NOIP中的数学--第6课排列与组合

【排列与组合的概念与计算公式】

1．排列（在乎顺序）
全排列：n个人全部来排队，队长为n。第一个位置可以选n个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n(n-1)(n-2)……321= n! (规定0!=1).
部分排列：n个人选m个来排队(m<=n)。第一个位置可以选n个，第二位置可以选n-1个，以此类推，第m个（最后一个）可以选(n-m+1)个，得：
P(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n! / (n-m)! (规定0!=1).
2．组合（不在乎顺序）
n个人m(m<=n)个出来，不排队，不在乎顺序C(n,m)。如果在乎排列那么就是P(n,m)，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的m个人，他们还要“全排”得到P(n,m)，所以得： C(n,m) * m! = P(n,m)
C(n,m)= P(n,m) / m!=n! / ( (n-m)! * m! )

3．其他排列与组合
（1）圆排列：n个人全部来围成一圈为Q(n,n)，其中已经排好的一圈，从不同位置断开，又变成不同的队列。所以：Q(n,n)n=P(n,n) >>> Q(n)=P(n,n)/n=(n-1)！
由此可知，部分圆排Q(n,r)＝P(n,r)/r=n!/(r(n-r)!).

（2）重复排列 (有限)：k种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2,…ak,设n=a1+a2+…+ak，这n个球的全排列数，为 n!/(a1!a2!…*ak!).

（3）重复组合 (无限)：n种不一样的球，每种球的个数是无限的,从中选k个出来，不用排列，是组合，为C(n+k-1,k).
证明：假设选出来的数（排好序）1<=b1<=b2<=b3…….<=bk<=n
这题的难点就是=号，现在去掉=号，所以有：
1<= b1 < b2+1 < b3+2 < b4+3 …….< bk+k-1 <=n+k-1
中间还是k个数！不过已经不是b系列，而是c系列
假设c[i]:=b[i]+i-1，所以
1<= c1 < c2 < c3 < c4 …….< ck <=n+k-1
所以问题就开始转换为无重复组合问题，即在n+k-1个元素中选中k个的组合数C(n+k-1,k)。

(4)不相邻排列：1~n这n个自然数中选k个，这k个数中任何两个数不相邻数的组合有C(n-k+1,k).
证明和（3）相同，同学们马上证明吧。

(5)第二类 stirling数（子集划分）：要背
（**2007普及）、将n个数（1，2，…，n）分成r个部分。每个部分至少一个数。将不同划分方法的总数记为S(n,r)。例如，S(4,2)=7，这7种不同的划分方法依次为 { (1) , (234) }，{ (2) , (134) }，{ (3) , (124) }，{ (4) , (123) }，{ (12) , (34) }，{ (13) , (24) }，{ (14) , (23) }。当n=6，r=3时，S(6,3)=_____________。
（提示：先固定一个数，对于其余的5个数考虑S(5,3)与S(5,2)，再分这两种情况对原固定的数进行分析。）
题解：90. 递推的解法近几年很重要。
S(6,3) = 3S(5,3) + S(5,2)
S(5,3) = 3S(4,3) + S(4,2)
S(5,2) = 2S(4,2) + S(4,1)
第二类stirling数，显然拥有这样的性质：
① S(n,m) = mS(n-1,m) + S(n-1,m-1)
② S(n,1) = 1, S(n,0)=0, S(n,n)=1
而这些性质就： ▲ S(n,3) = 1/2 *( 3^(n-1) +1) - 2^(n-1)

(6)错位排列（简称:错排）
先做一个小问题：5本书，编号分别是1，2，3，4，5，现在要把这5本书是放在编号1，2，3，4，5的书架上，要求书的编号和书架的编号不一样，请问有多少种不一样的放置方法？

