简单理解Tarjan算法

按照百度百科的播报应该是读成【'ta:rdʒən】?看过了几篇网络上的解释虽然都讲得比较具体但刚开始都难以理解，所以打算写一个更直观的理解方式。
Tarjan算法是求有向图中的强连通分量的算法。关于有向图和强连通分量的概念借鉴强连通分量：
在有向图G中，如果两个顶点u，ｖ间有一条从ｕ到ｖ的有向路径，同时还有一条从ｖ到ｕ的有向路径，则称两个顶点强连通。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向非强连通图的极大强连通子图，称为强连通分量。

图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

一、Tarjan算法的原理：

采用讲解这个算法时最常用的图来讲解：

当从结点1开始深度优先遍历有向图时，会产生以下的树形图：

1.1 树的产生过程为：

从结点1出发，经过右边的出度到达2结点；
从2结点，经过右边的出度到达3结点；
从3结点经过下面的出度到达6结点；
6结点无出度，回溯到3结点；
3结点无出度，回溯到2结点；
2结点经过下面的出度到达5结点；
5结点有指向已访问结点6的出度，标红；
5结点有指向已访问结点1的出度，标蓝；
5结点无出度，回溯到2结点；
2结点无出度，回溯到1结点；
1结点经过下面的出度到达4结点；
4结点有指向已访问结点5的出度，标蓝；

1.2 基本原理：

1、可以看出图中DFN[i]的值就是结点加入树形图的顺序，相当于每一个结点的标识符。

2、在访问至5结点时，有两个指向已访问结点的出度。其中一条红色的指向6结点，一条蓝色的指向1结点。红色出度未能形成强连通图，而蓝色出度导致{5，1，2}形成回路，也就是强连通图。 形成连通图的原理是树本身是单向连通的，若有子节点指向父（祖宗）节点便能形成回路，即强连通图。

3、4的出度指向5，并不是其父节点但也形成强连通图{1，2，5，4}。原因是5结点和1结点已经是强连通，4指向5相当于4指向1,即指向父（祖宗）节点。

那么如何判断指向的是否是父（祖宗）节点或是与祖宗节点强连通的子节点呢？

这就要用到栈的帮助，栈的含义是：存储所有可能是在同一强连通图中的元素，同时出栈的则属于同一强连通图。首先看下面的图：

显然我们增加了一个LOW数据结构，它的意义是存储所在强连通图的根节点标识符（也就是DFN派上用场的时候了），具体更新和判断过程是这样的：

1、在深度优先遍历图时，每遍历到一个结点便为它生成LOW[i]=DFN[i]=++index,（意思是初始时i结点的位置标识为递归遍历的顺序index，且初始时根节点为自身）入栈；

2、当这个结点没有出度时，深度优先将要回溯：
回溯到父节点时考虑子节点的LOW是否小于自己的LOW若小于则修改LOW（含义是子节点所在强连通图的根节点一定也是自己强连通图的根节点，如LOW[2]=LOW[5]=1。
再考虑栈中该结点是否要出栈，若LOW[i]==DFN[i]则说明自己便是一个强连通图的根节点，于是便可将此结点及其后续结点都出栈。（如图中6，3结点，包括最后出栈的1结点出栈时将2、4、5结点都出栈）。一同出栈的便构成一个强连通图。

3、当结点的出度指向已访问且已出栈的结点时：如图中红线，则不做处理。

4、当结点的出度指向已访问且未出栈的结点时：如图中蓝线，则将此节点的LOW[]改为该结点的LOW。（如LOW[5]=LOW[1]=5、 LOW[4]=LOW[5]=1）,表示修改该节点所在的强连通图的根节点。

5、当结点的出度指向未访问的结点时，则按照1进行。

二、伪代码：

搬来伪代码给大家看看：

tarjan(u){DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值Stack.push(u)   // 将节点u压入栈中for each (u, v) in E // 枚举每一条边if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过tarjan(v) // 继续向下找Low[u] = min(Low[u], Low[v])else if (v in S) // 如果节点u还在栈内Low[u] = min(Low[u], DFN[v])if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根repeat v = S.pop  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点print vuntil (u== v)}

参考链接：1、全网最!详!细!tarjan算法讲解
2、强连通分量

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