0-1背包问题（DP）-超有趣版

文章目录

0-1背包问题（DP）-超有趣版
一、 0-1背包问题
二、 0-1背包问题分析
三、0-1背包问题——DP算法求解
四、0-1背包问题——DP算法深入分析
五、代码实现

一、 0-1背包问题

一个小偷准备去一个大户人家偷东西，但是这个小偷比较瘦小，考虑到偷太多东西背不动，于是就从家里拿了一个小背包，背包容量为W=10。嘿嘿，万事俱备只欠东风，趁着月黑风高，潜入大户人家，直奔保险柜，经一番操作，打开保险柜，嘿嘿，发现里面有5个物品，分别是“金条”、“大洋”、“茅台”、“手镯”、“银戒指”。哇！发财了啊！
可是，可是我的包包就这大，该怎么装，装到的总价值最大呢？（采用自底向上的动态规划方法求解，得到最大装包价值为是多少？）

二、 0-1背包问题分析

背包的容量为10,用“W”表示，W=10
保险柜中物品的重量和价值分别表示如下

i(物品序号)	1(金条)	2(大洋)	3(茅台)	4(手镯)	5(戒指)
w(重量)	2	2	6	5	4
v(价值)	6	3	5	4	6

此时小偷瞅了一眼自己的小背包，天哪，包包有点小了，装不下哎。这个小偷也不笨，心想既然装不完，那也要选择一个最优装包方案，使得背包最后总价值最大，咱要做一个精明的小偷。
可是怎么样装才是一个“一个最优装包方案”呢？妈耶，小偷头都大了。这个时候就要考验小偷的强大的心理素质了，小偷突然想到小时候看的动画片“一休哥”。师傅分别叫一休哥和出货师弟把一袋米撵成粉，谁先撵完，奖励一碗炒米粉。吃货师弟听到优先撵完，奖励炒米粉一碗，那是两眼放光，拿起碾子开始拼命撵米，一休哥就不一样了，他把米按粒分给师兄，每个人只需要撵三粒，一会功夫一袋米已撵成粉，吃货师弟累的满头大汗，还有大半袋米没有撵。一休哥巧妙的运用了分治思想，将一个原问题最优解进行分解成子问题最优解，从子问题中得到原问题的最优解。
于是小偷就想到我是不是也可以把“一个最优装包方案”，进行分解成子最优装包方案，从子装包方案的最优结果推出更大规模问题的最优结果。

小偷推断出本问题具有最优子结构
最优子结构:一个问题的最优解包含其子问题的最优解，我们就称此问题具有最优子结构。

小偷心想，对“一个最优装包方案”进行求解时，每次产生的子最优装包方案并不总是新问题，有些子最优装包方案会被重复计算多次。果然是精明的小偷，为了避免重复计算，浪费逃跑时间，就对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。

小偷推断出本问题具有重叠子问题
重叠子问题:子问题的计算出现重复，填表解决。

即某阶段小偷背包状态一旦确定，就不受这个背包状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

小偷推断出本问题具有无后效性
无后效性:每个状态都是过去历史的一个完整总结,

综上所述0-1背包问题具有最优子结构、重叠子问题和无后效性，满足运用动态规划算法(dp)解决问题的基本条件。
注意：动态规划法与分治法最大的差别是：动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）

三、0-1背包问题——DP算法求解

动态规划的设计有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。
(1)划分阶段：
原问题的最优解，可划分为每个阶段的最优解的和。即max(V1Q1+V2Q2+…+VnQn)；Qi取0表示“不装”，取1表示“装入”。

(2)确定状态和状态变量：
构建C数组的含义，C[i][j] ：代表的是前 i 个物品加入容量为 j 的背包里面价值总和的最大值

(3)确定决策并写出状态转移方程：
C(i,j)={0,若i=0或j=0C(i−1,j),若w[i]>j，即包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；max｛C(i−1,j)，C(i−1,j−w(i))+v(i)｝,其他，有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个C(i,j) = \begin{cases} 0, & \text{若i=0或j=0} \\[5ex] C(i-1,j), & \text{若w[i]>j，即包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；} \\[5ex] max｛C(i-1,j)，C(i-1,j-w(i))+v(i)｝, & \text{其他，有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个} \\[5ex] \end{cases} C(i,j)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧0,C(i−1,j),max｛C(i−1,j)，C(i−1,j−w(i))+v(i)｝,若i=0或j=0若w[i]>j，即包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；其他，有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个
(4)寻找边界条件：
W1Q1+W2Q2+…+WnQn<背包容量（W=10）

四、0-1背包问题——DP算法深入分析

采用采用自下而上的动态规划方法，先计算最小的子问题的最优解，再一层层组合成大问题的最优解，计算过程中不存在子问题的重复计算。思路比较简单，就是不断遍历，不断填充C表：

第一：根据C(0,j)=C(i,0)=0；初始化表格：

i/j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1
2
3
4
5

第二：当 i=1的时候，只有物品1能够选择，i=1，j从1开始取，w(1)=2，v(1)=6,如果背白容量j>w(1)，则装入，那么此时的最大价值就是物品1的价值

i/j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6
2
3
4
5

第三：当i=2的时候，j=4从开始取，表示足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个。根据状态转移方程，此时取i=2，j=4的时候有如下转换：
i=2，j=4，w(2)=2，v(2)=3
故C(2,4)=max｛ C(2-1,4)，V(2-1,4-w(2))+v(2) ｝=max｛6，6+3｝=9
依次类推直到填完整张表，可得最优装包方案使得背包总价值最大。

i/j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6
2	0	6	6	9
3
4
5

采用自底向上的动态规划方法求解，填完整张表，得到最大的装包价值为15。

五、代码实现

#include "math.h"
#include "stdio.h"
#include "string.h"
int seekMax(int N, int M, int V[], int W[]);
int main(){int N = 5; //物品的数量int M = 10; //背包的容量int V[] = {0,6,3,5,4,6}; //物品的价值  前面的0就是占位的，方便遍历int W[] = {0,2,2,6,5,4}; //物品的重量int re = seekMax(N, M, V, W);printf("%d", re);
}
//优化得
int seekMax(int N,int M,int V[],int W[])
{//1、创建C数组int C[M+1];//2、初始化C数组for (int j = 0; j <= M  ; j++){C[j] = 0;  //初始全部都为0}//3、开始根据状态转移方程地推填满C数组for (int i = 1; i <= N; i++){for (int j = M; j >= W[i]; j--){C[j] = fmax(C[j], C[j - W[i]] + V[i]); //可以装下，可以选择 拿或者不拿}}return C[M];
}