瓦片地图坐标转换

一、前言

二、定义

二、矩形瓦片

三、菱形瓦片

1.斜菱形瓦片

2.正菱形瓦片

四、点在菱形内判断

一、前言

常见的瓦片地图有矩形、菱形、正六边形几种。此文章主要讨论菱形瓦片，也就是大家常说的2.5D，斜45度瓦片地图。比如《红警2》、《帝国时代2》都是采用这种技术。

严格来说，瓦片的角度并不是45度。因为为了美术作图方便，图片的宽高比一般为2：1，如下图所示，它的实际角度为arctan(1/2)，不过这个数值对我们不重要。正如鱼香肉丝没有鱼一般，叫它45度瓦片也无妨，由于它是一个菱形，所以这里我们称它为菱形瓦片。

或许有人认为任意角度的瓦片都是可以的，其实不然，因为我们要考虑线条锯齿的画法，如果采用非整数比，则线条不是规律的（非像素游戏或许可以试试）。所以最常见的比例为2:1，其次是1:1。

还有一个问题，我们观察菱形的四分之一部分，它将一个矩形一分为二。我们当然期望它是平分的，然而这根本做不到，因为它不是理论的对角线。对于正方形瓦片来说，边缘是不会重叠的。而菱形瓦片不可避免的边缘存在重叠。

二、定义

我们定义地图上的一个点为世界（World）坐标，它是连续的，用浮点数表示。然后格子的索引叫地图（Map）坐标，它是离散的，用有符号整数表示。不过这里地图坐标的取值未考虑负数，如要使用负数的地图坐标则需要对代码略微修改。

比如下图的p点，我们假设格子宽10像素。则其世界坐标为(54,67)，而地图坐标为(5,6)。

二、矩形瓦片

矩形瓦片的代码很简单，如下：

//! 矩形瓦片地图
template<Vector2 TILE_SIZE>
class Rectangle
{
public:/*** @brief 地图坐标 -> 世界坐标*/constexpr Vector2 Map2World(const Point& xy){return toVector2(xy) * TILE_SIZE;}/*** @brief 世界坐标 -> 地图坐标*/constexpr Point World2Map(const Vector2& pos){return toPoint(pos / TILE_SIZE);}
};

三、菱形瓦片

1.斜菱形瓦片

这里的斜指的是，整个地图拼出来是斜着的，也是一个菱形，如下图所示（这是常用的算法）：

我们令x'y'为地图（格子）坐标，xy为世界（像素）坐标，其中wh为瓦片宽高，则有如下关系：

$\\x'=(y+x)\frac{w}{2} \\y'=(y-x)\frac{h}{2}$

上面这个式子通过简单的变换，就可以得出：

$\\x=\frac{x'}{w}-\frac{y'}{h} \\y=\frac{x'}{w}+\frac{y'}{h}$

转换代码如下，这里就体现出了将瓦片大小（TILE_SIZE）作为模板的好处了，其中除2的操作会自动合并为常量表达式，世界坐标到地图坐标的转换其中加了0.5，是为了四舍五入。

//! 斜45度瓦片地图
template<Vector2 TILE_SIZE>
class DiamondSlant
{
public:/*** @brief 地图坐标 -> 世界坐标*/constexpr Vector2 Map2World(const Point& xy){return { (xy[1] + xy[0]) * TILE_SIZE[0] / 2.0,  (xy[1] - xy[0]) * TILE_SIZE[1] / 2.0};}/*** @brief 世界坐标 -> 地图坐标*/constexpr Point World2Map(const Vector2& pos){Vector2 xy_div = pos / TILE_SIZE;return toPoint(Vector2{ xy_div[0] - xy_div[1] + 0.5, xy_div[0] + xy_div[1] - 0.5 });}
};

2.正菱形瓦片

下面这种整体也是一个矩形，它的特点是x轴移动瓦片宽度，y轴只移动半个瓦片高度，当y为奇数时，x再往右移动半个瓦片宽度。（有些文章是y为偶数时x移动，原理相同）

容易得到，从格子坐标到世界坐标，如下：

当y为偶数时：

$\\x = wx' \\y=\frac{h}{2}y'$

当y为奇数时：

$\\x=wx'+\frac{w}{2} \\y=\frac{h}{2}y'$

这里出现和上面不一样的事了，无法简单的逆推公式来表示x'y'。因为通过世界（像素）坐标无法轻松得到它的地图（格子）坐标的y是奇数还是偶数。

从格子坐标到世界坐标的代码如下：

/**
* @brief 地图坐标 -> 世界坐标
*/
constexpr Vector2 Map2World(const Point& xy)
{Vector2 pos = { TILE_SIZE[0] * xy[0] , TILE_SIZE[1] / 2 * xy[1] };if (xy[1] % 2 != 0){//奇数行向右偏移 w / 2pos[0] += TILE_SIZE[0] / 2;}return pos;
}

而从世界坐标到格子坐标则比较麻烦了，如下，我们划分网格：

明显格子大小为(w,h)，记世界坐标pos所在的格子为p，则有：

$\\p_x=floor(\frac{pos_x}{w}) \\p_y=floor(\frac{pos_y}{h})$

来看单个划分网格内，如下：

设瓦片格子坐标为xy，则当 pos在菱形内时，有：

$\\x=p_x\\y=2p_y$

当 pos在菱形外时，四个角则分别判断：右下角偏移(0,1)；左下角偏移(-1,1)；左上角偏移(-1,-1)；右上角偏移(0,-1)。

所以最终实现代码如下：

//! 平菱形瓦片地图
template<Vector2 TILE_SIZE>
class DiamondFlat
{
public:/*** @brief 地图坐标 -> 世界坐标*/constexpr Vector2 Map2World(const Point& xy){Vector2 pos = { TILE_SIZE[0] * xy[0] , TILE_SIZE[1] / 2 * xy[1] };if (xy[1] % 2 != 0){//奇数行向右偏移 w / 2pos[0] += TILE_SIZE[0] / 2;}return pos;}/*** @brief 世界坐标 -> 地图坐标*/constexpr Point World2Map(const Vector2& pos){constexpr Vector2 TILE_SIZE_HALF = TILE_SIZE / 2.0;//四分之一矩形面积constexpr real s = Each::AccumulateMul(TILE_SIZE_HALF);//先计算矩形下标Point p = toPoint(pos / TILE_SIZE);//在矩形内坐标Vector2 p1 = pos - toVector2(p) * TILE_SIZE - TILE_SIZE_HALF;//点围成矩形面积real sp = abs(p1[0] * TILE_SIZE_HALF[1]) + abs(p1[1] * TILE_SIZE_HALF[0]);p[1] *= 2;if (s < sp){if (p1[0] > 0 && p1[1] > 0)return p + Point{ 0, 1 };else if (p1[0] < 0 && p1[1] > 0)return p + Point{ -1, 1 };else if (p1[0] < 0 && p1[1] < 0)return p + Point{ -1, -1 };else if (p1[0] > 0 && p1[1] < 0)return  p + Point{ 0, -1 };elsereturn p;}else{return p;}}
};

四、点在菱形内判断

如下图所示，以菱形中心为原点建立坐标系：

当p点在菱形上时，红绿区域面积相等（对角线平分面积），所以：

$xh + yw = wh$ （红色区域加了两次，将其中变成一个绿色区域）

则当p点在菱形外时， $xh + yw > wh$ ；在菱形内时 $xh + yw < wh$ 。

源码位置：DND3D: 基于C++20与标准库的工具集

讨论群：818038139

by略游于2022-06-14

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