本文结构：

是什么？

有什么算法？

数学原理？

编码实现算法？

1. 是什么？

简单地理解，就是根据一些 feature 进行分类，每个节点提一个问题，通过判断，将数据分为几类，再继续提问。这些问题是根据已有数据学习出来的，再投入新数据的时候，就可以根据这棵树上的问题，将数据划分到合适的叶子上。

2. 有什么算法？

常用的几种决策树算法有ID3、C4.5、CART：

ID3：选择信息熵增益最大的feature作为node，实现对数据的归纳分类。

C4.5：是ID3的一个改进，比ID3准确率高且快，可以处理连续值和有缺失值的feature。

CART：使用基尼指数的划分准则，通过在每个步骤最大限度降低不纯洁度，CART能够处理孤立点以及能够对空缺值进行处理。

3. 数学原理？

ID3: Iterative Dichotomiser 3

下面这个数据集，可以同时被上面两颗树表示，结果是一样的，而我们更倾向于选择简单的树。

那么怎样做才能使得学习到的树是最简单的呢？

下面是 ID3( Iterative Dichotomiser 3 )的算法：

例如下面数据集，哪个是最好的 Attribute？

用熵Entropy来衡量：

E(S) 是数据集S的熵

i 指每个结果，即 No，Yes的概率

E越大意味着信息越混乱，我们的目标是要让E最小。

E在0-1之间，如果P＋的概率在0.5， 此时E最大，这时候说明信息对我们没有明确的意义，对分类没有帮助。

但是我们不仅仅想要变量的E最小，还想要这棵树是 well organized。

所以用到 Gain：信息增益

意思是如果我后面要用这个变量的话，它的E会减少多少。

例如下面的数据集：

先计算四个feature的熵E，及其分支的熵，然后用Gain的公式计算信息增益。

再选择Gain最大的特征是 outlook。

第一层选择出来后，各个分支再继续选择下一层，计算Gain最大的，例如分支 sunny 的下一层节点是 humidity。

详细的计算步骤可以参考这篇博文。

C4.5

ID3有个局限是对于有大量数据的feature过于敏感，C4.5是它的一个改进，通过选择最大的信息增益率 gain ratio 来选择节点。而且它可以处理连续的和有缺失值的数据。

P’ (j/p) is the proportion of elements present at the position p, taking the value of j-th test.

例如 outlook 作为第一层节点后，它有 3 个分支，分别有 5，4，5 条数据，则 SplitInfo(5,4,5) = -5/14log(5,14)-4/14log(4,14)-5/14(5,14) ，其中 log(5,14) 即为 log2(5/14)。

下面是一个有连续值和缺失值的例子：

连续值

第一步计算 Gain，除了连续值的 humudity，其他步骤和前文一样。

要计算 humudity 的 Gain 的话，先把所有值升序排列：

{65, 70, 70, 70, 75, 78, 80, 80, 80, 85, 90, 90, 95, 96}

然后把重复的去掉：

{65, 70, 75, 78, 80, 85, 90, 95, 96}

如下图所示，按区间计算 Gain，然后选择最大的 Gain (S, Humidity) = 0.102

因为 Gain(S, Outlook) = 0 .246，所以root还是outlook：

缺失值

处理有缺失值的数据时候，用下图的公式：

例如 D12 是不知道的。

计算全集和 outlook 的 info，

其中几个分支的熵如下，再计算出 outlook 的 Gain：

比较一下 ID3 和 C4.5 的准确率和时间：

accuracy ：

execution time：

4. 编码实现算法？

代码可以看《机器学习实战》这本书和这篇博客。

接下来以 C4.5 的代码为例：

1. 定义数据：

1 defcreateDataSet():2 dataSet = [[0, 0, 0, 0, 'N'],3 [0, 0, 0, 1, 'N'],4 [1, 0, 0, 0, 'Y'],5 [2, 1, 0, 0, 'Y'],6 [2, 2, 1, 0, 'Y'],7 [2, 2, 1, 1, 'N'],8 [1, 2, 1, 1, 'Y']]9 labels = ['outlook', 'temperature', 'humidity', 'windy']10 return dataSet, labels

