语言模型中用到的几种采样之不全版

1、蒙特卡洛数值积分

在科学计算领域，对一个已知分布的p(x)，函数f(x)的期望可以通过数值解法方法来近似计算。从p(x)中独立抽取的n个样本xi，其中i = 1, · · · , n。当 n足够大时，f(x)的期望可以用这n个样本的均值来近似：

根据大数定律，当n趋向于无穷大是，样本均值收敛于期望值：

，when n →∞.

也就是说，它可以用来求一些复杂函数的积分。求积分，可以通俗地理解为求面积，而如果只是简单的求面积，利用蒙特卡洛来求就是用随机投点法来模拟不规则图形的面积。

比如在1*1的矩形中，有一个不规则的图形，我们想要直接计算该图形的面积很困难，那怎么办呢？我们可以拿N个点，随机抛在1*1的矩形框中，数一下落入该不规则图形中的点的个数count，那么该不规则图形的面积就可以用count/N来近似。

所以现在就有一个问题，就是要怎么抽样才能让数据最符合事实分布。抽样，其实是指从一个概率分布中生成观察值（observations）的方法。而这个分布通常是由其概率密度函数（PDF）来表示的。而且，即使在已知PDF的情况下，让计算机自动生成观测值也不是一件容易的事情。从本质上来说，计算机只能实现对均匀分布（Uniform distribution）的采样。比较原始的解决方法会有直接采样，拒绝采样、自适应的拒绝采样等（这几种这个链接介绍的很好）。下面介绍几种比较主要的“曲线救国”的方法。

2、重要性采样

它也是借助了容易抽样的分布 q (proposal distribution)来解决这个问题，直接从公式出发：

其中p(z)是数据的分布，f(z)是数据的函数，p(z) / q(z) 可以看做采样出后的数据的 importance weight，可见p(z) / q(z)>1,即p(z) > q(z),采样数据的权重变高，反之则权重降低，这是比较intuitive的。我们要确定的是 q。要确定一个什么样的分布才会让采样的效果比较好呢？直观的感觉是，样本的方差越小期望收敛速率越快。比如一次采样是 0, 一次采样是 1000, 平均值是500,这样采样效果很差，如果一次采样是 499, 一次采样是501, 你说期望是 500,可信度还比较高。在上式中，我们目标是 p×f/q 方差越小越好，所以 |p×f| 大的地方，proposal distribution q(z) 也应该大（而这个条件并不能经常满足，这也就成了重要性采样的缺点）。

因为这篇文章主要是服务于语言模型的，所以这里讲一讲它在语言模型的应用。

应用重要性采样在加快求解：

，

如下式：

其中通常采用训练集的unigram分布（键为词，值为词的频率），接着从中独立抽取k个样本vi, 1 ≤ i ≤ k

到了这一步基本完成重要性采样，下面说一下上图中最后一项中部分项的求解：

Z(h) 需要在所有样本上进行计算，计算量仍然很大。

于是，Bengio在2003年在这里又用了一次重要性采样：

其中可以跟上面一样采用训练集的unigram分布。

到这里就完成工作了，梳理一下整个推导流程：

3、自适应重要性采样

虽然直观上Q(w′|ht)采用n元语言模型更加准确，但Bengio and Senécal [2008]发现使用复杂的n元语言模型分布并不能改进性能，原因是n元模型的分布和神经网络语言模型估计的分布之间有很大的差异。于是，他们提出了自适应的n-gram分布来更好地拟合目标分布P。他们将bigram和unigram融合，融合的系数用SGD的方法训练得到，最终使得融合后的分布Q与目标分布P的KL距离最小。他们的实验显示这种方法能使速度提升100倍。

4、 NCE

噪声对比估计（Noise Contrastive Estimation）是Mnih和Teh发明的一种比重要性采样更稳定的采样方法，因为刚刚上面说的重要性采样中P和Q可能大小不一致的情况。NCE不是直接估计某个词语的概率值。相反，它借助一个辅助的损失值，从而实现了正确词语概率值最大化这一目标。NCE的想法是：训练一个模型来区分目标词语与噪声。于是，待解决的问题就由预测正确的词语简化为一个二值分类器任务，分类器试图将正确的词语与其它噪声样本中区分开来。

对于每个词语wi，它的前n个词语wt-1, ……, wt-n+1表示为wi的语境ci。然后从含有噪声的分布Q中生成k个噪声样本。参照重要性采样的方法，这里也可以从训练数据的unigram分布中采样。由于分类器需要用到标签数据，我们把语境 ci 对应的所有正确的词语wi标记为正样本(y=1)，其余的噪声词语作为负样本（y=0）。

