分数的乘法逆元和负数的取模运算

1.乘法逆元

A.定义

如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。

既然有ax≡1 (mod p)，那么有ax - py = 1,x是a关于模p的乘法逆元。

B.分数的乘法逆元

对于实数域，一个数的乘法逆元就是其倒数，所谓乘法逆元就是相乘等于单位元的那个数。

对于ecc算法的离散曲线域，m的乘法逆元为n,满足m * n = 1 (mod p),即满足m*n mod p = 1 mod p，称作n就是m关于的p乘法逆元。在离散曲线域中，单位元就是1。如果在离散曲线域碰到一个表达式2/5，单纯的碰到一个表达式2/5没有任何意义，要看mod数是多少，如果是10，那么a=2/5的真正值是求5关于10的乘法逆元，然后再乘以2 md 10。

2.负数的取模运算

在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所接收，大家大多认可的是下面的这个定义2。

如果a与d是整数，d非零，那么余数r满足这样的关系：a = qd + r，q为整数，且0 <= |r| <|d|

根据定义. 7 = (-3)*(-2) + 1或7 = (-3)*(-3)-2，所以余数为1或-2，在ecc算法的离散曲线域中，我们只考虑非负整数所以这里余数会取1。

3.推演

例如：求5关于模72的乘法逆元。

5X - 72Y = 1

解：72 = 14 *5+2

5 = 2*2 + 1

2 = 2*1 + 0

所以有1 = 5 - 2*2

= 5 - 2* (72-14*5)

= 5 - 2*72 + 28*5

= 29*5 - 2*72

最后有乘法逆元为29。

例如：求-1/2在离散曲线域(E23(1,1))中的值。

解：首先求2关于模23的乘法逆元为

2X-23Y = 1

23 = 11*2 + 1

2 = 2*1 +0

所以有1 = 23- 2*11 = 23 * (2-1) - 2*11 = 12*2 - 23，得乘法逆元为12

然后求 (-1 )*12 mod 23 ,因为有 (-12)*(-1) + 11 = 23,所以得值为11。

5.备注

以上为研究ecc算法推导的基础知识难点，有这些概念才能更好的理解ecc算法。

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