摘要：

西南联大是一所名师云集的高等学府, 为我国培育出了许多英才, 被海内外人士喻为“藏龙卧虎”之地.西南联大数学系的“数学三杰”——华罗庚、许宝禄、陈省身3位教授, 以及后起之秀钟开莱先生均在海内外享有盛誉.华罗庚先生讲课的主要特点是, 他总是尽力把题材化繁为简, 化难为易;强调搞学问必须有“看家工夫”;强调“读书要从薄到厚, 再从厚到薄”.陈省身先生强调“数学为的是简单性”.许宝禄和钟开莱先生在教学中特别强调要“直观地理解数学”, 主张要把数学定理及其证明的“原始思想”告知学生.所获得的教益:认识到追求简单规律的重要性, 并以此作为研究数学的目标和兴趣出发点;学会使用直观、联想去理解数学并籍此去发现问题, 提出可以研究的题材;学会了重视“特例分析”、数学概括和抽象方法;向华罗庚、许宝禄先生学到了“不怕计算”和“乐于计算”的习惯并乐于从计算中发现规律和提炼一般性公式.

关键词：西南联大; 治学经验; 治学方法; 见解; 启示.

(一)

西南联大是由北大、清华、南开3所大学, 在抗日战争年代迁移到昆明时, 联合而成的大学.那是一所名师云集的高等学府, 曾在艰难的8年岁月里 (1938—1946) , 培育出了许多英才, 他们在各个学术领域里分别做出了重要贡献, 其中居于世界级的人物也为数不少.因此西南联大曾被海内外人士喻为“藏龙卧虎”之地.

我有幸于1941—1945年间进入西南联大数学系学习.当年即闻知校中有“数学三杰”——华罗庚、许宝禄、陈省身3位教授.他们分别从英国、法国留学归国后, 锲而不舍地从事数学工作, 虽然都很年轻, 但成就已很出名, 而且也都在昆明熬过了清苦艰难的岁月.

数学三杰的数学贡献是属于世界级的, 所以后来德国著名的斯普林格 (Springer) 出版社曾相继出版了陈氏 (1911—) 、华氏 (1910—1985) 、许氏 (1910—1970) 的数学文集.当年教师中还有一位后起之秀, 钟开莱讲师 (1917—) , 后来成为国际著名的概率论专家, 对马尔柯夫链、随机过程论做出了杰出贡献.现在是美国斯坦福大学的终身名誉教授.

在大学时代, 我曾学习了华先生、许先生和钟开莱先生开设的4门课程.后来又和这3位老师有多年的接触联系.所以这篇回忆录似的文章, 主要是介绍华、许、钟3位有关治学的“经验之谈”和某些学术观点及科研与教学风格.还要谈到他们对我的影响.

中国数学会与北京师大合办的《数学通报》专设“寄语数学青年”一栏, 曾邀我写过一篇“谈谈我的一些数学治学经验”的文章, 载该刊2000年5月号.在这篇文章中, 我曾写道:“积半个世纪的数学教学与科研工作经历, 我的个人经验可概括为5句话:一是培养兴趣, 二是追求简易, 三是重视直观, 四是学会抽象, 五是不怕计算.”后来2001年我在中山大学、浙江大学给研究生们讲演时, 还补充了一句话:“六是喜爱文学.”

事实上我的上述一些经验, 正好是反映和证实了西南联大名师们对我的启示和教益所起的作用.

(二)

华罗庚先生丰硕的学术成就和贡献, 已在不少人的著作和纪念性文章中介绍过.尤其是王元著《华罗庚》一书, 对华先生在诸多数学分支中的卓越成果, 已有极为详尽的论述.

这里我只想就宏观的角度来谈一些华先生的主要治学经验和他的各种有关观点以及教学与科研风格.

我学过华先生讲授的“数论课程”和“近世代数课程”.他的讲课姿态很灵活, 虽然腿脚不灵 (因为他是跛子) , 却喜欢在黑板前边走来走去.他在黑板上写字不多, 而很注重讲问题的来龙去脉和论证思路, 有时也穿插讲点小故事.他爱讲的一句话是“卑人之无甚高论” (意思是, 他所论证的数学真理其实质是平庸无奇的) , 所以听他讲课我感到是一种愉快的享受.