2. 计算熵：

1 defcalcShannonEnt(dataSet):2 numEntries =len(dataSet)3 labelCounts ={}4 for featVec indataSet:5 currentLabel = featVec[-1]6 if currentLabel not inlabelCounts.keys():7 labelCounts[currentLabel] =08 labelCounts[currentLabel] += 1 #数每一类各多少个， {'Y': 4, 'N': 3}

9 shannonEnt = 0.0

10 for key inlabelCounts:11 prob = float(labelCounts[key])/numEntries12 shannonEnt -= prob * log(prob, 2)13 return shannonEnt

3. 选择最大的gain ratio对应的feature：

1 defchooseBestFeatureToSplit(dataSet):2 numFeatures = len(dataSet[0]) - 1 #feature个数

3 baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet) #整个dataset的熵

4 bestInfoGainRatio = 0.0

5 bestFeature = -1

6 for i inrange(numFeatures):7 featList = [example[i] for example in dataSet] #每个feature的list

8 uniqueVals = set(featList) #每个list的唯一值集合

9 newEntropy = 0.0

10 splitInfo = 0.0

11 for value inuniqueVals:12 subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value) #每个唯一值对应的剩余feature的组成子集

13 prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))14 newEntropy += prob *calcShannonEnt(subDataSet)15 splitInfo += -prob * log(prob, 2)16 infoGain = baseEntropy - newEntropy #这个feature的infoGain

17 if (splitInfo == 0): #fix the overflow bug

18 continue

19 infoGainRatio = infoGain / splitInfo #这个feature的infoGainRatio

20 if (infoGainRatio > bestInfoGainRatio): #选择最大的gain ratio

21 bestInfoGainRatio =infoGainRatio22 bestFeature = i #选择最大的gain ratio对应的feature

23 return bestFeature

4. 划分数据，为下一层计算准备:

1 defsplitDataSet(dataSet, axis, value):2 retDataSet =[]3 for featVec indataSet:4 if featVec[axis] == value: #只看当第i列的值＝value时的item

5 reduceFeatVec = featVec[:axis] #featVec的第i列给除去

6 reduceFeatVec.extend(featVec[axis+1:])7 retDataSet.append(reduceFeatVec)8 return retDataSet

5. 多重字典构建树：

1 defcreateTree(dataSet, labels):2 classList = [example[-1] for example in dataSet] #['N', 'N', 'Y', 'Y', 'Y', 'N', 'Y']

3 if classList.count(classList[0]) ==len(classList):4 #classList所有元素都相等，即类别完全相同，停止划分

5 return classList[0] #splitDataSet(dataSet, 0, 0)此时全是N，返回N

6 if len(dataSet[0]) == 1: #[0, 0, 0, 0, 'N']

7 #遍历完所有特征时返回出现次数最多的

8 returnmajorityCnt(classList)9 bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet) #0－> 2

10 #选择最大的gain ratio对应的feature

11 bestFeatLabel = labels[bestFeat] #outlook -> windy

12 myTree ={bestFeatLabel:{}}13 #多重字典构建树{'outlook': {0: 'N'

14 del(labels[bestFeat]) #['temperature', 'humidity', 'windy'] -> ['temperature', 'humidity']

15 featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet] #[0, 0, 1, 2, 2, 2, 1]

16 uniqueVals =set(featValues)17 for value inuniqueVals:18 subLabels = labels[:] #['temperature', 'humidity', 'windy']

19 myTree[bestFeatLabel][value] =createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels)20 #划分数据，为下一层计算准备

21 return myTree

6. 可视化决策树的结果:

dataSet, labels =createDataSet()

labels_tmp=labels[:]

desicionTree=createTree(dataSet, labels_tmp)

treePlotter.createPlot(desicionTree)