爬楼梯——递推法（一维、多维、图）

一、一维递推

有一个n层的楼梯，每次只能上一层或上两层，那么爬到n层有多少种方法？
分析：类比于递归，现层到达为下面一层和下面两层的和。
故递推关系式为F(n)=F(n-1)+F(n-2)
即代码表达为

/**低空间**/
int a=1,b=2,c;
for(i--n)//n为次数
{c=a+b;a=b;b=c;
}/**常用**/
int f[3];//此题为3，3个变量
f[0]=1,f[1]=2;
for (i=2--n)f[i%3]=f[(i-1)%3]+f[(i-2)%3];
//利用的是数组滚动，DP方法中常见

二、多维递归

小明走路，仅能向上、向下、向前走，并且走过后不能再走，则小明走n步有多少种走法？
分析：从点考虑，小明在n处的选择取决于n-1处的选择，
从面考虑，设小明的第n次选择为小明所走路径数的层数，
按照数节点的计算，n+1的节点数为 n的选择路的子路总和
F(m)=f[0]+f[1]+f[2] //其中f函数为上一次的选择数
现在利用二维函数进行优化

/**二维数组模拟**/
int ans[100][3]={0};
ans[0][1]=ans[0][1]=ans[0][2]=1;
for (i=1--n)
{ans[i][0]=ans[i-1][0]+ans[i-1][2];//想在n向上 则n-1必不能向下 即ans[i-1][1]=0ans[i][1]=ans[i-1][1]+ans[i-1][2];//同上 ans[i-1][0]=0ans[i][2]=ans[i-1][0]+ans[i-1][1]+ans[i-1][2];
}
cout<<ans[i-1][0]+ans[i-1][1]+ans[i-1][2]<<endl;/**一维递推**/
int ans[3];//此题为3个变量
ans[0]=ans[1]=1;
for (i=2--n)ans[i%3]=2*ans[(i-1)%3]+ans[(i-2)%3];
//等式推导

三、图递推

在XY数轴中，到达（x，y）有多少种方法？
分析：利用爬楼梯思路
F(x,y)=F(x-1)(y)+F(x)(y-1)

int F[100][100]={0};
F[0][0]=1;
for ()
{for (){if (i未越界)F[i][j]+=F[i-1][j];if (j未越界)F[i][j]+=F[i][j-1];}
}

数学思路：从总路程中选择向前走的数量
F(x,y)=C(x-1,x+y-2)

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