华先生并不看重考试, 他教我们2门课程时一次考试也没有.当然, 学生们对他这样的老师是由衷欢迎的.但他要求我们做一批他所指定的习题, 最后根据做题的表现状况打分数定成绩.这样, 无疑是体现了对大学生的学习主动性与自觉性的尊重和鼓励.我想, 正因为华先生本人是自学成才的, 所以他看重人们的主动自觉性也就是自然的了.

华先生讲课的主要特点是, 他总是尽力把题材化繁为简, 化难为易.有时还对一些数学定理及其证明的妙处, 赞叹几句.我担任他的助教 (助手) 期间, 他曾对我说过:“高水平的教师总能把复杂的东西讲简单, 把难的东西讲容易.反之, 如果把简单的东西讲复杂了, 把容易的东西讲难了, 那就是低水平的表现.”这些话曾成为我从事数学教学工作的座右铭, 因而居然能使我过去数十年间也一直享有“善于讲课”的美名.

华先生具有爽朗直率、坚持求真的性格.记得有一次他讲近世代数课时, 他对大家说, 他在这次步行来校的路上, 才真正想通了“舒尔引理” (Schur's Lemma) 的妙处.一位著名的数学教授, 竟能在学生们面前无保留地表白对一个著名定理的理解过程, 真使大家更加敬重他的坦诚性格和求实精神.

(三)

凡是自学成才者, 常常有独到的经验和体会.华罗庚先生就是这方面的一个典型范例.

他的治学经验之一, 就是他所强调的搞学问必须有“看家工夫”.据他所说, 他有扎实的看家工夫主要是因为学习了3部有名的经典著作:一是克里斯托尔 (Chrystal) 的《大代数》;二是兰道 (Landau) 的《数论教程》;三是特恩波尔·爱德肯 (Turnbull Aitken) 的《标准矩阵论》.从这些经典著作中他学到了计算技巧、分析功底和创建“矩阵几何”的基本工具.

20世纪50年代前曾任清华大学数学系主任的段学复教授对我说过, 据他所知华先生在青年时代精读兰道的数论巨著共作了6大本笔记, 可见其功夫之深.《标准矩阵论》这本老书, 曾由华先生传给了早年助教闵嗣鹤先生, 后来又由闵先生传给了我.至今保存在我家已有50余年了.从这本昏色发黄的老书中, 还可以看到当年身为名教授的华罗庚曾作过书中习题的痕迹.

“直接攻读名家原著才能最有效地学到看家本事”, 这也是19世纪初叶欧洲杰出数学家阿贝尔 (Abel) 曾表述过的经验和见解.显然华先生成功的经历与阿贝尔的成才经验及见解是完全一致的.事实上, 正因为名家的原著往往包含有一系列创作原始思想, 并表述原始创作过程, 所以名著最能启发和诱导青年学子走向成才创新之路.

华先生的治学经验之二, 就是他所常说的“读书要从薄到厚, 再从厚到薄”.所谓从薄到厚, 是指读数学书一定要做题, 要在笔记中补充书中的不足之处, 要补足定理论证的缺陷等等.这样就好像是“把薄书读成厚书了”.他还强调要把书中的内容要点和论证关键提炼出来, 使之成为直观上一目了然的东西.这样就会觉得书的题材内容之精髓部分只是很少一点儿, 而需要存入头脑记忆库的也就是这一点儿, 于是也就把厚书读成薄书了.

“做科学研究就怕出错”, 但是华先生却认为从事探索性创作研究过程, 出差错并不可怕.他说:“只有庙宇里的菩萨一事不做才永不出差错.”这和法国已故分析学大师阿达玛 (Hadamard) 的观点见解是不谋而合的, 真是英雄所见略同.阿达玛在其所著《数学领域中的发明心理学》一书中写到:“在数学中我们不怕出错误.实际上错误是经常发生的.”“就他自己而言, 所发生的错误往往比他的学生出现的错误还多.但由于他总是不断地加以改正, 故在最后的结果中, 就不会再留有这些错误的痕迹.”

事实上, 数学创造性研究往往要经历“猜测—不断试证—不断纠错—确证真理”等步骤, 所以杰出的数学家们都有雷同的经验和见解也就不足为奇了.

