常见函数泰勒公式展开(清晰)
ex=∑n=0∞1n!xn=1+x+12!x2+⋯∈(−∞,+∞)sinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−13!x3+15!x5+⋯,x∈(−∞,+∞)cosx=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n=1−12!x2+14!x4+⋯,x∈(−∞,+∞)ln(1+x)=∑n=0∞(−1)nn+1xn+1=x−12x2+13x3+⋯,x∈(−1,1]11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+x3+⋯,x∈(−1,1)11+x=∑n=0∞(−1)nxn=1−x+x2−x3+⋯,x∈(−1,1)(1+x)α=1+∑n=1∞α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯,x∈(−1,1)arctanx=∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1=x−13x3+15x5+⋯+x∈[−1,1]arcsinx=∑n=0∞(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1=x+16x3+340x5+5112x7+351152x9+⋯+,x∈(−1,1)tanx=∑n=1∞B2n(−4)n(1−4n)(2n)!x2n−1=x+13x3+215x5+17315x7+622835x9+1382155925x11+218446081075x13+929569638512875x15+⋯,x∈(−π2,π2)\begin{aligned} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}=1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots \in(-\infty,+\infty) \\ \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{1}{3 !} x^{3}+\frac{1}{5 !} x^{5}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty) \\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}=1-\frac{1}{2 !} x^{2}+\frac{1}{4 !} x^{4}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty) \\ \ln (1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}+\cdots, x \in(-1,1] \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots, x \in(-1,1)\\ (1+x)^{\alpha}&=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \arctan x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}=x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5} x^{5}+\cdots+ x \in[-1,1] \\ \arcsin x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)} x^{2n+1}=x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40} x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152} x^{9}+\cdots+, x \in(-1,1)\\ \tan x&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2 n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2 n) !} x^{2 n-1}=x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15} x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+\frac{62}{2835} x^{9}+\frac{1382}{155925} x^{11}+\frac{21844}{6081075} x^{13}+\frac{929569}{638512875} x^{15}+\cdots,x\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \end{aligned}exsinxcosxln(1+x)1−x11+x1(1+x)αarctanxarcsinxtanx=n=0∑∞n!1xn=1+x+2!1x2+⋯∈(−∞,+∞)=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1=x−3!1x3+5!1x5+⋯,x∈(−∞,+∞)=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n=1−2!1x2+4!1x4+⋯,x∈(−∞,+∞)=n=0∑∞n+1(−1)nxn+1=x−21x2+31x3+⋯,x∈(−1,1]=n=0∑∞xn=1+x+x2+x3+⋯,x∈(−1,1)=n=0∑∞(−1)nxn=1−x+x2−x3+⋯,x∈(−1,1)=1+n=1∑∞n!α(α−1)⋯(α−n+1)xn=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯,x∈(−1,1)=n=0∑∞2n+1(−1)nx2n+1=x−31x3+51x5+⋯+x∈[−1,1]=n=0∑∞4n(n!)2(2n+1)(2n)!x2n+1=x+61x3+403x5+1125x7+115235x9+⋯+,x∈(−1,1)=n=1∑∞(2n)!B2n(−4)n(1−4n)x2n−1=x+31x3+152x5+31517x7+283562x9+1559251382x11+608107521844x13+638512875929569x15+⋯,x∈(−2π,2π)
相关链接
微积分常用导数总结
常用等价无穷小的整理
其中 {Bn}\{B_n\}{Bn} 为伯努利数,tanx\tan xtanx 的展开方法可参考这篇文章
知乎:tan(x)的泰勒展开有通项公式吗?
2021年2月17日00:12:40
2021年5月9日11:34:16
增加了 tanx\tan x%tanx 的泰勒展开
常见函数泰勒公式展开(清晰)相关推荐
- 公式法求圆周率的近似值——泰勒公式展开 (内含double与float的比较)
泰勒公式是数学中求近似值的常用方法,利用泰勒公式展开,可以使许多问题简化,当然也需要多次循环,类似这样的情况,利用编程循环结构就是再好不过的选择了. 题目:计算π=4*(1-1/3+1/5-1/7+· ...
