高数第七章节——微分方程概念&一阶微分方程&高阶微分方程

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1、数列
1、微分方程的基本概念
- 1.1微分方程的定义
- 1.2 解微分方程
- 1.3 基本概念
2、一阶微分方程
- 2.1 微分方程的解
- 2.2 微分方程的通解不一定包括所有的解
- 2.3 微分方程解法一——可分离变量的微分方程
- - 2.3.1 可分离变量的微分方程的定义ϕ(y)dy=ψ(x)dx\phi(y)dy=\psi(x)dxϕ(y)dy=ψ(x)dx
  - 2.3.2 求通解的步骤
  - 2.3.3 例题——两端积分求通解
- 2.4 微分方程解法二——一阶线性微分方程
- - 2.4.1 线性齐次方程dydx+P(x)y=0\frac{dy}{dx}+P(x)y=0dxdy+P(x)y=0
  - 2.4.2 线性非齐次方程dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)dxdy+P(x)y=Q(x)
  - - 2.4.2.1 待定系数
    - 2.4.2.2 一阶线性方程解的结构
    - 2.4.2.3 例题——一阶非齐次线性微分方程
  - 2.4.3 伯努利方程dydx+P(x)y=Q(x)∗yn\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)*y^ndxdy+P(x)y=Q(x)∗yn
  - - 2.4.3.1 伯努利方程的推导
    - 2.4.3.2 伯努利方程的通解
3、高阶微分方程
- 3.1 微分方程解法三——可降阶的高阶微分方程
- - 3.1.1 y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x)y(n)=f(x)型的方程
  - 3.1.2 y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')y′′=f(x,y′)型的方程（不含未知数yyy，含自变量xxx）
  - - 3.1.2.1 定义
    - 3.1.2.2 例题——y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')y′′=f(x,y′)型求原方程
  - 3.1.3 不含有y、y′、...、y(k−1)y、y'、...、y^{(k-1)}y、y′、...、y(k−1)
  - - 3.1.3.1 例题——y、y′、...、y(k−1)y、y'、...、y^{(k-1)}y、y′、...、y(k−1)型例题
  - 3.1.4 y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')y′′=f(y,y′)型的方程（含未知数yyy，缺自变量xxx）
  - - 3.1.4.1 例题——y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')y′′=f(y,y′)型例题
- 3.2 微分方程解法四——高阶线性微分方程
- - 3.2.1 二阶线性微分方程
  - 3.2.2 二阶齐次方程的结构
  - 3.2.3 二阶非齐次线性方程的解的结构
- 3.3 微分方程解法五——常系数齐次线性微分方程
- - 3.3.1 常系数齐次线性微分方程定义
  - 3.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解
  - - 3.3.2.1 两个不相等实根(Δ>0\Delta>0Δ>0)
    - 3.3.2.2 两个相等实根(Δ=0\Delta=0Δ=0)
    - 3.3.2.3 一对共轭复根(Δ<0\Delta<0Δ<0)
    - 3.3.3.4 公式总结
  - 3.3.4 n阶常系数齐次线性微分方程的解
- 3.4 微分方程解法六——二阶常系数非齐次线性微分方程
- - 3.4.1 f(x)=eλxPm(x)f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)f(x)=eλxPm(x)型
  - - 3.4.1.1 定义
    - 3.4.1.2 例题
  - 3.4.2 f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinω]f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\omega x+P_n(x) sin\omega]f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinω]型
  - - 3.4.2.1 求解公式
    - 3.4.2.2 例题
    - 3.4.2.3 生活中的应用

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高数第三章节——微分中值&洛必达&泰勒&单调性与凹凸性&作图&弧微分与曲率
高数第四章节——不定积分&换元积分&分部积分
高数第五章节——定积分&积分上限函数&牛顿——莱布尼兹公式&反常积分与广义积分
高数第六章节——平面图形的面积&旋转体体积&平面截面体体积&平面曲线的弧长&定积分在物理学中的应用
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高数竞赛必背重点（随时更）

1、数列

1、微分方程的基本概念

1.1微分方程的定义

1.2 解微分方程

解微分方程是求导的逆运算

1.3 基本概念

2、一阶微分方程

2.1 微分方程的解

2.2 微分方程的通解不一定包括所有的解

2.3 微分方程解法一——可分离变量的微分方程

2.3.1 可分离变量的微分方程的定义ϕ(y)dy=ψ(x)dx\phi(y)dy=\psi(x)dxϕ(y)dy=ψ(x)dx

2.3.2 求通解的步骤

2.3.3 例题——两端积分求通解

2.4 微分方程解法二——一阶线性微分方程

2.4.1 线性齐次方程dydx+P(x)y=0\frac{dy}{dx}+P(x)y=0dxdy+P(x)y=0

2.4.2 线性非齐次方程dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)dxdy+P(x)y=Q(x)

2.4.2.1 待定系数

2.4.2.2 一阶线性方程解的结构

2.4.2.3 例题——一阶非齐次线性微分方程

2.4.3 伯努利方程dydx+P(x)y=Q(x)∗yn\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)*y^ndxdy+P(x)y=Q(x)∗yn

2.4.3.1 伯努利方程的推导

2.4.3.2 伯努利方程的通解

3、高阶微分方程

3.1 微分方程解法三——可降阶的高阶微分方程

3.1.1 y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x)y(n)=f(x)型的方程

3.1.2 y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')y′′=f(x,y′)型的方程（不含未知数yyy，含自变量xxx）

3.1.2.1 定义

3.1.2.2 例题——y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')y′′=f(x,y′)型求原方程

3.1.3 不含有y、y′、...、y(k−1)y、y'、...、y^{(k-1)}y、y′、...、y(k−1)

3.1.3.1 例题——y、y′、...、y(k−1)y、y'、...、y^{(k-1)}y、y′、...、y(k−1)型例题

3.1.4 y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')y′′=f(y,y′)型的方程（含未知数yyy，缺自变量xxx）

3.1.4.1 例题——y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')y′′=f(y,y′)型例题

3.2 微分方程解法四——高阶线性微分方程

3.2.1 二阶线性微分方程

d2ydx2+P(x)dydx+Q(x)y=f(x)\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)dx2d2y+P(x)dxdy+Q(x)y=f(x)

3.2.2 二阶齐次方程的结构

3.2.3 二阶非齐次线性方程的解的结构

3.3 微分方程解法五——常系数齐次线性微分方程

3.3.1 常系数齐次线性微分方程定义

3.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解

3.3.2.1 两个不相等实根(Δ>0\Delta>0Δ>0)

3.3.2.2 两个相等实根(Δ=0\Delta=0Δ=0)

3.3.2.3 一对共轭复根(Δ<0\Delta<0Δ<0)

3.3.3.4 公式总结

3.3.4 n阶常系数齐次线性微分方程的解

3.4 微分方程解法六——二阶常系数非齐次线性微分方程

3.4.1 f(x)=eλxPm(x)f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)f(x)=eλxPm(x)型

3.4.1.1 定义

3.4.1.2 例题

3.4.2 f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinω]f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\omega x+P_n(x) sin\omega]f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinω]型

3.4.2.1 求解公式

3.4.2.2 例题

3.4.2.3 生活中的应用

解决振动和共振一类用正余弦描述的物理问题

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