非齐次状态方程的解——控制工程的受控运动

当线性定常系统
{x˙=Ax+Buy=Cx+Du,x(t0)=x(0)\left\{\begin{matrix} \dot x=Ax+Bu\\ y=Cx+Du \end{matrix}\right. ,x(t_0)=x(0){x˙=Ax+Buy=Cx+Du,x(t0)=x(0)的外加输入函数u(t)≠0u(t)\neq 0u(t)̸=0时，u(t)u(t)u(t)作用下的运动称为可控系统的受控运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程，即
x˙=Ax+Bu,x(t)∣t=t0=x(t0),B≠0\dot x=Ax+Bu,x(t)|_{t=t_0}=x(t_0),B\neq 0x˙=Ax+Bu,x(t)∣t=t0=x(t0),B̸=0
式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量，A为n*n常系数矩阵，B为n*r常系数矩阵。
求解非齐次状态方程的方法和求解齐次状态方程的方法一致，即 直接法和 拉氏变换法。

直接法

直接法就是按照常数方程求解微分方程的办法来。
改写方程形式为：
x˙−Ax=Bu\dot x-Ax=Bux˙−Ax=Bu
上式两边同时左乘e−Ate^{-At}e−At得：
e−At[x˙−Ax]=e−AtBue^{-At}[\dot x-Ax]=e^{-At}Bue−At[x˙−Ax]=e−AtBu

ddt[e−Atx]=e−AtBu\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t} [e^{-At}x]=e^{-At}Budtd[e−Atx]=e−AtBu
对两边的式子进行积分，
∫t0tddτ[e−Aτx(τ)]dτ=∫t0te−AτBu(τ)dτ\int_{t_0}^{t}\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}\tau} [e^{-A\tau}x(\tau)] \mathrm{d}\tau=\int_{t_0}^{t} e^{-A\tau}Bu(\tau) \mathrm{d}\tau∫t0tdτd[e−Aτx(τ)]dτ=∫t0te−AτBu(τ)dτ
可得：e−Atx(t)−e−At0x(t0)=∫t0te−AτBu(τ)dτe^{-At}x(t)-e^{-At_0}x(t_0)=\int_{t_0}^{t} e^{-A\tau}Bu(\tau) \mathrm{d}\taue−Atx(t)−e−At0x(t0)=∫t0te−AτBu(τ)dτ
所以：x(t)=eA(t−t0)x(t0)+∫t0teA(t−τ)Bu(τ)dτx(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)}Bu(\tau) \mathrm{d}\taux(t)=eA(t−t0)x(t0)+∫t0teA(t−τ)Bu(τ)dτ
用状态转移矩阵表示为：
x(t)=ϕ(t,t0)x(t0)+∫t0tϕ(t,τ)Bu(τ)dτx(t)=\phi(t,t_0) x(t_0)+\int_{t_0}^{t} \phi(t,\tau)Bu(\tau) \mathrm{d}\taux(t)=ϕ(t,t0)x(t0)+∫t0tϕ(t,τ)Bu(τ)dτ
等式右边是两项相加，前一项是初始状态引起的响应，即零输入响应。后一项是输入引起的响应,零状态响应。

