【数据结构与算法】【算法思想】 A *搜索算法

算法解析

这是一个非常典型的搜索问题。
人物的起点就是他当下所在的位置，终点就是鼠标点击的位置。
我们需要在地图中，找一条从起点到终点的路径。
这条路径要绕过地图中所有障碍物，并且看起来要是一种非常聪明的走法。所谓“聪明”，笼统地解释就是，走的路不能太绕。理论上讲，最短路径显然是最聪明的走法，是这个问题的最优解。

实际上，像出行路线规划、游戏寻路，这些真实软件开发中的问题，一般情况下都不需要非得求最优解（也就是最短路径）。
在权衡路线规划质量和执行效率的情况下，我们只需要寻求一个次优解就足够了。
如何快速找出一条接近于最短路线的次优路线呢？
A 算法*：A* 算法是对 Dijkstra 算法的优化和改造。最优出行路线规划问题中，如果图非常大，Dijkstra 最短路径算法的执行耗时会很多
Dijkstra 算法有点儿类似 BFS 算法，它每次找到跟起点最近的顶点，往外扩展。这种往外扩展的思路，其实有些盲目。

可以避免“跑偏”吗？

当遍历到某个顶点时，从起点到这个顶点的路径长度是确定的，记作 g(i)（i 表示顶点编号）

虽然从这个顶点到终点的路径长度是未知的，但可以用其他估计值来代替。
可以通过这个顶点跟终点之间的直线距离(欧几里得距离)，近似估算这个顶点跟终点的路径长度（注意：路径长度跟直线距离是两个概念）
把这个距离记作 h(i)（i 表示这个顶点的编号），专业的叫法是启发函数（heuristic function）。
因为欧几里得距离的计算公式，会涉及比较耗时的开根号计算，所以一般通过另外一个更加简单的距离计算公式，那就是曼哈顿距离（Manhattan distance）。
曼哈顿距离是两点之间横纵坐标的距离之和。计算的过程只涉及加减法、符号位反转，所以比欧几里得距离更加高效。

原来只是单纯地通过顶点与起点之间的路径长度 g(i)，来判断谁先出队列，现在有了顶点到终点的路径长度估计值，通过两者之和 f(i)=g(i)+h(i)，来判断哪个顶点该最先出队列。
综合两部分，就能有效避免“跑偏”。f(i) 的专业叫法是估价函数（evaluation function）

** A 算法就是对 Dijkstra 算法的简单改造*
在 A* 算法的代码实现中，顶点 Vertex 类的定义，跟 Dijkstra 算法中的定义，稍微有点儿区别，多了 x，y 坐标，以及刚刚提到的 f(i) 值。图 Graph 类的定义跟 Dijkstra 算法中的定义一样。


private class Vertex {public int id; // 顶点编号IDpublic int dist; // 从起始顶点，到这个顶点的距离，也就是g(i)public int f; // 新增：f(i)=g(i)+h(i)public int x, y; // 新增：顶点在地图中的坐标（x, y）public Vertex(int id, int x, int y) {this.id = id;this.x = x;this.y = y;this.f = Integer.MAX_VALUE;//!!!this.dist = Integer.MAX_VALUE;}
}
// Graph类的成员变量，在构造函数中初始化
Vertex[] vertexes = new Vertex[this.v];
// 新增一个方法，添加顶点的坐标
public void addVetex(int id, int x, int y) {vertexes[id] = new Vertex(id, x, y)
}

A* 算法的代码主要有 3 点区别：

优先级队列构建的方式不同，
A* 算法是根据 f 值（ f(i)=g(i)+h(i)）来构建优先级队列，
Dijkstra 算法是根据 dist 值（g(i)）来构建优先级队列；
A* 算法在更新顶点 dist 值的时候，会同步更新 f 值；
循环结束的条件也不一样。Dijkstra 算法是在终点出队列的时候才结束，A* 算法是一旦遍历到终点就结束。


public void astar(int s, int t) { // 从顶点s到顶点t的路径int[] predecessor = new int[this.v]; // 用来还原路径// 按照vertex的f值构建的小顶堆，而不是按照distPriorityQueue queue = new PriorityQueue(this.v);boolean[] inqueue = new boolean[this.v]; // 标记是否进入过队列vertexes[s].dist = 0;vertexes[s].f = 0;queue.add(vertexes[s]);inqueue[s] = true;while (!queue.isEmpty()) {Vertex minVertex = queue.poll(); // 取堆顶元素并删除for (int i = 0; i < adj[minVertex.id].size(); ++i) {Edge e = adj[minVertex.id].get(i); // 取出一条minVetex相连的边Vertex nextVertex = vertexes[e.tid]; // minVertex-->nextVertexif (minVertex.dist + e.w < nextVertex.dist) { // 更新next的dist,fnextVertex.dist = minVertex.dist + e.w;nextVertex.f = nextVertex.dist+hManhattan(nextVertex, vertexes[t]);predecessor[nextVertex.id] = minVertex.id;if (inqueue[nextVertex.id] == true) {queue.update(nextVertex);} else {queue.add(nextVertex);inqueue[nextVertex.id] = true;}}if (nextVertex.id == t) { // 只要到达t就可以结束while了queue.clear(); // 清空queue，才能推出while循环break; }}}// 输出路径System.out.print(s);print(s, t, predecessor); // print函数请参看Dijkstra算法的实现
}

A 这是为什么不能找到最短路线呢？*
要找出起点 s 到终点 t 的最短路径，最简单的方法是，通过回溯穷举所有从 s 到达 t 的不同路径，然后对比找出最短的那个。但回溯算法的执行效率非常低，是指数级的。

Dijkstra 算法在此基础之上，利用动态规划的思想，对回溯搜索进行了剪枝，只保留起点到某个顶点的最短路径，继续往外扩展搜索。动态规划相较于回溯搜索，只是换了一个实现思路，但它实际上也考察到了所有从起点到终点的路线，所以才能得到最优解。

A* 算法之所以不能像 Dijkstra 算法那样，找到最短路径，主要原因是两者的 while 循环结束条件不一样
Dijkstra 算法是在终点出队列的时候才结束，A* 算法是一旦遍历到终点就结束
对于 Dijkstra 算法，当终点出队列时，终点的 dist 值是优先级队列中所有顶点的最小值，即便再运行下去，终点的 dist 值也不会再被更新了。
对于 A* 算法，一旦遍历到终点，我们就结束 while 循环，这个时候，终点的 dist 值未必是最小值。
A* 算法利用贪心算法的思路，每次都找 f 值最小的顶点出队列，一旦搜索到终点就不在继续考察其他顶点和路线了。

所以，它并没有考察所有的路线，也就不可能找出最短路径了。

笔记整理来源：王争数据结构与算法之美