一般区域二重、三重积分MATLAB计算方法

这里讨论的计算方法指的是利用现有的MATLAB函数来求解，而不是根据具体的数值计算方法来编写相应程序。目前最新版的2009a有关于一般区域二重积分的计算函数quad2d，但没有一般区域三重积分的计算函数，而NIT工具箱似乎也没有一般区域三重积分的计算函数。
本贴的目的是介绍一种在7.X版本MATLAB（不一定是2009a）里求解一般区域二重三重积分的思路方法。需要说明的是，在MATLAB的dblquad帮助文档里已经讨论了一种求解一般区域二重三重积分的思路方法，就是将被积函数“延拓”到矩形或者长方体区域，但是这种方法不可避免引入很多乘0运算浪费时间。因此，新的思路将避免这些。由于是调用已有的MATLAB函数求解，在求一般区域二重积分时，效率和2009a的quad2d相比有一些差距，但是相对于"延拓"函数的做法，效率大大提高了。下面结合一些简单例子说明下计算方法。
譬如二元函数f(x,y) = x*y，y从sin(x)积分到cos(x)，x从1积分到2，这个积分可以很容易用符号积分算出结果

syms x
y
int(int(x*y,y,sin(x),cos(x)),1,2) ]
结果是
-1/2*cos(1)*sin(1)-1/4*cos(1)^2+cos(2)*sin(2)+1/4*cos(2)^2 =
-0.635412702399943

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如果你用的是2009a，你可以用

quad2d(@(x,y)
x.*y,1,2,@(x)sin(x),@(x)cos(x),'AbsTol',1e-12)

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得到上述结果。
如果用的不是2009a，那么你可以利用NIT工具箱里的quad2dggen函数。
那么我们如果既没有NIT工具箱用的也不是2009a，怎么办呢？
答案是我们可以利用两次quadl函数，注意到quadl函数要求积分表达式必须写成向量化形式，所以我们构造的函数必须能接受向量输入。见如下代码

function
IntDemo
function f1 = myfun1(x)
f1 = zeros(size(x));
for k =
1:length(x)
f1(k) = quadl(@(y)
x(k)*y,sin(x(k)),cos(x(k)));
end
end
y =
quadl(@myfun1,1,2)
end

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myfun1函数就是构造的原始被积函数对y积分后的函数，这时候是关于
x的函数，要能接受向量形式的x输入，所以构造这个函数的时候考虑到x是向量的情况。
利用arrayfun函数（7.X后的版本都有这个函数，不了解这个函数的朋友可以查看帮助文档，或者百度搜索arrayfun）可以将IntDemo函数精简成一句代码：

quadl(@(x)
arrayfun(@(xx) quadl(@(y)
xx*y,sin(xx),cos(xx)),x),1,2)

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上面这行代码体现了用MATLAB7.X求一般区域二重积分的一般方法。可以这么理解这句代码：
首先

@(x)
arrayfun(@(xx) quadl(@(y)
xx*y,sin(xx),cos(xx)),x)

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定义了一个关于x的匿名函数，供quadl调用求最外重（x从1到2的）积分，这时候，x对于

arrayfun(@(xx)
quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)),x)

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就是已知的了。
而

@(xx) quadl(@(y)
xx*y,sin(xx),cos(xx))

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定义的是对于给定的xx,求xx*y关于y的积分函数，这就相当于数学上积完第一重y的积分后得到一个关于xx的函数
而

arrayfun(@(xx)
quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)),x)

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只是对

@(xx) quadl(@(y)
xx*y,sin(xx),cos(xx))

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加了一个循环的壳，保证“积完第一重y的积分后得到一个关于xx的函数”能够接受向量化的xx的输入，从而能够被quadl调用。
有了这个模板，我们可以方便求其他一般积分区域（上下限是函数）形式的二重积分，例如被积函数
f
= @(x,y)
exp(sin(x))*ln(y)，y从5*x积分到x^2，x从10积分到20。
用quad2d,上面介绍的方法，还有dblquad帮助文档里给的延拓函数的方法

tic,y1
= quad2d(@(x,y) exp(sin(x)).*log(y),10,20,@(x)5*x,@(x)x.^2),toc
tic,y2 =
quadl(@(x) arrayfun(@(x) quadl(@(y)
exp(sin(x)).*log(y),5*x,x.^2),x),10,20),toc
tic,y3 = dblquad(@(x,y)
exp(sin(x)).*log(y).*(y>=5*x & y<=x.^2),10,20,50,400),toc
y1
=
9.368671342614414e+003
Elapsed time is 0.021152 seconds.
y2
=
9.368671342161189e+003
Elapsed time is 0.276614 seconds.
y3
=
9.368671498376889e+003
Elapsed time is 1.674544
seconds.

复制代码

可见上述方法在2009a以外的版本中不失为一种方法，起码效率高于dblquad帮助文档里推荐的做法。更重要的是，这给我们求解一般区域三重积分提供了一种途径。

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