- 请告诉我一些常见的泰勒公式展开
常见的泰勒公式展开有:(1) 二项式展开:(x + y)^n = ΣnCkx^(n-k)y^k:(2) 三角形展开:(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2a ...
- 梯度下降的一阶泰勒公式展开证明
在确定损失函数后,通过梯度下降优化算法来估计模型的未知参数: 为何 根据一阶泰勒展开,对于一个可微函数,对于任意的x,有: ,其中是梯度,如果一维情况就是一阶导数. 而其中, 是两向量之间的夹角. 当 ...
- 微积分 | 常用等价无穷小的整理 | 清晰
当 x→0x\to 0x→0 时 sinx∼xtanx∼xln(1+x)∼xex−1∼xarcsinx∼xarctanx∼xloga(1+x)∼xlnxax−1∼lnax1−cosx ...
- 2x麦克劳林公式_极限求解-泰勒公式理解
0 序言 泰勒公式,本质上是一种函数的近似,强大之处就在于可以将不同类型的函数,统一用多项式求和的形式进行替换,从而变成多项式的运算. 本篇主要是标出常见的几个泰勒展开式.高阶无穷小的计算规则.泰勒公 ...
- 泰勒公式的介绍、应用及常见题型
目录 一.简介 1.泰勒公式及其证明过程 2.两种类型的余项 3.麦克劳林公式 二.泰勒公式常见题型 1.用泰勒公式展开函数 2.用泰勒公式求极限 3.用泰勒公式讨论无穷小的比较 4.用泰勒公式证明等 ...
- 泰勒公式矩阵形式_泰勒公式,雅可比矩阵,海塞矩阵,牛顿法
泰勒公式,雅可比矩阵,海塞矩阵,牛顿法 泰勒公式,雅可比矩阵,海塞矩阵,牛顿法 泰勒公式是一个在函数上取某点的近似值,如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些 ...
- 02_控制系统的数学模型拉普拉斯变换概念及常用定理(有简单证明过程)
控制系统的数学模型 基本概念 数学模型: 描述系统输入.输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式 建模方法: 解析法(机理分析法) 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程 实验法(系统辨识法) 给 ...
- cosx的麦克劳林级数是多少_cosx泰勒展开
泰勒公式在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式....的项用乘法分配律写在一起,剩余的项写在一起,刚好 是 cosx,sinx 的展开式...... 任取 在闭区间 上 阶连续 ...
- XGBoost原理与实例分析
这几天一直在研究XGboost的基本原理与代码调参,其原理是在GBDT的基础上进行优化,但也有很多的不同之处:所以自己准备更新两篇博客分为XGBoost原理与实例和XGBoost实战与调参优化来巩固这 ...
最新文章
- Android6.0 wakelock深入分析
- WSS连接服务器端报错
- epson彩色打印机加墨水_爱普生打印机墨盒如何加墨?
- 面试系列第1篇:常见面试题和面试套路有哪些?
- NVIDIA DLI 深度学习培训 | 北京 上海两站新年火热来袭
- MySQL中事务控制语句_Mysql事务控制语言
- mysql怎么直接显示对象信息_对象保存进MySQL数据库,从MySQL中读取出对象信息的源码...
- 如何创建android布局,如何创建像Android CallLog布局的布局
- 你们觉得生一个孩子好,还是生两个孩子好?
- 【PyCharm】Pycharm使用技巧
- 猫/路由器/网关/交换机的作用与区别
- 基于QT+ffmpeg+SDL2的流媒体播放器
- 修改 hosts 文件
- Python程序写诗【训练1分钟】古诗生成
- 2016互联网金融安全峰会报名
- Python从入门到实践第9章课后作业
- Python 量化金融库最全汇总!
- matlab中怎么画函数曲线,用matlab 怎么画函数曲线图
- Java 中的三角函数
- android什么意思?Android岗面试12家大厂成功跳槽,Android校招面试指南