(四)

在我担任华罗庚先生助手期间, 还未能体会到他们的科研工作的方法特点, 后来我自己也成为教授了, 科研工作也有些经验了, 通过回忆反思, 才理解到当年华先生的工作方法实际是和大数学家欧拉 (Euler) 、高斯 (Gauss) 、庞卡莱 (Poincaré) 十分相似的.他们都一致重视计算、观察、归纳和分析.事实上, 华先生曾不止一次地向我谈到过高斯和庞卡莱如何看重归纳法在发现真理中的作用.他曾说过:“只有对具体特例分析清楚了, 才能真正理解普遍定理的来源和实质.数学上许多抽象形式的普遍命题往往是通过诸特例的共性分析再由概括论证建立起来的.”

归纳法发现真理, 演绎法 (论证) 确立真理.可以说华先生当年的许多科研成果也必定是通过这种方法途径取得的.

华先生还很强调“联想”在数学创造性研究过程中的作用.这里讲一个真实故事.1946年春云南省发生“昆明事变”之后不久, 我去昆明郊外华家探望时, 华先生见到我就对我说, 昆明城区响了几天枪炮声, 他只好闭院不出门, 天天在院子里躺在帆布床上仰视天空, 观赏一片片白云变幻, 忽使他联想到一个美妙的数学新思想, 真是一大收获云云.当时他正研究矩阵几何中的矩阵变换问题, 但他并未谈论细节.我知道那个时期是他科研的高产时期, 每年都有不少佳作寄往美国发表.他的好友徐贤修先生曾从美国来信告诉他, 已见华在美国一年里发表多篇论文的总页数多达一百数十页.

上述故事容易使人联想到宋代文豪欧阳修.欧阳修曾说过, 他的佳作都是“三上文章”, 那就是在“马上”、“厕上”和“枕上”产生灵感后创作出来的文章.如此说来, 华先生的某些佳作也可称之为“枕上文章”了.

(五)

我在西南联大的最后2年, 陈省身先生已去了美国, 所以无缘听到他的讲课.后来抗日战争胜利了我到清华大学任助教, 有机会旁听了陈先生开设的“拓扑学”课程.课后他常和我们几个青年教师们闲谈, 有一次他引用了欧洲某位大数学家的名言, 说“Mathematics is for simplicity” (“数学为的是简单性”) .当时我对“简单性”一词还不甚理解, 很想真正弄明白它的真实涵义.很幸运, 那时我已教过2遍“初等微积分”, 使我已经开始领悟到“微积分基本定理——牛顿、莱布尼兹公式”之原理的简单性、表述的简明性和应用上的可换操作性, 我想这些不正是显示了数学模式的“简易性 (或简单性) ”特征吗?

后来我又读了“微积分发明史”, 就更进一步懂得了“简易性”正是数学发展过程中所追求的主要目标.另一方面, 数学作为科学语言和解析工具还使得其它各门科学变得简单化.这样就从内外2方面想通了上述名言的涵义.

事实上, 数学简单性意味着“规律性、协调性和形式上的统一性”.这些都是符合人的“美感”要求的.美学专家们甚至指出“简单性乃是美的标志”.阿达玛发展了庞卡莱的“数学发明心理学”, 已阐明了美的意识与人脑创造性思维活动的深刻联系.由此看来, 追求简单性的意愿还有利于激发创造发明的心智能力.

如果说, 以往50年间我能对数学科研与教学工作做了一些贡献的话, 那么就必须归功于“数学为的是简单性”这句名言对我的深刻启示力量.

(六)

西南联大时代数学系让许宝禄先生给我们开设了“微分几何”课程.第一次上课许先生就对我们说, 微分几何不过是微积分的一种应用而已, 而主要工具是泰勒级数展开, 再用一点儿初级代数计算.这些话多少曾对我产生了“负面影响”.其实, 这正是反映了许先生所主张的“良工示人以朴”的教学观点, 也和华罗庚先生常爱说“卑之人无甚高论”的观点一致.

许先生和钟开莱先生一样, 在教学中特别强调“直观地理解数学”的重要性.他们都主张要把数学定理及其证明的“原始思想”告知学生.虽然不见得每堂课都能做到这一点, 但他们总是殷切地期望学生们能从直观上领悟数学命题的来龙去脉.其实, 这样做也有助于培养人的创造发明才能.

对待教学与科研, 许先生很有独到之见.他有一些名言在学生中流传很广.他曾说:“教出状元来的老师是值得尊敬的, 至于做状元的学生那就没有什么了.”关于发表论文成果的事, 他说:“我不希望自己的文章因登在有名的杂志上而出名, 倒是希望杂志因为登了我的文章而使杂志出名.”他还说:“一篇论文不能因为获得发表就有了价值.其真正价值要看发表后被引用的状况来评价.”数学史上曾记述了19世纪挪威天才数学家阿贝尔, 因为在德国克列尔数学杂志上发表了多篇论文而使该杂志名声大振.一百七十余年来这份杂志始终享有世界声誉.

