原标题：关于偏度与峰度的一些探索

毫无疑问，数据的集中趋势和离散趋势是数据分布的最主要两个特征。因此，我们常常会借助算术平均数，中位数，方差，四分位数等指标进行描述性的统计分析，就正如我们经常讨论的正态分布，两个参数均值和标准差正是对应了集中趋势指标和离散趋势指标。

但实际上，数据的分布形态各异，很可能偏离于我们原有的假设分布，例如可能数据分布并不对称，例如数据分布较为“陡峭”，而为了研究这些特征以及与正态分布的偏离程度，我们还需要其他的判定指标，偏度和峰度。

一些预备知识

对于随机变量X，假若

存在，则称它为随机变量X的k阶原点矩；若

存在，则称它为随机变量X的k阶中心矩；一般，我们使用矩来描述随机变量的特征，例如随机变量的数学期望就是一阶原点矩

，方差则是二阶中心矩

。

1. 偏度

偏度，Skewness，是研究数据分布对称的统计量。通过对偏度系数的测量，我们能够判定数据分布的不对称程度以及方向。

具体来说，对于随机变量X，我们定义偏度为其的三阶标准中心矩:

而对于样本的偏度，我们一般简记为SK，我们可以基于矩估计，得到有：

但考虑到，上式的分子分母都不是无偏估计量，因此也有计算公式为：

值得注意的是，上述两种样本偏度的最后计算结果都属于有偏估计。

偏度的衡量是相对于正态分布来说，正态分布的偏度为0。因此我们说，若数据分布是对称的，偏度为0.若偏度>0,则可认为分布为右偏，即分布有一条长尾在右；若偏度<0，则可认为分布为左偏，即分布有一条长尾在左，同时偏度的绝对值越大，说明分布的偏移程度越严重。

另外，偏度>0，分布右偏，长尾在右，高峰在左，这似乎与一般认知不太一致。但其实我们可以发现偏度实际上是三阶标准中心矩，而一个数据距离“中心”越远，对中心矩的计算影响越大。而当数据长尾在右，即有更多正偏的离群值，因此偏度>0;

2.峰度

峰度，Kurtosis，是研究数据分布陡峭或平滑的统计量，通过对峰度系数的测量，我们能够判定数据分布相对于正态分布而言是更陡峭还是平缓。

具体来说，对于随机变量X，我们定峰度为其的四阶标准中心矩:

而对于样本的峰度，我们一般简记为K，可通过如下公式计算样本的峰度系数：

同样考虑到，上式的分子分母都不是无偏估计量，因此也有计算公式为：

特别需要注意的是，峰度其实也是一个相对于正态分布的对比量，正态分布的峰度系数为0，而均匀分布的峰度为-1.2，指数分布的峰度为6。

当峰度系数>0，从形态上看，它相比于正态分布要更陡峭或尾部更厚；而峰度系数<0,从形态山看，则它相比于正态分布更平缓或尾部更薄。在实际环境当中，如果一个分部是厚尾的，这个分布往往比正态分布的尾部具有更大的“质量”，即含又更多的极端值。

从下图可以看到，拉帕拉斯，双曲正割，逻辑斯底分布的峰度系数均大于0，且他们的峰更陡峭，同时尾部也更厚。而像升余弦分布，半圆形分布，以及均匀分布则是峰度系数<0,同时也可以看到他们更加的平缓。

3.峰度的影响实验

为了进一步验证分布中各处的值如何影响峰度变化，浩彬老撕构造了如下实验：

(1)新增数据加在尾部：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(9,3^2),1000个样本。新增比例为原有的0.001，峰度从0增加为0.073；

(2)新增数据加在尾部：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(9,3^2),20000个样本。新增比例为原有的0.02，峰度从0增加为0.996；

(3)新增数据加在峰部(高峰更高)：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(0,1),1000个样本。新增比例为原有的0.001，峰度从0增加为0.004；

(4)新增数据加在峰部：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(0,1),20000个样本。新增比例为原有的0.02，峰度从0增加为0.049；

(5)新增数据加在山腰中部位置：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(4.5,1),1000个样本。新增比例为原有的0.001，峰度从0降低为-0.003；

(6)新增数据加在山腰中部位置：原有总体分布：N(0,3^2),1000000样本+新增数据N(4.5,1),20000个样本。新增比例为原有的0.02，峰度从0降低为-0.084；

从上述实验可知，尾部或离群点对峰度影响为正向，且影响程度最大。而高概率区对峰度影响也为正向，但是比较少；而山腰位置，中等概率区域则影响为负向。

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作者简介：浩彬老撕

好玩的IBM数据工程师，

立志做数据科学界的段子手，

致力知识分享，每月至少一次送书活动返回搜狐，查看更多

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