第九届蓝桥杯大赛个人赛决赛（软件类）C大学B组 题解
因能力有限，题解部分参照前辈想法，并加以博主思考。
如有不足，欢迎指正~！
目录
- 试题A： 换零钞
- 试题B： 激光样式
- 试题C： 格雷码
- 试题D： 调手表
- 试题E： 搭积木（待解决）
- 试题F： 矩阵求和（待解决）
试题A： 换零钞
题目：
x 星球的钞票的面额只有：100元， 5元， 2元， 1元，共4种。
小明去x星旅游，他手里只有2张100元的 × 星币，太不方便，恰好路过×星银行就去换零钱。
小明有点强迫症，他坚持要求200元换出的零钞中2元的张数刚好是1元的张数的10倍，剩下的当然都是5元面额的。银行的工作人员有点为难，你能帮助算出：在满足小明要求的前提下，最少要换给他多少张钞票吗?
（5元， 2元， 1元面额的必须都有，不能是0）注意，需要提交的是一个整数，不要填写任何多余的内容。
答案：
74
题解：
简单数学题，若使零钞最少，则5元面额最多，且1元、2元、5元面额必须都有。
假设num1、num2、num5分别是1元、2元和5元零钞的张数，
其中 num2 == 10 * num1; num1 + 2 * num2 + 5 * num5 == 200。
通过循环枚举即可解决问题。
#include<iostream>
#include<cstdio>using namespace std;int main(){/*num1、num2、num5分别是1元、2元和5元零钞的张数， 其中 num2==10*num1; num1+2*num2+5*num5==200。 */ int num1,num2,num5;for(num1=1;num1<=200;++num1){num2=num1*10;if((200-(num1+2*num2))%5==0){num5=(200-(num1+2*num2))/5;// num5 必须为正数 if(num5>0) break;} // break条件，在最少零钞前提下，x星币价值==200。 }printf("%d",num1+num2+num5);return 0;
}
试题B： 激光样式
题目：
x星球的盛大节日为增加气氛，用30台机光器一字排开，向太空中打出光柱。安装调试的时候才发现，不知什么原因，相邻的两台激光器不能同时打开！
国王很想知道，在目前这种bug存在的情况下，一共能打出多少种激光效果?显然，如果只有3台机器，一共可以成5种样式，即：
全都关上（sorry，此时无声胜有声，这也算一种）
开一台，共3种
开两台，只1种30台就不好算了，国王只好请你帮忙了。
要求提交一个整数，表示30台激光器能形成的样式种数。
注意，只提交一个整数，不要填写任何多余的内容。
答案：
2178309
题解：
最终解法类似斐波那契数列求解，其实需要使用动态规划思想（应该是吧 ）。
假设前 i 台机器的总方案数为 dp [ i ]举例发现，可以分两种情况（dp1、dp2）考虑：
1、不使用第 i 台机器
相邻两台机器不能同时打开，所以此时 dp1 = dp [ i - 2 ]2、当使用第 i 台机器
此时 dp2 = dp [ i - 1 ]综上可知，dp [ i ] = dp [ i - 1 ] + dp [ i - 2 ]，
其中 dp [ 0 ] = 1 （此时无声胜有声 ），dp [ 1 ] = 1 。
#include<iostream>
#include<cstdio>using namespace std;/*
dp[i]表示只使用前i台机器能组成多少中样式dp[i]=
dp[i-1] // 不使用第i台机器
+
dp[i-2] // 使用第i台机器
*/
int dp[3];int main(){dp[0]=1;dp[1]=2;for(int i=2;i<=30;++i){dp[i%3]=dp[(i-1)%3]+dp[(i-2)%3];}printf("%d",dp[30%3]);return 0;
}
试题C： 格雷码
题目：
格雷码是以n位的二进制来表示数。
与普通的二进制表示不同的是，它要求相邻两个数字只能有1个数位不同。
首尾两个数字也要求只有1位之差。有很多算法来生成格雷码。以下是较常见的一种：
从编码全0开始生成。当产生第奇数个数时，只把当前数字最末位改变（0变1，1变0）
当产生第偶数个数时，先找到最右边的一个1，把它左边的数字改变。
用这个规则产生的4位格雷码序列如下：
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
1100
1101
1111
1110
1010
1011
1001
1000以下是实现代码，仔细分析其中逻辑，并填写划线部分缺少的代码。
#include <stdio.h>
void show(int a,int n)
{
int i;
int msk = 1;
for(i=0; i<n-1; i++) msk = msk << 1;
for(i=0; i<n; i++){
printf((a & msk)? “1” : “0”);
msk = msk >> 1;
}
printf("\n");
}void f(int n)
{
int i;
int num = 1;
for(i=0; i<n; i++) num = num<<1;int a = 0;
for(i=0; i<num; i++){
show(a,n);if(i%2==0){
a = a ^ 1;
}
else{
