我一直认为图论+概率统计将会是图像处理的最终趋势，但我目前水平有限，稍微深入一点就很难理解，看各种论文也无法全面理解，偶然翻到这本书，觉得讲的非常好，特此进行分析，希望能尽快啃掉这本书。

我看书就按照书上给的顺序阅读吧，第一章主要讲的各种基本图像处理方法，像是个小前言，没啥值得看的，直接进入第二章——数学准备第一节：平面微分几何。

1 平面曲线的微分性质

从一维实数域到二维实数域的映射： $C(p):[a,b]∈R→R2C(p):[a,b]\in R \rightarrow R^2$ 定义了一条平面曲线， $p$ 为曲线的参数，即对任一 $p∈[a,b]p\in[a,b]$ 确定了曲线上的一个点 $C (p) = (x (p), y (p))$ 。

这个其实也就是图像中二维曲线的定义， $C (p)$ 也就是个向量，因此这个曲线对 $p$ 的导数也是个向量， $C_p=(x_p,y_p)$ ，其方向为曲线的切线方向，模长就是 $C_p|=(x_p^2+y_p^2)^{1/2}$ 。导数在这里也可以理解为曲线上的位置随着 $p$ 的增加的变化速率，因此 $C_p$ 也就是速度矢量。

现在计算曲线从起点 $p_0=a$ 到 $p$ 点所经过的距离——弧长： $s(p)=∫ap∣Cp(τ)∣dτs(p)=\int_{a}^{p}|C_p(\tau)|d\tau$ ，两边求导有 $dsdp=∣Cp∣\dfrac{ds}{dp}=|C_p|$ 。当我们利用弧长 $s$ 作为曲线的参数时，则有 $C_s|=1$ ，此处的 $C_s$ 并不是直接把 $C_p$ 中的 $p$ 换成 $s$ ， $Cs=(xp,yp)dpds=(xp,yp)(xp2+yp2)1/2C_s=(x_p,y_p)\dfrac{dp}{ds}=\dfrac{(x_p,y_p)}{(x_p^2+y_p^2)^{1/2}}$ ，这样 $C_s|=1$ 就很显然了，并 $T:=C_s$ 。进而有 $C_s,C_s>=1$ ，其导数 $C_s,C_{ss}>=0$ ，即向量 $C_{ss}$ 与 $C_s$ 正交。

定义与 $T$ 构成右手坐标系的单位矢量为法矢量 $N$ ，显然 $C_ss$ 与 $N$ 共线，因此可以表达为 $Css=κNC_{ss}=\kappa N$ ，其中比例系数 $κ\kappa$ 为曲率，这是一个数。当 $C_ss$ 与 $N$ 平行时， $κ\kappa$ 为整数，否则为反平行时， $κ\kappa$ 为负数。（注：由于 $N$ 的方向是由 $T$ 按右手坐标系确定的，而 $T$ 的方向是参数增大的方向，它决定与曲线起点的规定。可见对于一条开放的曲线而言，曲率取正号或负号取决于曲线起点的规定，但对于闭合曲线而言，起点和终点在同一位置，不过这时仍可规定曲线的绕行方向，按照惯例规定逆时针绕行方向，于是N将指向闭合曲线内部，因而当曲线向外凸出时，曲率为正，否则为负。）

结合之前得到的 $C_s$ ，计算 $C_{ss}$ ， $dCsdp=xpypp−xppyp(xp2+yp2)3/2(−yp,xp)\dfrac{dC_s}{dp}=\dfrac{x_py_{pp}-x_{pp}y_p}{(x_p^2+y_p^2)^{3/2}}(-y_p, x_p)$ ，即可得 $C_{ss}$ 。

$Css=dCsdpdpds=xpypp−xppyp(xp2+yp2)3/2⋅(−yp,xp)(xp2+yp2)1/2C_{ss}=\dfrac{dC_s}{dp}\dfrac{dp}{ds} = \dfrac{x_py_{pp}-x_{pp}y_p}{(x_p^2+y_p^2)^{3/2}}\cdot \dfrac{(-y_p, x_p)}{(x_p^2+y_p^2)^{1/2}}$