例：胸口贴着编号为1,2,…n的n个球员分别住在编号为1,2,…n的n个房间里面。现规定每个人住一个房间，自己的编号不能和房间的编号一样。
这就是错排问题。当n=3时，只能为312或231这两种。
题解：递推。刚开始所有球员都住在和自己编号一样的房间里面。然后错排开始了，第n个球员从第出来。
第一种情况：n想和（）其中任何一个球员换房间，其他 n-2个人换房间的事情，他们就不管了。其他n-2个球员的的错排数为d[n-2]，n可以和前面1~（n-1）对换，所以有（n-1）个d[n-2]。
第二种情况：n想和（）其中任何一个球员换房间，但是n只想住在第个房间，而n不想住第个房间。
可能你会这样想：那么可以让住在第号房间里面，然后住在房间。抱歉，生气为什么一开始就去找不直接来找，~~(╯﹏╰) ~~
没办法，把自己胸口的编码换成了，他假装自己是，然后错排１～ｎ－１（也就是 d[n-2]）。的时候参与进去，这样自己就不会呆在第号房间了。所以有（n-1）个d[n-１]。
如果理解了上面两个加　蓝色　的地方，那么错排的公式就出来了

同时也有
错位排列数列为 0，1，2，9，44，265，．．．．．．

(7)Catalan 数列（重点）
以下问题属于Catalan数列
1：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？
2：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
3：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4：对角线不相交的情况下，将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
5：一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…n,有多少个不同的出栈序列?
6：n个结点可够造多少个不同的二叉树?
7：n个不同的数依次进栈，求不同的出栈结果的种数？
8：n个+1和n个-1构成2n项 a1,a2,…,a2n 其部分和满足a1+a2+…+ak>=0(k=1,2,3,…,2n)对与n该数列为
其对应的序列为1, 1, 2, 5, 14, 42, 132,… ===Catalan数列。
H0 H1 H2 H3 H4 H5 H6
该递推关系的解为

【练习】

1．
（1）用0，1，2，3，4组合多少无重复数字的四位数？
（2）这四位数中能被4整除的数有多少个？
（3）这四位数中能被3整除的数有多少个？
2．用0，1，2，3，4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列.
（1）第49个数是多少？
（2）23140是第几个数？
3．求下列不同的排法种数：
（1）6男２女排成一排，2女相邻；
（2）6男２女排成一排，2女不能相邻；
（3）5男3女排成一排，3女都不能相邻;
（4）4男4女排成一排，同性者相邻；
（5）4男4女排成一排，同性者不能相邻。
4．有四位医生、六位护士、五所学校。
(1) 若要选派三位医生到五所学校之中的三所学校举办健康教育讲座，每所学校去一位医生有多少种不同的选派方法？
(2)在医生或护士中任选五人，派到五所学校进行健康情况调查，每校去且仅去一人，有多少种不同的选派方法？
(3) 组成三个体检小组，每组一名医生、两名护士，到五所学校中的三所学校为老师体检，有多少种不同的选派方法？
5．平面上有三条平行直线，每条直线上分别有7，5，6个点，且不同直线上三个点都不在同一条直线上。问用这些点为顶点，能组成多少个不同四边形？
6．平面上有三条平行直线，每条直线上分别有7，5，6个点，且不同直线上三个点都不在同一条直线上。问用这些点为顶点，能组成多少个不同三角形？
7．将N个红球和M个黄球排成一行。例如:N=2,M=2可得到以下6种排法:
红红黄黄红黄红黄红黄黄红黄红红黄黄红黄红黄黄红红
问题:当N=4,M=3时有多少种不同排法?(不用列出每种排法)
8.用20个不同颜色的念珠穿成一条项链,能做多少个不同的项链.
9.在单词MISSISSIPPI 中字母的排列数是( )
10．求取自1,2,…k的长为r的非减序列的个数为( )

答案：
1：（1）分类+组合，96 ；（2）分类+组合，30；（3）分类+组合，36
2：（1）40；（2）30124
3：（1）p(7,7)*p(2,2)；（2）p(6,6)*p(7,2)；（3）p(5.5)*p(6,3)
（4）p(4,4)*p(4,4)*p(2,2)；（5）p(4,4)*p(4,4)*p(2,2))
4：（1）p(10,5)；（2）c(5,3)*p(4,3)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,2) （3）c(5,3)*p(4,3)
5：2250
6：751
7：35
8：(20!/20)=19！
9：11!/(1!*4!*4!*2!
10：C(r+k-1,r)

【程序练习】

1、木柜与三角形
2、矩形的数量V6

作业

1、组合数问题