-l)/3;if (cal(m) <= cal(mm)) r = mm;else l = m;}printf("%.2f\n", cal(l) * cal(l));}return 0;
}

2、三分坐标

Poj2420 - A Star not a Tree?

题意：二维坐标平面上有n个点，求出一个点使得到这n点的距离之和最小。

分析：只能尝试搜索的解法了。可以知道极值点一定位于这n点当中，怎么求解极值点呢？距离不满足单调性，可以尝试三分搜索极值点。对于两个量同时变化的情况，可以固定一者，枚举另一者求取最优解，那么在这里我们可以进行两次三分，首先三分横坐标x，然后对于每个假定的x，三分搜索当前横坐标下要取得最优值纵坐标应取的值。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define EPS 1e-2
using namespace std;int n;
int x[110], y[110];
double maxx, maxy;double dis(double xx, double yy)
{double sum = 0;for (int i = 0; i < n; i++) sum += sqrt((x[i]-xx)*(x[i]-xx) + (y[i]-yy)*(y[i]-yy));return sum;
}
double cal(double y)
{double l = 0, r = maxx;while (r - l >= EPS){double m = l + (r-l)/3, mm = r - (r-l)/3;if (dis(m, y) - dis(mm, y) <= -EPS) r = mm;else l = m;}return dis(l, y);
}
int main()
{scanf("%d", &n);for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d %d", x+i, y+i);maxx = *max_element(x, x+n), maxy = *max_element(y, y+n);double l = 0, r = maxy;while (r - l >= EPS){double m = l + (r-l)/3, mm = r - (r-l)/3;if (cal(m) - cal(mm) <= -EPS) r = mm;else l = m;}printf("%.0f\n", cal(l));return 0;
}

3、三分边长

Poj3737 – UmBasketella

题意：给出一个圆锥的表面积（侧面积+底面积），求圆锥的最大体积。

分析：三分的入门题，体积关于半径满足凸函数的性质，直接三分底面圆的半径长度就可以了。圆锥的体积公式根据S推导下就可以了。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>using namespace std;
double S, r, V, h;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
const double PI = acos(-1);
const double EPS = 1e-4;double cal(double r)
{h = sqrt(pow((S - PI*r*r) / (PI*r), 2) - r*r);return V = PI/3.0 * r*r*h;
}
int main()
{while(~scanf("%lf", &S)){double l = 0, r = sqrt(S / PI);for (int i = 0; i < 50; i++){double m = (2*l + r) / 3,  mm = (l + 2*r) / 3;cal(m) < cal(mm) ? l = m : r = mm;}printf("%.2f\n%.2f\n%.2f\n", V, h, l);}return 0;
}

4、三分距离

SGU 204/ZOJ2340 Little jumper

Andrew AndrewStankevich’sContest #2 @ACDream D题

题意：一只青蛙从给定的ds点出发，首先越过第一面墙上的洞跳至两面墙的中间某一点，然后从该点出发继续越过第二个洞跳至给定的df点，问要完成这次任务两次起跳的速度中的较大值最小是多少？

分析：这题比前面之前几个题要难些了，感觉值得一做，结合了物理知识和数学分析能力还有三分搜索的方法。（感觉做了之后高中的物理平抛运动学公式全部复习了一遍….）

首先：对于一次运动，由相应的运动学公式推导可知速度为45度时一定为最小的时候：设水平速度为Vx，竖直速度为Vy，从起跳点到落地点的水平距离为X，那么Vx*Vy=g*X/2，那么当Vx=Vy时速度最小，求得这个时候到达墙壁时的高度，若越过则速度为sqrt(g*x);

如果碰到墙壁，要使得速度尽量小，那么当高度大于洞上方高度则求得高度恰好为t时的速度，如果小于洞下方高度b的时候求得高度恰好为b时的速度。然后，对于两次运动，我们求得两个最小的速度并取其较大者就行了。但是因为速度关于落地点的函数属于凹性函数，我们可以三分查找逼近求解速度的值。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;const double EPS = 1e-6;
double b1, t1, b2, t2, l, ds, df, g;
double check(double b, double t, double x, double s)
{double h = s - s*s/x;if (b <= h && h <= t) return g*x;if (h > t) h = t;if (h < b) h = b;double Vx2 = g*s*(x-s) *0.5 / h;return Vx2 + g*g*x*x / (4*Vx2);
}
double MAX(double a)
{return max(check(b1, t1, a + ds, ds), check(b2, t2, l-a + df, l-a));
}
int main()
{while (~scanf("%lf %lf %lf %lf %lf %lf %lf %lf", &b1, &t1, &b2, &t2, &l, &ds, &df, &g)){double m, mm, le = 0, ri = l;int i = 0;while (++i <= 100){m = le + (ri-le)/3, mm = ri - (ri-le)/3;MAX(m) - MAX(mm) < -EPS? ri = mm : le = m;}printf("%.4f\n", sqrt(MAX(le)));}return 0;
}

