面试题之丑数的C++实现求解（孤陋寡闻了，才知道丑数这么high的东东）

问题描述：

我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。（昨天突然发现个不错的博客：http://blog.csdn.net/v_JULY_v，突然知道丑数这个题，于是搜之）

当然，最简单的肯定是遍历啊，想当年初学的时候，什么水仙花数，完数，质数，都遍历搞定。遍历存在的问题就是效率太低，如同暴力破密码似的，以前用bt4破一个wep的有时候都要10多分钟，破个WAP加密的半个小时，这不蛋疼吗，破了就为蹭个网。像这个吧，到第1500个丑数的时候，用时就要42s多(win7+vc6)，效率上肯定是有折扣的了，下面是代码：

#include <iostream>
#include <climits>
using namespace std;
//遍历法找丑数
int IsUgly(int num)//判断是否是
{
while (num %2 == 0)
{
num /= 2;
}
while (num %3 == 0)
{
num /= 3;
}
while (num %5 == 0)
{
num /= 5;
}
if (num == 1)
return 1;
else
return 0;//not an ugly number
}
void GetUglyNumber(int index)
{//找到第index个丑数
int i , time =0 ;
if (index < 1)
{
cout << "error input " << endl;
exit(EXIT_FAILURE);
}
for (i=1 ; i< INT_MAX && time < index ; i++)
{
if ( IsUgly(i) )
{
time ++ ;
// cout << i << " " ;
}
}
cout << i-1 << endl;
}
int main()
{
int Number;
cout << "Input a number : " ;
cin >> Number ;
GetUglyNumber(Number);
return 0;
}

遍历法很大的问题在于对每个数都进行判断，进行取余和除的运算了，如果换种思路的话，只对丑数进行计算呢？根据 http://www.cnblogs.com/mingzi/archive/2009/08/04/1538491.html 的思路，虽然从代码上来看 http://www.cppblog.com/zenliang/articles/131094.html 的更简洁易懂，不过第一个链接的变量命名会好很多，而且思路交代更清晰。

根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。那关键就是确保数组里的丑数是有序的了。我们假设数组中已经有若干个丑数，排好序后存在数组中。我们把现有的最大丑数记做M。

现在我们来生成下一个丑数，该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。

我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。

由于我们是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；

我们还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的，其他更大的结果我们以后再说。

我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果，记为M₂。

同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M₃和M₅。那么下一个丑数应该是M₂、M₃和M₅三个数的最小者。(来自http://www.cnblogs.com/mingzi/archive/2009/08/04/1538491.html)，则可以得到以下代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int Min(int a, int b, int c)
{
int temp = (a < b ? a : b);
return (temp < c ? temp : c);
}
int FindUgly(int n) //
{
int* ugly = new int[n];
ugly[0] = 1;
int index2 = 0;
int index3 = 0;
int index5 = 0;
int index = 1;
while (index < n)
{
int val = Min(ugly[index2]*2, ugly[index3]*3, ugly[index5]*5); //竞争产生下一个丑数
if (val == ugly[index2]*2) //将产生这个丑数的index*向后挪一位；
++index2;
if (val == ugly[index3]*3) //这里不能用elseif，因为可能有两个最小值，这时都要挪动；
++index3;
if (val == ugly[index5]*5)
++index5;
ugly[index++] = val;
}
/*
for (int i = 0; i < n; ++i)
cout << ugly[i] << endl;
//*/
int result = ugly[n-1];
delete[] ugly;
return result;
}
int main()
{
int num;
cout << "input the number : " ;
cin >> num;
cout << FindUgly(num) << endl;
return 0;
}

代码来自： http://www.cppblog.com/zenliang/articles/131094.html 。看到他的new，才想起，以前写排序的时候，由于数组大小可变，直接用了vector，让它直接去vector的size()就知道大小了，而没有想到还有更初级的new，对于不定大小，new就好了啊，虽说new出来的是是在堆上，直接定义的是在栈上，不过用起来也是毫无影响的，果然自己还是太菜了点。
另外还可以采用的方法很多，参考 http://www.iteye.com/topic/832545 。本帖子列出了5种方法：

* 1.method1是最基础的遍历，唯一的优点估计就是简单易懂。<br/>
* 2.method2,method3的思想是先人工估算范围值，将一定范围内的值乘2，3，5排重增加，不同的地方在于method2重新遍历，
* method3排序求下标<br/>
* 3.method4的思想是将已经获取的值分别遍历，乘以2，3，5，当比最大值大就停止，比较这3个数的最小值，增加到定义的有序数组中。<br/>
* 4.method5的思想是将数进行评估，评估出该数包含丑数的数量，当超过丑数要求数量时，进行2分法进行缩小范围，直至求出解。

