在有限的时间内，计算出一个尽可能大的素数

一.问题点

有限时间：在一个可接受的时间范围内，并非依靠暴力求解
尽可能大：可计算素数的上限
素数：因数只有1和它本身的自然数

二.素数的生成

n 位的十进制位的大素数生成步骤如下:

产生一个 n 位的随机数p
若最低位为偶数, 则将它加1, 以确保该素数为奇数, 从而保证了平均节省一半的运算时间
检查以确保 p 不能被任何小素数整除, 如 3, 5, 7, 11 等等，目的是排除 p 是合数的绝大部分可能性, 减少了下面步骤对 p 进行素数测试的总次数, 从而大大节省了运算时间。我采用了除2 以外(因已经检验过 p 的奇偶性)的所有小于 20 的素数, 来测试 p 对于它们的整除性
产生一个随机数 a, 对 a 进行 Rabin- Miller测试，如果 p 通过测试, 则另外产生一个随机数 a, 再重新进行测试选取较小的 a 值，以保证较快的运算速度，作 3次Rabin-Miller 测试(1次看起来已足够, 但为保证较高的精确性, 可以多做几次)
如果 p 通过测试, 则 p 是素数,否则将原被测试数加 2, 得到一个新的数, 再对新数进行测试, 直到找到一个素数为止

三.Miller-Rabin 算法

Miller-Rabin 算法是一种基于概率的素性测试算法，因此该算法与一般的基于事实的真素性测试方法的区别是：存在一定的误判率。但是在对于某个较大的待测数字进行多次测试的情况下，误判率可以控制在可忽略范围内。Miller-Rabin算法基于 Fermat 算法，属于后者的变形、改进。

首先引入 Fermat定理：n是一个奇素数，a是任何整数(1 ≤ a ≤ n-1) ，则a^(n-1)≡1(mod n)根据此定理可以知道，对于给定的待测数字 n，可以通过设定素性测试算法，计算 w = a^(n-1)%n的结果来判定。

W!=1，n一定不是素数；
W==1，n可能是素数；

再引入二次探测定理，如果 n 是一个整数，且 0<x<n，则：x2%p=1 有： x= 1 / x = p-1。若n是素数,则( n-1 )一定是偶数,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇数( 若n是偶数,则上面的m*(2^q)一定可以分解成一个正奇数乘以2的k次方的形式 ),q是非负整数。

借助 Fermat 定理，进行如下测试：a^(m)%n、a^(2m)%n、a^(4m)%n、a^（m*(2^q)）%n。进行这些测试的过程为：Miller-Rabin 测试。

误判率：若 n 是素数,a 是小于 n 的正整数,则 n 对以 a 为基的Miller 测试,结果为真。Miller 测试进行 k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过 4^(-k)。

四.Java程序实现

/*** 题目8：计算一个尽可能大的素数* 题目描述：在有限的时间内，计算出一个尽可能大的素数。*/
package edu.sust;import java.util.Random;
import java.util.Scanner;public class PrimeNumber {public static void main(String[] args) {long startTime = System.currentTimeMillis();    //开始时间Scanner scanner = new Scanner(System.in);long executeTime;//程序执行时间System.out.println("请输入程序运行的时间(毫秒为单位)：");executeTime = scanner.nextLong();long endTime = System.currentTimeMillis();  //结束时间int maxPrime = 2;   //最大素数while (endTime - startTime < executeTime) {int num = getRandom();if (num > maxPrime) {if (MillerRabin(num, 3))maxPrime = num;}endTime = System.currentTimeMillis();}System.out.println(maxPrime);scanner.close();}public static int getRandom() {Random random = new Random();int num = random.nextInt(Integer.MAX_VALUE);if ((num & 1) != 1) {num++;//若最低位为偶数, 则将它加1, 以确保该素数为奇数}//检查以确保 p 不能被任何小素数整除int[] primes = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};for (int i = 0; i < primes.length; i++) {if (num % primes[i] == 0)return -1;}return num;}/*** 利用费马小定理求大数幂取模** @param a 底数* @param b 指数* @param n 模数* @return 返回(a ^ b) mod n的值*/public static int FermatPower(int a, int b, int n) {int result = 1;while (b > 0) {if ((b & 1) == 1)result = (result * a) % n;if ((a * a) % n == 1 && a != 1 && a != n - 1)return -1;// 二次探测b >>= 1;a = (a * a) % n;}return result;}/*** Miller-Rabin素性测试** @param n    待测随机数* @param time 检测次数* @return 若通过测试，返回true，否则返回false*/public static boolean MillerRabin(int n, int time) {Random random = new Random();for (int i = 0; i < time; i++) {if (FermatPower(random.nextInt(n - 1) + 2, n - 1, n) != 1)return false;}return true;}
}

参考文献

刘少涛, 凌捷. 数据加密算法与大素数的生成及运算[J]. 广东工业大学学报, 2001(04):27-31.
张宏, 刘晓霞, 张若岩. RSA公钥密码体制中安全大素数的生成[J]. 计算机技术与发展, 2008(09):137-139+143.
韩了了, 傅兴华, 刘新华, et al. 一种基于RSA公钥密码体制大素数的生成方法[J]. 贵州大学学报(自然科学版), 2005(04):101-104.

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