关于三分搜索的总结：

1、三分应用于最优化问题的求解。在解题时没必要给出证明，只要知道问题不满足单调性，就可以尝试用三分搜索极值点，而且三分整数很少见，因为除非能够证明这种策略是正确的(即完全符合凸函数的性质，但是通常极值点不会在整点取得，如果三分整数，那么函数也不是连续的了)，否则很可能会错误，而三分应用在小数中是最常见的，比如说三分角度，三分坐标等等。

2、三分搜索经常应用在数值计算的最优化问题中，对于凸函数极值的计算常常是行之有效的。注意取的两个点最好写成m = (2*l + r) / 3, mm = (l + 2*r) / 3;而不要写成m = (r+l)/2, mm = (r+m)/2.上面的这题写成后面的那种就会错。同样的，二分最好写成m = l + (r-l)/2;

关于三分与二分的总结就到这里，上面所述的只是自己对于两种搜索查找方式的一点点理解而已，也算是一个总结，我相信凡事总结下总是好的，这样才能收获更多，真正要做到对各种算法运用自如还是需要我们勤加练习。

坚持总会有绽放的一天，加油~

二分搜索与三分搜索的应用相关推荐

[搜索算法]三分搜索初步
前言对于单调函数,如果找到了其单调性,我们就可以使用二分的方法对其进行搜索.所以二分搜索的首要前提是具有单调性.当搜索的函数不具有单调性时,二分搜索就显得相形见绌了.所以对于较为复杂的函数,我们可以 ...
三分搜索--hdu2241 考研路茫茫——早起看书
考研并不是说说就可以了,要付诸于行动. 对于Lele来说,最痛苦的事莫过于早起看书了,不过为了考研,也就豁出去了.由于早起看书会对看书效率产生影响,所以对于要什么时候起床看书,还是有必要考虑的. 经过 ...
三分搜索 (算法设计与分析课后习题)
三分搜索算法的做法是:它先将待查元素x与n/3处的元素比较,然后将x与2n/3处的元素进行比较.比较的结果或者找到x,或者将搜索范围缩小的原来的n/3 1)编写C++程序实践算法 2)分析算法的时间复 ...
大剑无锋之二分搜索、二分搜索时间复杂度、三分查找呢？
题目:搜索 (1)请写出Java代码,实现二分搜索(给定一个按升序排列的数组和一个要查找的值,返回该值在数组中的index) (2)说明该算法时间复杂度 (3)如果改成三分搜索,时间复杂度将会是多少? ...
Day 1 二分搜索训练总结
其实二分是一个重要的思想,有些题目不一定一眼就能看出二分,需要根据特定的条件选择正确的解法,有时二分答案时验证很简单,有时却不那么容易.一般来说,在最大(小)的条件下找一个最小(大)的解的时候可以用二 ...
java 二分搜索获得大于目标数的第一位_程序员数据结构算法编程，二分查找搜索算法的原理与应用介绍！...
本文来讲一种搜索算法,即二分搜索算法,通常在面试时也会被问到. 我们先来看一个例子,在图书馆通常是根据查到的编号去找书,可以在书架上按顺序一本本地查找,也可以找到一本书不符合预期时,再跳过一大部分书再 ...
hdu3756 三分求最小圆锥
题意: 让你找到一个最小的圆柱去覆盖所有的竖直的线段.. 思路: 三分,直接去三分他的半径,因为想下,如果某个半径是最优值,那么从R(MAX->now->MIN) ...
js算法初窥03（搜索及去重算法）
前面我们了解了一些常用的排序算法,那么这篇文章我们来看看搜索算法的一些简单实现,我们先来介绍一个我们在实际工作中一定用到过的搜索算法--顺序搜索. 1.顺序搜索其实顺序搜索十分简单,我们还是以第一篇 ...
算法 |【实验5.3】：一元三次方程的根-连续区间的二分搜索求近似解
文章目录一元三次方程的根 1. 题目描述 2. 问题分析与算法设计思路 1)基本思路 2)小心浮点数存储方式的影响 3)如何判断:一个区间是否值得继续搜索 3. 算法实现 4. 运行结果 5. 算法 ...

二分搜索与三分搜索的应用

二分搜索与三分搜索的应用相关推荐

最新文章

热门文章