1  二分查找

算法思想：

二分查找要求元素排列有序。首先，假设表中元素是按升序排列，将数组中间位置的元素与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将数组分成前、后两个子数组，如果中间位置记录的元素大于查找关键字，则进一步查找前一子数组，否则进一步查找后一子数组。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

二分查找的时间复杂度为O（logN)

算法实现：

递归算法：

//递归算法
public int rank(Key key, int lo, int hi) {if(hi<lo)  return lo;int mid = lo + (hi-lo)/2;int cmp = key.compareTo(keys[mid]);if(cmp<0)   return rank(key,lo,hi-1);if(cmp>0)   return rank(key,mid+1,hi);else return mid;
}

非递归算法：

//非递归算法
public int rank(Key key) {int lo = 0, hi = N-1;while(lo<=hi) {int mid = lo + (hi-lo)/2;int cmp = key.compareTo(keys[mid]);if(cmp<0) hi = mid-1;if(cmp>0)    lo = mid+1;else return mid;}return lo;
}

2  二叉查找树

定义：

二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

• 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值；
• 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
• 左、右子树也分别为二叉排序树；

步骤：

若根结点的关键字值等于查找的关键字，成功。否则，若小于根结点的关键字值，递归查左子树。若大于根结点的关键字值，递归查右子树。若子树为空，查找不成功。

二叉查找树的时间复杂度为O（logN)

算法实现：

结点类：

private class Node{private Key key;private Value val;private Node left,right;private int N;public Node(Key key,Value val, int N) { this.key = key; this.val = val; this.N = N; }
}

其中N为以该节点为根的子树的节点总数，计算方法如下：

size(x) = size(x.left) + size(x.right) + 1

查找方法：

递归查找，如果小于当前结点，递归去左子树查找；如果大于当前结点，递归去右子树查找。

public Value get(Key key) {return get(root,key);
}
public Value get(Node x,Key key) {if(x==null)return null;int cmp = key.compareTo(x.key);if(cmp<0) return get(x.left,key);if(cmp>0) return get(x.right,key);else return x.val;
}

插入方法：

先查找，如果树中已经存在相应的键，只需更新值；如果查询无果，指针也已经指向了应该插入的位置，用要插入的键值对新创结点并插入到相关位置。

public void put(Key key,Value val) {root = put(root,key,val);
}
private Node put(Node x,Key key,Value val) {if(x == null) return new Node(key,val,1);int cmp = key.compareTo(x.key);if(cmp<0) x.left = put(x.left,key,val);//插入左子树if(cmp>0)   x.right = put(x.right,key,val);//插入右子树else x.val = val;//更新值x.N = size(x.left) + size(x.right)+1;return x;
}

删除方法：

1. 即将被删除的节点记为t
2. x指向它的后继节点min(t.right)
3. 将x的右链接链接到x的父节点的左链接上（即替换掉原x的位置）
4. 用x节点替换t节点（将t.left和t.right设为x.left和x.right）

public void delete(Key key) {root = delete(root,key);
}
private Node delete(Node x,Key key) {if(x == null)    return null;int cmp = key.compareTo(x.key);if(cmp<0)    x.left = delete(x.left,key);if(cmp>0)   x.right = delete(x.right,key);else {if(x.right == null)      return x.left;if(x.left == null)      return x.right;Node t = x;x = min(t.right);x.right = deleteMin(t.right);x.left = t.left;}x.N = size(x.left)+size(x.right)+1;return x;
}