上式表明非齐次状态方程的解包含两部分：
①由初始状态引起的状态转移分量，这是自由运动结果；
②由控制作用引起的受控分量，它是受控运动（或称强迫运动）的结果。

拉氏变换法

对齐次状态方程组两边进行拉氏变换得：
sX(s)−X(0)=AX(s)+BU(s)sX(s)-X(0)=AX(s)+BU(s)sX(s)−X(0)=AX(s)+BU(s)
⇒(sI−A)X(s)=X(0)+BU(s)\Rightarrow (sI-A)X(s)=X(0)+BU(s)⇒(sI−A)X(s)=X(0)+BU(s)
⇒X(s)=(sI−A)−1X(0)+(sI−A)−1BU(s)\Rightarrow X(s)=(sI-A)^{-1}X(0)+(sI-A)^{-1}BU(s)⇒X(s)=(sI−A)−1X(0)+(sI−A)−1BU(s)
再进行拉式反变换得：
x(t)=L−1[(sI−A)−1]x(0)+L−1[(sI−A)−1BU(s)]x(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0)+L^{-1}[(sI-A)^{-1}BU(s)]x(t)=L−1[(sI−A)−1]x(0)+L−1[(sI−A)−1BU(s)]
由方程解的唯一性(直接法和拉式变换法的结果是一致的)可得到：
eA(t−t0)=L−1[(sI−A)−1]e^{A(t-t_0)}=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]eA(t−t0)=L−1[(sI−A)−1]
∫t0tϕ(t,τ)Bu(τ)dτ=L−1[(sI−A)−1BU(s)]\int_{t_0}^{t} \phi(t,\tau)Bu(\tau) \mathrm{d}\tau=L^{-1}[(sI-A)^{-1}BU(s)]∫t0tϕ(t,τ)Bu(τ)dτ=L−1[(sI−A)−1BU(s)]
若y(t)=Cx(t)+Du(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)，并且初始时刻为t0t_0t0
则输出为：
y(t)=CeA(t−t0)x(t0)+C∫t0tϕ(t,τ)Bu(τ)dτ+Du(t)y(t)=Ce^{A(t-t_0)}x(t_0)+C\int_{t_0}^{t} \phi(t,\tau)Bu(\tau) \mathrm{d}\tau+Du(t)y(t)=CeA(t−t0)x(t0)+C∫t0tϕ(t,τ)Bu(τ)dτ+Du(t)

例题1

这里可以有多种方法求矩阵指数函数，包括定义法根据级数求以及拉式变换法等方法，见 https://blog.csdn.net/weijifen000/article/details/83099396#_58 。

例题2

对于典型输入信号，如单位脉冲、单位阶跃、单位速度等信号作用下，系统的响应（即非齐次状态方程的解）有以下表达式：

单位冲激信号u(t)=δ(t)u(t)=\delta (t)u(t)=δ(t)：
x(t)=eAtx(0)+eAtBx(t)=e^{At}x(0)+e^{At}Bx(t)=eAtx(0)+eAtB
单位阶跃信号u(t)=1(t)u(t)=1(t)u(t)=1(t)：
x(t)=eAtx(0)+eAtBx(t)=e^{At}x(0)+e^{At}Bx(t)=eAtx(0)+eAtB
速度信号u(t)=tu(t)=tu(t)=t：
x(t)=eAtx(0)+[A−2(eAt−I)−A−1t]Bx(t)=e^{At}x(0)+[A^{-2}(e^{At}-I)-A^{-1}t]Bx(t)=eAtx(0)+[A−2(eAt−I)−A−1t]B

线性时变系统的运动分析

即系统随着时间变化。
线性时变系统方程为：
{x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\left\{\begin{matrix} \dot x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\ y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t) \end{matrix}\right.{x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

如果A(t),B(t),C(t)A(t),B(t),C(t)A(t),B(t),C(t)的所有元素在时间区间[t0,+∞][t_0,+\infty][t0,+∞]上均是连续函数，则对于任意初始状态x(t0)x(t_0)x(t0)和输入向量u(t)u(t)u(t)，系统状态方程的解存在并且唯一。

线性时变齐次状态方程的解

线性时变齐次状态方程x˙(t)=A(t)x(t)\dot x(t)=A(t)x(t)x˙(t)=A(t)x(t)
其解为：x(t)=ϕ(t,t0)x(t0)x(t)=\phi(t,t_0)x(t_0)x(t)=ϕ(t,t0)x(t0)
ϕ(t,t0)\phi(t,t_0)ϕ(t,t0)为状态转移矩阵，具有以下性质：

满足其状态方程本身，即将线性时变齐次状态方程的解带入得到：
ddtϕ(t,t0)=A(t)ϕ(t,t0)\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t} \phi(t,t_0)=A(t)\phi(t,t_0)dtdϕ(t,t0)=A(t)ϕ(t,t0)
且初始条件ϕ(t0,t0)=I\phi(t_0,t_0)=Iϕ(t0,t0)=I
可逆性：
ϕ−1(t,t0)=ϕ(t0,t)\phi ^{-1}(t,t_0)=\phi (t_0,t)ϕ−1(t,t0)=ϕ(t0,t)
传递性：
ϕ(t2,t1)ϕ(t1,t0)=ϕ(t2,t0)\phi (t_2,t_1)\phi (t_1,t_0)=\phi (t_2,t_0)ϕ(t2,t1)ϕ(t1,t0)=ϕ(t2,t0)
ϕ(t,τ)\phi(t,\tau)ϕ(t,τ)对第二变元τ\tauτ的偏导数为
ddtϕ(t,τ)=−ϕ(t,τ)A(τ)\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t} \phi(t,\tau)=-\phi(t,\tau)A(\tau)dtdϕ(t,τ)=−ϕ(t,τ)A(τ)