代码直接参考，实际上，搜到的C++的代码就是method1和method4，其实吧，method2和method3的精髓在于i < Integer.MAX_VALUE / 5 ，也是利用了所有丑数肯定是由丑数产生这一思想，虽然不同之处在于遍历和求下标，不过总体是产生足够大的丑数集合，再直接取需要的位置。C++实现如下：

#include <set>
#include <iostream>
#include <climits>
using namespace std;
const int MAX = INT_MAX/5;
void GetUgly(int Index)
{
int i;
set<int,less<int> > s;
set<int, less<int> >::iterator It;
s.insert(1);
for (i=1 ; i<MAX ; i++)
{
if (s.find(i) != s.end() )
{
s.insert(2*i) ;
s.insert(3*i) ;
s.insert(5*i) ;
}
}
for (It = s.begin() ,i=1 ; It != s.end() && i < Index; It++)
i++;
cout << *It << endl;
}
int main(int argc,char *argv[])
{
int Number;
cout << "Input a number : " ;
cin >> Number ;
GetUgly(Number);
return 0;
}

说到这个，本打算用vector的，还用到了algorithm头文件的find和sort。不过问题在于vector怎么删除重复元素呢？哪怕加入是否在vector中的判断，仍然难以阻止，效率不高。不过一不小心找到了STL的 set ，高级货啊， set自动删除重复元素这一特性，还是很给力的。和Java的set一样，不过这个算法的问题在于，直接将所有的丑数都找出来了，再取下标，在vc6和gcc测试下，速度着实很慢，莫非是C++STL的set不如Java的set高效么？这个方法让我想到对于1000个数，找出其中最小的5个，但是将这1000个数都进行排序了再直接取前5个，虽然可行，但未免开销太大，不经济。运行的时候，等的时间太长，以至于直接关掉，将MAX换为2w，随便测试了下对于100等数是否正确来判断程序是否大致准确。

下面来改写Java的method5为C++版本，代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int nums5(int val)
{
int n=0 ;
while (val >= 5)
{
n++ ;
val /= 5;
}
return n;
}
int nums35(int val)
{
int n=0 ;
while (val >= 3)
{
n += 1+nums5(val);
val /= 3;
}
return n;
}
//基于因数分解求出val以内有多少个丑数（不包含1)
int nums235(int val)
{
int n=0 ;
while (val >= 2)
{
n += 1+nums35(val);
val /= 2 ;
}
return n;
}
//用二分法查找第n个丑数
//对于X，如果X以内的丑数个数是n,而X-1以内的丑数个数是n-1，那么X就是第n个丑数
int numOfIndex(int n)
{
if(n == 1)
return 1;
n--;
int val1 = 1;
int nums1 = 0;
int val2 = 2;
int nums2 = nums235(val2); //nums2为val2的因数个数
while( nums2 < n )
{
val1 = val2;
nums1 = nums2;
val2 = val1*2;
nums2 = nums235(val2);
}
if( nums1 == n )
return val1;
if( nums2 == n )
return val2;
while(true)
{
long mid = (val1 + val2)/2;
int nums = nums235(mid);
if(val2 == mid+1 && nums == n-1 && nums2==n)
return val2;
if(mid == val1+1 && nums1 == n-1 && nums==n)
return mid;
if(nums >= n)
{
val2 = mid;
nums2 = nums;
}
else
{
val1 = mid;
nums1 = nums;
}
}
}
int check(int val)
{
long v = val;
while( v%2==0 )
v/=2;
while( v%3==0 )
v/=3;
while( v%5==0 )
v/=5;
if( v != 1 )
cout << " v is not an ugly number! " << endl;
return val;
}
void calc(int n)
{
long val = numOfIndex(n);
cout << n << " : " << val << endl;;
check(val);
}
int main(int argc ,char *argv[])
{
int Number;
cout << "Please input a number : " ;
cin >> Number ;
calc(Number);
return 0;
}

想不到这算法很是高级货啊，直接因数分解，其实也是充分利用丑数是由丑数产生这一原理，用nums235统计出val内丑数个数。虽然也是都大量计算，不过比第一种的好很多，加上引入二分查找，效率还是不错的。经过测试，与method4在1500的时候都能在5ms内完成，各有所长。不过有个不足的地方， http://www.iteye.com/topic/832545 虽然说这方法是最优解（如果在calc中去掉check调用，1500-1545都是1ms或2ms完成，震惊啊），不过在输入1546开始，会很慢，更不用说在1692这样会溢出的点，会很慢（没等，不知道具体时间）不过在1545以内，的确是最优，作者 taolei0628 果然牛。

总结起来，就是最简陋的遍历，从小到大的只算丑数，统计全部丑数，计算丑数个数，方法不同，算起来，搞程序还是很有意思的嘛，可惜没早点发现，就这样了吧。

菜鸟goes on ~~

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