欧拉函数概念及其证明
欧拉函数概念
质数:质数(prime number)又称素数,有无限个。质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。
互质:如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,那么就称这两个数是互质关系!(注意,这里并没有说这两个数一定是质数或有一个为质 数。比如15跟4就是互质关系)
这里要把质数和互质的概念弄清楚!!!
若n是质数的某一个次方,即 n = p^k (p为质数,k为大于等于1的整数),则
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。
这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式:
可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四个命题:
若n可以分解成两个互质的整数之积,n = p1 × p2,则φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
这一条的证明要用到"中国剩余定理",这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。
第五个命题:
因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。
根据第四个命题的结论,得到
再根据第三个命题的结论,得到
也就等于
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:
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