即可得曲率的表达形式：
$κ=xpypp−xppyp(xp2+yp2)3/2\kappa = \dfrac{x_py_{pp}-x_{pp}y_p}{(x_p^2+y_p^2)^{3/2}}$

书中证明弧长和曲率，针对于旋转和平移，都是不改变的，这里就不进行证明了。记住弧长和曲率是旋转平移不变量即可。

2 平面封闭曲线的水平集表示方法

对于平面封闭曲线，除了可以用上节的显示表示方法外，还有隐式表达法 $C=\{(x,y), u(x,y)=c\}$ ，也就是说曲线 $C$ 是满足 $u (x, y) = c$ 的点集，这称为函数 $u (x, y)$ 的一个水平集，这时称 $u (x, y)$ 是曲线 $C$ 的嵌入函数 embedding function， $c = 0$ 时，称为零水平集。

如果在水平集的某一点 $p$ 沿水平集的切线方向对 $u (x, y)$ 求方向导数，则由于 $u (x, y)$ 沿水平集保持不变，则有 $dudT=∂u∂xcosθ+∂u∂ysinθ=0\dfrac{du}{dT}=\dfrac{\partial u}{\partial x}cos\theta+\dfrac{\partial u}{\partial y}sin\theta=0$ ，其中 $θ\theta$ 表示切向量与x轴的夹角。可见， $u (x, y)$ 的梯度矢量 $▽u:=(∂u∂x,∂u∂y)\bigtriangledown u:=\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y}\right)$ 与水平集的切向量垂直，而且梯度矢量总是指向 $u$ 增大的方向，因此水平集的单位法矢量可以表达为： $N=±▽u∣▽u∣N=\pm\dfrac{\bigtriangledown u}{|\bigtriangledown u|}$ ，如果 $u (x, y)$ 在零水平集内部取正值，外部负值时，规定 $N=▽u∣▽u∣N=\dfrac{\bigtriangledown u}{|\bigtriangledown u|}$ ，反之， $N=−▽u∣▽u∣N=-\dfrac{\bigtriangledown u}{|\bigtriangledown u|}$ 。这样就使N总是指向封闭曲线的内部，从而与上面所述的闭合曲线法方向N的规定相一致。

在之后讨论曲线演化的水平集方法时，总是约定嵌入函数 $u (x, y)$ 的零水平集，并且规定在零水平集内部为负数，外部为正数，因此 $N=−▽u∣▽u∣N=-\dfrac{\bigtriangledown u}{|\bigtriangledown u|}$ ，结合之前工作，即可计算水平集的曲率：

$κ=uxxuy2−2uxuyuxy+uyyux2(ux2+uy2)3/2\kappa=\dfrac{u_{xx}u_y^2-2u_xu_yu_{xy}+u_{yy}u_x^2}{(u_x^2+u_y^2)^{3/2}}$

3 平面曲线的全局性质

对于封闭曲线而言，具有如下全局性质：

(1) 圆是具有常数曲率的唯一封闭曲线
(2) 每一封闭曲线至少有4个顶点。所谓顶点是指在这些点曲率的一阶导数为0，显然按照这个定义，圆上每一点都是顶点。
(3) 封闭曲线的全部曲率为 $2π2\pi$ 的整数倍，即 $∮κ(s)ds=2πk\oint\kappa(s)ds=2\pi k$ 。
(4) 周长不等式：记A和L分别为封闭曲线的面积和周长，那么有 $L⩾2πAL\geqslant 2\sqrt{\pi A}$

，仅当封闭曲线是圆时，上式等号成立。

总结

当前文档是为了学习水平集相关方法而学的一些基础定义与理论，后续会不断地根据需要的知识对当前基础知识进行扩展和补充。

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总结

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