泰勒公式的介绍、应用及常见题型
目录
一、简介
1.泰勒公式及其证明过程
2.两种类型的余项
3.麦克劳林公式
二、泰勒公式常见题型
1.用泰勒公式展开函数
2.用泰勒公式求极限
3.用泰勒公式讨论无穷小的比较
4.用泰勒公式证明等式和不等式
一、简介
1.泰勒公式及其证明过程
- 泰勒中值定理1:若f(x)在含有的某个邻域内具有n阶倒数,则对于该邻域内任一点x,(x趋近于)则有:
其中为余项,根据需要选择使用佩亚诺型还是拉格朗日型,具体见后文(两种类型的余项)
- 证明:
一次表达式
令
当;
, …… 先求导再代入
则 , …… 即证。
2.两种类型的余项
1.佩亚诺型余项取前一项的自变量
若你所写的泰勒公式只有三项,则,取四项则,其他同理
2.拉格朗日型余项
泰勒中值定理2: 若f(x)在含有的某个邻域内具有n+1阶倒数,则对于该邻域内任一点x,(x趋近于),则有,此式子即为拉格朗日型余项
时 即 为拉格朗日中值定理
3.麦克劳林公式
当泰勒公式中 时即为麦克劳林公式:
注意:麦克劳林公式的使用条件:因为x趋近于,而此时,所以x也趋近于零
二、泰勒公式常见题型(的选取很关键)
1.用泰勒公式展开函数
- 方法:对原函数多求几次倒,找到规律,写出有规律的式子
- 例子:求函数f(x)=lnx按(x-2)展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式
解:令 , 对f(x)多次求导,又对不断求导找出规律
……
,将x=2带入式子,然后写出泰勒展开式
2.用泰勒公式求极限
- 方法:1.先观察式子中有无可替换的等价无穷小
2.再观察分子分母中哪些式子需要用泰勒展开
3.展开时泰勒公式中与原式中本身次方最大的的关系为n<=m
4.注意可以转换的式子如,再对用泰勒公式展开
5.展开时注意是否可以自变量整体代换如 ,我们知道常用的的泰勒展开式,可以直接用1/x替换x,前提是用来替换的式子必须趋近于零
- 例题1:求极限 (提示:对cosx泰勒展开,对,由常见泰勒展开,用 整体代换展开式中的x,两项展开式中x最大次方应该 <=4,最后答案为)
- 例题2:求极限 (提示:使用等价无穷小的替换,再对用泰勒展开,最后答 案为2)
- 例题3:求极限
解:由泰勒公式对转换后 的式子提出一个e,得到,此时对用麦克劳林展 开,将 整体看做x代入的麦克劳林公式,后续步骤比较简 单,这里不给出解答了,最后答案等于
(为什么上一步展开到时不能用整体代入而要先提一个e出来呢?,因为x趋近于无穷,原来的次方 是趋近于1的,而不符合麦克劳林的展开条件x趋近于0,当提出e时,后式就可以直接整体代入,用麦克劳林公式展开)
3.用泰勒公式讨论无穷小的比较
- 方法:统一单位,赋值
- 例题:设时,是比高阶的无穷小,求a和b的值(提示:由题,对泰勒展开至式子中出现,再对分母合并同类项,整体等于0,即可求出a、b)
4.用泰勒公式证明等式和不等式(重难点)
- 方法:注意的选取
1.若只需要证明的结果中不含一阶导数时,可考虑选取题目已知的一阶导数的点或隐含为一阶导数已知的点
2.积分不等式还可考虑选取,因为积分后可把含消去
- 例题1:试证明:若f(x)在[a,b]上存在二阶导数,且,则存在使(想办法用给出的条件构造该函数,选取题目已知的一阶导数的点a,b为分别为)
证明:将分别在点a,点b泰勒展开得
令,则以上两式相减得
,即证
- 例题2:设f(x)在[0,1]上二阶可倒,f(0)=f(1)=0,f(x)在[0,1]上的最小值等于-1,试证明至少存在一点使
证明:由题设存在,使f(a)=-1,,对f(x)在a点泰勒展开(即取=a),有
将x=0,x=1代入上式有
若0<a<1/2,由上式得, 若1/2<=a<1,由下式得,故结论成立
ps:1.想要熟练地掌握泰勒公式并对其加以使用需要琢磨清楚泰勒公式,自己找更多的题练习
2.上述例题摘自《吉米多维奇高等数学练习题》
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