状态转移矩阵的计算-级数近似法

ϕ(t,t0)=e∫t0tA(τ)dτ=I+∫t0tA(τ0)dτ0+∫t0tA(τ0)∫t0τ0A(τ1)dτ1dτ0+∫t0tA(τ0)∫t0τ0A(τ1)∫t2τ0A(τ2)dτ2dτ1dτ0+⋯\phi(t,t_0)=e^{\int _{t_0}^{t}A(\tau){\mathrm{d}\tau} }\\ =I+\int _{t_0}^{t}A(\tau_0){\mathrm{d}\tau_0}+ \int _{t_0}^{t}A(\tau_0)\int _{t_0}^{\tau_0}A(\tau_1){\mathrm{d}\tau_1}{\mathrm{d}\tau_0}\\+\int _{t_0}^{t}A(\tau_0)\int _{t_0}^{\tau_0}A(\tau_1)\int _{t_2}^{\tau_0}A(\tau_2){\mathrm{d}\tau_2}{\mathrm{d}\tau_1}{\mathrm{d}\tau_0}+\cdotsϕ(t,t0)=e∫t0tA(τ)dτ=I+∫t0tA(τ0)dτ0+∫t0tA(τ0)∫t0τ0A(τ1)dτ1dτ0+∫t0tA(τ0)∫t0τ0A(τ1)∫t2τ0A(τ2)dτ2dτ1dτ0+⋯

例题：

当满足可交换条件时，时变系统状态转移矩阵的解可以表示为：
ϕ(t,t0)=e∫t0tA(τ)dτ\phi(t,t_0)=e^{\int_{t_0}^t A(\tau) {\mathrm{d}\tau}} ϕ(t,t0)=e∫t0tA(τ)dτ

例题

线性时变齐次状态方程的解

对于线性时变非齐次状态方程：
x˙=A(t)x+B(t)u,x(t)∣t=0=x(t0)\dot x=A(t)x+B(t)u,x(t)|_{t=0}=x(t_0)x˙=A(t)x+B(t)u,x(t)∣t=0=x(t0)
其解为:
x(t)=ϕ(t,t0)x(t0)+∫t0tϕ(t,τ)B(τ)u(τ)dτx(t)=\phi(t,t_0)x(t_0)+\int_{t_0}^t \phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau){\mathrm{d}}\taux(t)=ϕ(t,t0)x(t0)+∫t0tϕ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ
或：
x(t)=ϕ(t,t0)[x(t0)+∫t0tϕ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ]x(t)=\phi(t,t_0)[x(t_0)+\int_{t_0}^t \phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau){\mathrm{d}}\tau]x(t)=ϕ(t,t0)[x(t0)+∫t0tϕ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ]
系统输出为：
y(t)=C(t)ϕ(t,t0)x(t0)+C(t)∫t0tϕ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ+D(t)u(t)y(t)=C(t)\phi(t,t_0)x(t_0)+C(t)\int_{t_0}^t \phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau){\mathrm{d}}\tau+D(t)u(t)y(t)=C(t)ϕ(t,t0)x(t0)+C(t)∫t0tϕ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ+D(t)u(t)
或：
y(t)=C(t)ϕ(t,t0)[x(t0)+∫t0tϕ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ]+D(t)u(t)y(t)=C(t)\phi(t,t_0)[x(t_0)+\int_{t_0}^t \phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau){\mathrm{d}}\tau]+D(t)u(t)y(t)=C(t)ϕ(t,t0)[x(t0)+∫t0tϕ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ]+D(t)u(t)

例题

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现代控制工程（三）状态方程的解

文章目录

非齐次状态方程的解——控制工程的受控运动

直接法

拉氏变换法

例题1

例题2

线性时变系统的运动分析

线性时变齐次状态方程的解

状态转移矩阵的计算-级数近似法

例题：

例题

线性时变齐次状态方程的解

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