掌握树状数组~彻底入门

作者：霜雪千年
出处：http://www.cnblogs.com/acgoto/
先贴一下树状数组的模板代码：

int lowbit(int i)
{return i & -i;//或者是return i-(i&(i-1));表示求数组下标二进制的非0最低位所表示的值
}
void update(int i,int val)//单点更新
{while(i<=n){C[i]+=val;i+=lowbit(i);//由叶子节点向上更新树状数组C，从左往右更新}
}
int sum(int i)//求区间[1,i]内所有元素的和
{int ret=0;while(i>0){ret+=C[i];//从右往左累加求和i-=lowbit(i);}return ret;
}

模板中最常见的三个函数：①取数组下标二进制非0最低位所表示的值；②单点更新；③区间查询。树状数组，顾名思义是树状的数组，我们首先引入二叉树，叶子节点代表A[1]~A[8]。

现在变形一下：

现在定义每一列的顶端节点C数组（其实C数组就是树状数组），如图：

C[i]代表子树的叶子节点的权值之和，如图可以知道：

C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

将C数组的下标i转化成二进制：

1=(001) C[1]=A[1];
2=(010) C[2]=A[1]+A[2];
3=(011) C[3]=A[3];
4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
5=(101) C[5]=A[5];
6=(110) C[6]=A[5]+A[6];
7=(111) C[7]=A[7];
8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

对照式子可以发现：C[i]=A[i-2^ k+1]+A[i-2^k+2]+…+A[i];（k为i的二进制中从最低位到最高位连续零的个数）

例如：当i=8时，k=3，可以自行代入验证。现在引入lowbit(x)：其实就是取出x的二进制的最低位1，换言之，lowbit(x)= 2^k，k的含义与上面相同。

int lowbit(int i)
{return i&(-i);
}
/*
-i 代表i的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
例如 : i=6（0110） 此时 k=1
-i=-6=(1001+1)=(1010)i&(-i)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
*/

接下来是区间查询（求和）：利用C[i]数组，求A数组中前i项和：举两个栗子：

①i=7，前7项和：sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]；

而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[6]=A[5]+A[6]；C[7]=A[7]；
可以得到：sum[7]=C[4]+C[6]+C[7]。

数组下标写成二进制：sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)]；

②i=5，前5项和：sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]；

而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[5]=A[5]；可以得到：sum[5]=C[4]+C[5]；

数组下标写成二进制：sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)]；

细细观察二进制，树状数组追其根本就是二进制的应用，结合代码演示一下代码过程：

int sum(int i)//求区间[1,i]所有元素的和
{int ret=0;while(i>0){ret+=C[i];//从右往左区间求和i-=lowbit(i);}return ret;
}

对于i=7进行演示：

                       7(111)  ans+=C[7]

lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]
lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break；

对于i=5进行演示：

                       5(101)  ans+=C[5]

lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break；

最后是单点更新：当我们修改A数组中某个值时，应当如何更新C数组呢？回想一下，区间查询的过程，再看一下上文中列出的过程。这里声明一下：单点更新实际上是不修改A数组的，而是修改树状数组C，向上更新区间长度为lowbit(i)所代表的节点的值。

void update(int i,int val)//更新单节点的值
{while(i<=n){C[i]+=val;i+=lowbit(i);//由叶子节点向上更新a数组}
}
//可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
//由叶子结点向上更新C[]数组

如图：当在A[1]加上值val，即更新A[1]时，需要向上更新C[1],C[2],C[4],C[8]，这个时候只需将这4个节点每个节点的值加上val即可。这里为了方便大家理解，人为添加了个A数组表示每个叶子节点的值，事实上A数组并不用修改，实际运用中也可不设置A数组，单点更新只需修改树状数组C即可。下标写成二进制：C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]；
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=val；
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=val；
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=val；

最后说一下树状数组的优缺点：①特点：代码短小，实现简单；容易扩展到高纬度的数据；

②缺点：只能用于求和，不能求最大/小值；不能动态插入；数据多时，空间压力大。

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