BZOJ 2149 拆迁队斜率优化DP 主席树

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2149

题目大意：
一个长度为 n n的序列aa，改变其中的某些数使之成为一个单调递增序列，改变第 i i个数需要花费b[i]b[i]
求最多不改变的数的数量以及在这一条件下序列的总和 + +花费的最小值

题解：
首先可以令d[i]=a[i]−id[i]=a[i]-i，这样可以将单调递增转化为单调不下降更方便处理
设 f[i] f[i]表示到第 i i个数且不改变第ii个数时最多不改变多少个数
那么 f[i]=max{f[j]}+1(d[j]≤d[i]) f[i]=max\{f[j]\}+1(d[j] \le d[i])
设个 g[i] g[i]表示到第 i i个数且不改变第ii个数时序列总和 + +花费的最小值
那么g[i]=min{g[j]+d[j]∗(i−1−j)+(j+i)∗(i−1−j)2}+a[i](d[j]≤d[i]，f[j]+1=f[i])g[i]=min\{g[j]+d[j]*(i-1-j)+\frac{(j+i)*(i-1-j)}{2}\}+a[i](d[j] \le d[i]，f[j]+1=f[i])
整理一下发现可以斜率优化DP
x=−d[i] x=-d[i]
y=g[i]−a[i]∗(i+1)+i∗(i+1)2 y=g[i]-a[i]*(i+1)+\frac{i*(i+1)}{2}
k=i k=i
用一个主席树维护凸包，每次将一个点插到对应的节点中，更新时查询对应的区域

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100005
typedef long long ll;
int n;
int a[MAXN];
int b[MAXN];
ll c[MAXN];
int d[MAXN];
int e[MAXN];
int f[MAXN];
ll g[MAXN];
int cnt;
struct Point
{ll x,y;Point(ll _x=0,ll _y=0):x(_x),y(_y){}friend ll operator*(const Point &a,const Point &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
};
vector<int>tr[MAXN*32];
int ls[MAXN*32],rs[MAXN*32];
int root[MAXN],tot;
void Update(int pos,int val,int l,int r,int &rt)
{if(!rt) rt=++tot;while(tr[rt].size()>1&&Point(-d[tr[rt][tr[rt].size()-1]]+d[tr[rt][tr[rt].size()-2]],c[tr[rt][tr[rt].size()-1]]-c[tr[rt][tr[rt].size()-2]])*Point(-d[val]+d[tr[rt][tr[rt].size()-1]],c[val]-c[tr[rt][tr[rt].size()-1]])<=0)tr[rt].pop_back();tr[rt].push_back(val);if(l==r) return;int mid=(l+r)>>1;if(pos<=mid) Update(pos,val,l,mid,ls[rt]);else Update(pos,val,mid+1,r,rs[rt]);
}
int Query(int R,int val,int l,int r,int rt)
{if(!rt) return -1;if(r<=R){if(!tr[rt].size()) return -1;int ll=0,rr=tr[rt].size()-1;while(rr-ll>2){int lmid=(ll+ll+rr)/3;int rmid=(ll+rr+rr)/3;if(c[tr[rt][lmid]]+1ll*val*d[tr[rt][lmid]]>c[tr[rt][rmid]]+1ll*val*d[tr[rt][rmid]]) ll=lmid;else rr=rmid;}int re=ll;for(int i=ll+1;i<=rr;i++)if(c[tr[rt][i]]+1ll*val*d[tr[rt][i]]<c[tr[rt][re]]+1ll*val*d[tr[rt][re]])re=i;return tr[rt][re];}int mid=(l+r)>>1;if(R<=mid) return Query(R,val,l,mid,ls[rt]);int re1=Query(R,val,l,mid,ls[rt]);int re2=Query(R,val,mid+1,r,rs[rt]);if(re1==-1) return re2;if(re2==-1) return re1;if(c[re1]+1ll*val*d[re1]<c[re2]+1ll*val*d[re2])return re1;else return re2;
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",b+i);for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=a[i]-i;f[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(d[i]<0){f[i]=-1;continue;}if(!cnt||e[cnt]<=d[i]) e[f[i]=++cnt]=d[i];else e[f[i]=upper_bound(e+1,e+1+cnt,d[i])-e]=d[i];}d[0]=0;g[0]=0;c[0]=0;Update(d[0],0,0,1000000000,root[f[0]]);for(int i=1;i<=n;i++){if(f[i]==-1){g[i]=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;continue;}int tmp=Query(d[i],i,0,1000000000,root[f[i]-1]);g[i]=c[tmp]+1ll*i*d[tmp]+1ll*i*(i-1)/2+a[i]+b[i];c[i]=g[i]-1ll*a[i]*(i+1)+1ll*i*(i+1)/2;Update(d[i],i,0,1000000000,root[f[i]]);}ll ans=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;for(int i=1;i<=n;i++)if(f[i]==cnt)ans=min(ans,g[i]+1ll*d[i]*(n-i)+1ll*(i+1+n)*(n-i)/2);printf("%d %lld\n",cnt,ans);return 0;
}

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