现今世界上尤其是科技发展水平不太高的一些国家的学者, 往往很重视在所谓属于“SCI”类刊物被索引的文章.我国有些高等院校甚至对教师们在这类杂志上发表论文给予高额金钱奖励.他们不知道收录进“SCI”的杂志并非全按纯学术水准来收定的, 而且每一种杂志上刊登的论文的质量也有“优、良、中、可”等区别.怎么能不加区别地就一律给予金钱奖励呢?至于科研论文成果的客观现实价值未经检验就给以立即奖励, 这岂不带有很大的盲目性吗?我在中年时代就在国外知名刊物发表了不少论文, 但数十年来还一直能被国际间学者多次引用的, 实在为数寥寥, 不过数篇而已.诚所谓“文章千古事, 得失寸心知.”由此反思, 还是觉得许先生的至理名言是有深远指导意义的.现今有些院校的领导出于好心很想用“金钱奖励法”激励青年学子多出论文, 重奖被“SCI”等检索性刊物收录了论文的作者, 这样做是否真正有利于出高素质人才和成果, 恐怕是值得商榷的!

(七)

有一次许宝禄先生和我谈到了英国的分析学大师哈代 (Hardy) 和德国大数学家希尔伯特 (Hilbert) .他认为一个大学数学专业生, 如果不知道哈代的贡献那是并无损失的, 但是如果不知道希尔伯特的重要贡献那就说不过去了.事实上正如大家所知, 物理学领域的“量子力学”的理论基础的建立, 必须应用希尔伯特空间算子理论.在变分法和积分方程理论中也有希尔伯特的重要贡献.

上述许先生的谈话曾促使了20世纪50年代吉林大学的数学课程建设.当年吉林大学数学系系主任为王湘浩教授, 我是副主任.江泽坚教授是分析数学教研室主任.当我把许先生的观点告知王、江2位后, 我们3人便一致同意要为数学系高年级学生讲授“希氏空间理论”课.就这样, 我们通过教学相长的途径也使自己学会了在大学时代尚未学过的东西.钟开莱先生在西南联大时代开设了“概率论”课程.我抱有浓厚的兴趣学了这门课, 获益颇丰.

1944年前后, 华罗庚先生曾应邀出差去重庆市解决了一个关于日军军用密码的破译问题.华先生以其卓越的慧眼很快识破日本军部所用密码的转换工具, 就是数论中的麦比乌斯 (Möbius) 反演公式.这一令人惊喜的信息, 曾鼓舞了我跟钟开莱先生合作写成一篇应用麦比乌斯反演公式求解一类组合概率计算问题的短文, 发表于1945年美国数理统计年刊.后来我自己以及与海内外合作者又曾发表了数篇有关广义麦比乌斯反演的文章.饮水思源, 要感谢数十年前华、钟2位先生的知识传授与启示.

数十年过去了, 至今回忆起来还清晰地能记得当年得益于诸名师的指点与启示的例子是不胜枚举的.这里我乐于简要地概述我所获得的教益 (或启示) :

(1) 认识到追求简单规律的重要性, 并以此作为研究数学的目标和兴趣出发点.

(2) 学会使用直观、联想去理解数学并籍此去发现问题, 提出可以研究的题材.

(3) 学会了重视“特例分析”、数学概括和抽象方法.由此还启发我最先提出了“数学抽象度分析法”, 成为现今数学方法学的研究课题之一.

(4) 向华、许二师学到了“不怕计算”和“乐于计算”的习惯.十分乐于从计算中去发现规律和提炼一般性公式.和华先生相似, 我也十分重视显式构造, 这正好适应于我后来长期从事“函数逼近论”、“计算方法”与“组合分析”研究的客观要求.

(5) 我对科学方法论和科学哲学以及文学的兴趣及爱好, 也是受到了华、许、钟3位先生的谈话启示和影响.这方面的详情细节我就略而不谈了.

现今, 教育工作者都提倡青年学子们要向名师学习, 这是很好的.我认为最需要向名师学习的方面是, 他们的治学经验、治学方法和见解以及作为名师的求真精神与学者风范.

编辑 ∑Gemini

来源：好玩的数学

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