a = _________________________ ; //填空
}
}
}int main()
{
f(4);
return 0;
}请注意：只需要填写划线部分缺少的内容，不要抄写已有的代码或符号。
答案：
a ^ ((a&(-a))<<1)
题解：
本题考的是位运算，需要对函数的功能初步分析，找出填空部分的作用，并通过填空实现程序功能。通过分析、测试函数发现，
show(a,n)：输出a的n位二进制数
f(n)：获取并输出n位格雷码型二进制明显发现，填空部分是用 if 函数判断奇偶
其中，if部分是第奇个数（初始为0，所以这里的奇数判断是 i % 2 == 0），改变末位
else部分是第偶个数，改变最低位的1左边的数偶数部分，改变最后一个1左边的数，与奇数部分同理，采取异或（^）获取下个数。
这里要做的就是找到最低位的1，左移1位。如何只获取最低位1是本题难点
这里可以采用 lowbit ( int ) 函数来获取
lowbit(int)在二进制中是获取最低位1的函数
其函数部分是 return x & (-x) ;
主要原理是计算机中负数是采用补码储存，计算机二进制存储中 x 与 - x 只有最低位1相同。ps：原码、补码、反码的关系
加注释代码如下……
// 头文件
#include <stdio.h>// 输出a的n位二进制数
void show(int a,int n)
{int i;int msk = 1;// msk左移n-1位，即 msk = pow(2,n-1);for(i=0; i<n-1; i++) msk = msk << 1;for(i=0; i<n; i++){printf((a & msk)? "1" : "0");msk = msk >> 1; // 右移 }printf("\n");
} // n位格雷码型二进制
void f(int n)
{int i;int num = 1;// num左移n位，即 num = pow(2,n);for(i=0; i<n; i++) num = num<<1;int a = 0;for(i=0; i<num; i++){show(a,n);// i 奇偶分别考虑 if(i%2==0){a = a ^ 1;}// 奇数 else{a = a ^ ((a&(-a))<<1); //填空}// 偶数}
}int main()
{f(4);return 0;
}
试题D： 调手表
题目：
小明买了块高端大气上档次的电子手表，他正准备调时间呢。
在M78星云，时间的计量单位和地球上不同， M78星云的一个小时有 n 分钟。
大家都知道，手表只有一个按钮可以把当前的数加一，在调分钟的时候，如果当前显示的数是 0 ，那么按一下按钮就会变成 1 ，再按一次变成 2 。如果当前的数是 n - 1，按一次后会变成 0 。
作为强迫症患者，小明一定要把手表的时间调对。如果手表上的时间比当前时间多 1 ，则要按 n - 1 次加一按钮才能调回正确时间。
小明想，如果手表可以再添加一个按钮，表示把当前的数加k该多好啊……
他想知道，如果有了这个 +k 按钮，按照最优策略按键，从任意一个分钟数调到另外任意一个分钟数最多要按多少次。
注意，按 +k 按钮时，如果加 k 后数字超过 n - 1 ，则会对 n 取模。
比如，n=10， k=6 的时候，假设当前时间是 0，连按 2 次 +k 按钮，则调为2。「输入格式」
一行两个整数 n，k，意义如题。「输出格式」
一行一个整数
表示：按照最优策略按键，从一个时间调到另一个时间最多要按多少次。「样例输入」
5 3「样例输出」
2「样例解释」
如果时间正确则按 0 次，否则要按的次数和操作系列之间的关系如下：
1：+1
2：+1，+1
3：+3
4：+3，+1「数据范围」
对于 30% 的数据 0<k<n<=5
对于 60% 的数据0<k<n<=100
对于 100% 的数据0<k<n <= 100000资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机）< 256M
CPU消耗 < 1000ms请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
注意：
main 函数需要返回 0；
只使用 ANSI C/ANSI C++ 标准；
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
不能通过工程设置而省略常用头文件。提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。
题解：
本题使用广搜（BFS）解决
从每个时间节点共有两种走法，一是时间点 +1 ，二是时间点 +k
借助bool数组标记每个节点，对按钮走法进行广搜加注释代码如下……
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>using namespace std;const int MAXN=1e5;bool T[MAXN]; // 标记时间点是否走过int n,k;
int cnt; // 计数器 void BFS(); // 广搜 int main(){scanf("%d%d",&n,&k); // 输入 BFS(); // 调用广搜函数 printf("%d",cnt); // 输出答案 return 0;
} // 广搜