接着，用逻辑回归模型来训练样本数据：

为了简化表示，上式中用c表示上下文内容，并且省略了目标词语wt的下标t。由于计算所有噪声样本的期望时仍需要对词表V中的词语求和，得到标准化的概率值，于是可以采用蒙特卡洛方法来估算：

简化为：

实际上，我们是从两个不同的分布中采样数据：正样本是根据语境c从训练数据集Ptrain中采样，而负样本从噪声分布Q中采样获得。因此，无论是正样本还是负样本，其概率值都可以表示成上述两种分布带权重的组合，权重值对应于来自该分布的样本值：

于是，样本来自于Ptrain的概率值可以表示为条件概率的形式：

这个式子可以被简化为：

由于不知道Ptrain（待计算项），我们就用P来代替：

当然，样本为负样本的概率值就是P(y=0|w,c)=1−P(y=1|w,c)。值得注意的是，已知c求词语w出现的概率值P(w|c)的计算方法实际上就是softmax的定义：

h是网络倒数第二层的输出向量。因为分母只与h相关，h的值与c相关（假设V不变），那么分母可以简化为Z(c)来表示。softmax就变为下面的形式：

为了求解Z(c)，还是需要对V中所有词语出现的概率值求和。NCE则用了一个小技巧巧妙地绕开：即把标准化后的分母项Z(c)当作模型的待学习参数。Mnih和Teh（2012）、Vaswani（2013）等在论文中都把Z(c)的值固定设为1，他们认为这样不会对模型的效果造成影响。Zoph（2016）则证明了，即使训练模型，最终得到Z(c)的值也是趋近于1，并且方差很小。

若是我们把上面softmax等式中的Z(c)项改为常数1，等式就变为：

再把上面的式子代入求解P(y=1|w,c)P(y=1|w,c)，得到：

继续把上式代入到逻辑回归的目标函数中，得到：

NCE方法有非常完美的理论证明：随着噪声样本k的数量增加，NCE导数趋近于softmax函数的梯度。Mnih 和 Teh (2012) 认为抽取25个噪声样本就足以达到常规softmax方的效果，速度能提升大约45倍。Chris Dyer撰写的笔记对NCE方法进行了更详细的解释。

在这里仍然可能会让人疑惑，为何一个softmax的计算效率问题就能转化为一个二分类问题了。其实，仔细一想，softmax就是解决从多个分类挑出正确目标这个问题的，而我们这里NCE把样本分为了正样本和负样本两类，也算是解决了这个问题，只是彻底抛弃了softmax而已。

5、 Negative Sampling

负采样（Negative Sampling）方法，简称NEG，可以看成是噪声对比估计方法的一个简化版本。

回顾上面这条公式：

我们把kQ(w)设为1，就把NCE变成NEG了。

因为NEG与NCE的关键区别在于NEG以尽可能简单的方式来估计这个概率值，所以上式中计算量最大的kQ(w) 项被置为1，于是得到：

当k=|V|并且Q是均匀分布（若Q为unigram，则这意味着每个词出现频率一样）时，kQ(w)=1成立。此时，NEG等价于NCE。我们将kQ(w)设置为1，而不是其它常数值的原因在于，P(y=1|w,c)可以改写为sigmoid函数的形式：

如果我们再把这个等式代入之前的逻辑回归损失函数中，可以得到：

进一步简化后得到：

假设

最终得到：

为了与Mikolov et al. (2013)论文中的符合保持一致，h要用vwI替换，v’wi要用v’wO替换，vwij 要用v’wi替换。另外，与Mikolov所使用的目标不同，我们在三个方面做了修改：a）对整个文档集做优化，b）最小化负对数似然，而不是最大化对数似然，c）用蒙特卡洛方法估计期望值

我们发现，仅当k=|V|并且Q是均匀分布时，NEG才等价于NCE。在其它情况下，NEG只是近似于NCE，也就是说前者不会直接优化正确词语的对数似然，所以不适合用于自然语言建模。NEC更适用于训练词向量表示。

另外，在源码实现中，当Q用unigram时，每个词的频率会被再弄上一个0.75的幂。

Reference：

[1] http://www.cnblogs.com/xbinworld/p/4266146.html

[2] http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/51407703

[3] Sebastian Ruder. On wordembeddings - Part 2: Approximating the Softmax.http://sebastianruder.com/word-embeddings-softmax,2016.

[4] 《神经网络与深度学习》第12章邱锡鹏

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