左偏树初步学习洛谷P3377

玩的有点多。。。。。。睡的有点少。。。

左偏树是一种支持O(logn)的时间复杂度内进行合并的堆式数据结构。

定义：

外结点：左儿子或者右儿子是空结点的结点

距离：一个结点x的距离disx定义为其子树中与结点x最近的外结点到x的距离，特别的，定义空结点的距离为-1.

图中：

结点中写的数字为结点的键值，结点外的蓝色数字叫做该结点的距离

左偏树依旧满足堆的性质（小根堆）

左偏树保证结点的左子结点的距离不小于右子结点的距离，所以可以推出一个结点的距离等于右子结点的距离+1

合并操作：

在合并的过程中，我们要维护好左偏树的性质，只要合并好后的堆依然满足左偏树的性质，那么合并即告成功

具体步骤：

设要合并的两个堆的堆顶结点为x， y，且x.val <= y.val
因为小根性质，合并好后的堆的堆顶一定还是x，所以我们递归合并x的儿子（一般用右）和y
因为合并完成后可能会破环x的左偏性质，所以如果x不满足左偏性质了，那就交换x的左右儿子
并且x的距离也有可能随之变化，利用性质3，令x结点的距离等于其右儿子的距离+1

插入给定值：

新建一个值等于插入值的结点，将该结点与左偏树合并即可。时间复杂度O(logn)

求最小值：

由于左偏树的性质，最小值即为根结点的值

删除最小值：

等价于删除左偏树的根节点。合并左右儿子即可，并且维护已删除结点的信息

给定一个结点，求其所在左偏树的根节点：

可以记录每个结点的父亲结点，然后暴力找根结点

【洛谷模板题P3377】https://www.luogu.com.cn/problem/P3377

//用了某大佬的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
struct node{int l, r, fa; //l,r分别为左右儿子的编号，fa为并查集int val, dis; //val为结点键值， val == -1 代表结点已被删除，dis为结点的距离
}ltt[maxn];
#define ls(x) ltt[x].l
#define rs(x) ltt[x].r
int merge(int x, int y){ //合并两堆，x，y都是堆顶元素编号if(!x || !y) return x + y; //如果有空返回另一个//||前语句是为了维护小根堆性质，后面语句是题目要求if(ltt[x].val > ltt[y].val || (ltt[x].val == ltt[y].val && x > y))std::swap(x, y);rs(x) = merge(rs(x), y);//合并右子树和yltt[rs(x)].fa = x;      //维护并查集if(ltt[ls(x)].dis < ltt[rs(x)].dis) swap(ls(x), rs(x));//如果不满足左偏树的性质就交换左右儿子ltt[x].dis = ltt[rs(x)].dis + 1; // 利用结点距离等于儿子加一来更新disreturn x; //return合并好的堆顶结点编号
}
inline void pop(int x){ //删除堆顶操作ltt[x].val = -1;//值设置为-1即为删除ltt[ls(x)].fa = ls(x);//维护并查集（一个结点的父亲是结点本身，代表结点没有父亲了）ltt[rs(x)].fa = rs(x);//维护并查集//因为路径压缩，所以可能右除了ls（x）， rs（x）以外的结点的fa指针指向x//所以这样写为了不让并查集断掉ltt[x].fa = merge(ls(x), rs(x));}
int find(int x){return ltt[x].fa == x ? x : ltt[x].fa = find(ltt[x].fa);
}
int main(){int n, m;cin >> n >> m;ltt[0].dis = -1;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> ltt[i].val;ltt[i].fa = i; // 初始化并查集}while(m--){int opt, x, y;cin >> opt >> x;if(opt == 1){cin >> y;if(ltt[x].val == -1 || ltt[y].val == -1) continue;int fx = find(x), fy = find(y);if(fx == fy) continue;ltt[fx].fa = ltt[fy].fa = merge(fx, fy);}else{if(ltt[x].val == -1) cout << -1 << "\n";else{int fx = find(x);cout << ltt[fx].val << "\n";pop(fx);}}}
}

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