void BFS(){// 创建 <时间点,次数> 的队列用于广搜遍历 queue<pair<int,int> > q; int tmp;q.push(make_pair(0,0)); // 将初始值（0，0）压入队列 T[0]=1; // 时间点0被调用 //广搜遍历 while(!q.empty()){tmp=(q.front()).first; // 获取当前时间点 cnt=(q.front()).second; // 获取当前按键次数 q.pop(); // 抛出该节点 // 按钮 +1 if(!T[(tmp+1)%n]){T[(tmp+1)%n]=1;q.push(make_pair((tmp+1)%n,cnt+1)); // 压入队列 }// 判断是否被标记 // 按钮 +k if(!T[(tmp+k)%n]){T[(tmp+k)%n]=1;q.push(make_pair((tmp+k)%n,cnt+1));}}
}
试题E： 搭积木（待解决）
小明对搭积木非常感兴趣。他的积木都是同样大小的正立方体。
在搭积木时，小明选取 m 块积木作为地基，将他们在桌子上一字排开，中间不留空隙，并称其为第0层。
随后，小明可以在上面摆放第1层，第2层，……，最多摆放至第n层。摆放积木必须遵循三条规则：规则1：每块积木必须紧挨着放置在某一块积木的正上方，与其下一层的积木对齐；
规则2：同一层中的积木必须连续摆放，中间不能留有空隙；
规则3：小明不喜欢的位置不能放置积木。其中，小明不喜欢的位置都被标在了图纸上。图纸共有n行，从下至上的每一行分别对应积木的第1层至第n层。每一行都有m个字符，字符可能是‘.’或‘X’，其中‘X’表示这个位置是小明不喜欢的。
现在，小明想要知道，共有多少种放置积木的方案。他找到了参加蓝桥杯的你来帮他计算这个答案。
由于这个答案可能很大，你只需要回答这个答案对1000000007(十亿零七)取模后的结果。
注意：地基上什么都不放，也算作是方案之一种。【输入格式】
输入数据的第一行有两个正整数n和m，表示图纸的大小。
随后n行，每行有m个字符，用来描述图纸 。每个字符只可能是 ‘.’ 或 ‘X’ 。【输出格式】
输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的结果。【样例输入1】
2 3
…X
.X.【样例输出1】
4【样例说明1】
成功的摆放有（其中O表示放置积木）：
(1)
…X
.X.
(2)
…X
OX.
(3)
O.X
OX.
(4)
…X
.XO【样例输入2】
3 3
…X
.X.
…【样例输出2】
16【数据规模约定】
对于10%的数据，n=1，m<=30；
对于40%的数据，n<=10，m<=30；
对于100%的数据，n<=100，m<=100。资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机）< 256M
CPU消耗 < 1000ms请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
注意：
main 函数需要返回 0；
只使用 ANSI C/ANSI C++ 标准；
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
不能通过工程设置而省略常用头文件。提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。
题解：
该题使用前缀和解决，看过相关题解，不太明白，需要思考几天。
试题F： 矩阵求和（待解决）
经过重重笔试面试的考验，小明成功进入 Macrohard 公司工作。
今天小明的任务是填满这么一张表：
表有 n 行 n 列，行和列的编号都从1算起。
其中第 i 行第 j 个元素的值是 gcd(i, j)的平方，
gcd 表示最大公约数，以下是这个表的前四行的前四列：
1 1 1 1
1 4 1 4
1 1 9 1
1 4 1 16小明突然冒出一个奇怪的想法，他想知道这张表中所有元素的和。
由于表过于庞大，他希望借助计算机的力量。「输入格式」
一行一个正整数 n 意义见题。「输出格式」
一行一个数，表示所有元素的和。由于答案比较大，请输出模 (10^9 + 7)(即：十亿零七) 后的结果。「样例输入」
4「样例输出」
48「数据范围」
对于 30% 的数据，n <= 1000
存在 10% 的数据，n = 10^5
对于 60% 的数据，n <= 10^6
对于 100% 的数据，n <= 10^7资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机）< 256M
CPU消耗 < 1000ms请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
注意：
main 函数需要返回 0；
只使用 ANSI C/ANSI C++ 标准；
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
不能通过工程设置而省略常用头文件。提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。
题解：
本题可以利用gcd(a,b)，暴力，时间复杂度较高。正解是使用欧拉函数解决，具体如何解决暂时也不太明白。
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