第四届传智杯全国大学生IT技能大赛初赛B组题解 -- D题

题目：小卡与质数2

Description

小卡最近迷上了质数，所以他想把任何一个数都转化为质数！
小卡有 T 次询问，每次给你一个数字 x，问有多少个比 x 小的非负整数 y，使得 x⊕y 是质数，其中 ⊕ 表示按位异或。

Input

第一行一个正整数 T(1≤T≤10⁵)，表示有 T 组询问。
接下来 T 行，每行一个正整数 x(1≤x≤10⁶)。

Output

对于每组询问，输出一行一个整数，表示答案。

Sample

输入

9
5
6
7
8
9
10
100
1000
10000

输出

2
4
4
2
2
4
22
163
1132

Solution

非负整数 x 与小于自身的非负整数异或得到的结果都不相同
非负整数 x 与小于自身的非负整数异或得到的结果必定小于 2x
非负整数 x = (1000…000)₂ 与小于自身的非负整数异或，值域为[1000…000, 1111…111]，即[x, x²-1]，例：x = 4 = (100)₂
非负整数 x = (1xxx…xxx)₂ 与小于(1000…000)₂的非负整数异或，[1000…000, 1111…111]是值域的子集，即[x, x²-1]是值域的子集，例：x = 6 = (110)₂
非负整数 x 与小于自身的非负整数异或，若 x 的二进制数在某位上为1，如(…1…)，那么[0001000, 0001111]是值域的子集

通过二进制枚举 x 的每一个位，求出各个值域子集内质数的个数之和。

例子：
x = 6 = (110)₂
110 ^ 000 = 110 = 6
110 ^ 001 = 111 = 7
110 ^ 010 = 100 = 4
110 ^ 011 = 101 = 5

110 ^ 100 = 010 = 3
110 ^ 101 = 011 = 2
菜鸡不会严格的证明:(大家有什么其他好的方法也欢迎分享

AC Code

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;const int M = 5000001;
int a[M] = {0};
//判断是否为素数
bool prime(int num) {if (num == 1)return 0;if (num == 2 || num == 3)return 1;if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5)return 0;int tmp = sqrt(num);for (int i = 5; i <= tmp; i += 6)if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0)return 0;return 1;
}int main() {// a[i] 表示[1, i]内质数的个数for(int i = 1; i <= M; i++) {a[i] = a[i-1];if(prime(i)) {++ a[i];}}int t;cin >> t;while(t--) {int num = 0;int x;cin >> x;// 二进制枚举int f = 1;while(f <= x) {int ls = f & x;// cout << "f = " << f << " x = " << x;// cout << "ls = " << ls << endl;if(ls > 0) {int rs = (ls << 1);num += a[rs-1] - a[ls-1];}f <<= 1;}cout << num << endl;}return 0;
}

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