不用辅助空间的归并排序

题目要求：合并两个已有序序列为A[0…i],A[i+1…N-1] 为A[0...N-1], 要求不用或者只使用常量辅助空间

为叙述方便，表示A[0…i]为a[0..n-1]，A[i+1…N-1]为b[0…m-1]，问题实际上是使用常数辅助空间的归并排序

不用辅助空间的归并排序

思路如下：如果a[0] 小于b[0],问题变为合并a[1..n-1]和b[0…m-1],还是同一个问题迭代解决

否则，即a[0]大于b[0]，交换两个元素，此时b[0]可能大于b[1], 用冒泡排序的方法将b[0]向右移动合适的位置，接下来问题也变为合并a[1..n-1]和b[0…m-1]，迭代解决。

复杂度分析：考虑一种极端情况，前半部分的元素全部大于后半部分，即a中的所有元素都大于b中的元素，这时以第一个元素为例，比较次数为1+(m-1)=m, m-1次为冒泡移动的比较次数，所以合并的复杂度为m+(m-1)+(m-2)+..=1= m*(m+1)/2，在此说明，这时一种极端情况。当前部分元素完全小于后部分是，则元素比较次数为n。如果一个完整的归并排序使用这种方法，则最坏复杂度为T(n)=2T(n/2)+ (n/2)*(n/2 +1)=2T(n/2) + n(n+1)/4，取极限为n(n+1)/2，即此时归并排序的复杂度和冒泡排序已经一样，从这一点来看和快排还是很相似的。

使用k个辅助空间的归并排序，k远远小于元素数目，辅助数组为c[k]

原理类似，将a[0…k-1]移到c[0…k-1]中，然后用常规方法将b[0..m-1]和c[0…k-1]归并k个元素到位置a[0…k-1]，比较次数为k，假设此时数组c中剩余的元素为c[t…k-1]，则此时数组b中前端必然也空出了k—t个位置，即b[0..k-t-1]必然没有元素。接下将b[k-t…m-1]和c[t…k-1]归并到b中的前端空位，比较次数最多为m, 数组c变为空，现在问题变成了归并a[k…n-1] 和b[0…m-1]了，迭代解决，注意终止条件。

复杂度分析：每次迭代的最多比较次数为将k+m,一共有n/k次迭代，所以总复杂度为(k+m)*(n/k)=n+(nm)/k,当k=n时即是原来的归并排序复杂度（nlogn），当k=1时即为不用辅助空间的排序复杂度n^2。

再次说明，上述的n^2复杂度都是基于初始序列完全逆序的极端情况，个人认为，平均情况下使用辅助空间的渐进复杂度复杂度应该也是对数级。

转载于:https://www.cnblogs.com/gaoyanqing/p/4310800.html

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