矩阵快速幂---BestCoder Round#8 1002

当要求递推数列的第n项且n很大时，怎么快速求得第n项呢?
可以用矩阵快速幂来加速计算。
我们可以用矩阵来表示数列递推公式
比如fibonacci数列可以表示为 [f(n) f(n-1)] = [f(n-1) f(n-2)] [ 1 1 ]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[ 1 0 ]
设A = [ 1 1 ]

　　 [ 1 0 ]

[f(n) f(n-1)] = [f(n-2) f(n-3)]*A*A
[f(n) f(n-1)] = [f(2) f(1)]*A^(n-2)
矩阵满足结合律，所以先计算A^(n-2)，这个可以用一般快速二分幂的思想来计算。

BestCoder Round#8 1002
当n为奇数时，f(n) = 2 * f(n-1) + 1
当n为偶数时，f(n) = 2 * f(n-1)
将偶数项独立出来形成单独的一个数列 b(2*n) = 2 * b(2*n-1) + 1 = 4 * (2*n-2) + 2
即b(n) = 4 * b(n-1) + 2
当n为偶数时，计算b(n/2)即可
当n为奇数时，计算b(n/2) * 2 + 1即可
因为n很大，可以用矩阵快速幂来加速
递推矩阵为 [b(n) 2] = [b(n-1] 2] * [ 4 0 ]
　　　　　　　　　　　　　　 [ 1 1 ]

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 typedef long long LL;
 4 struct Matrix
 5 {
 6     LL matrix[2][2];
 7 };
 8 int n,m;
 9 Matrix operator *(const Matrix &lhs, const Matrix &rhs)
10 {
11     Matrix res;
12     memset(res.matrix, 0 ,sizeof(res.matrix));
13     int i,j,k;
14     for(k=0; k<2; ++k)
15         for(i=0; i<2; ++i)
16         {
17             if(lhs.matrix[i][k] == 0) continue;
18             for(j=0; j<2; ++j)
19             {
20                 if(rhs.matrix[k][j] == 0) continue;
21                 res.matrix[i][j] = (res.matrix[i][j] + lhs.matrix[i][k] * rhs.matrix[k][j]) % m;
22             }
23         }
24     return res;
25 }
26 Matrix operator ^(Matrix a, int k)
27 {
28     Matrix res;
29     int i,j;
30     for(i=0; i<2; ++i)
31         for(j=0; j<2; ++j)
32             res.matrix[i][j] = (i == j);
33     while(k)
34     {
35         if(k & 1)
36             res = res * a;
37         a = a * a;
38         k>>=1;
39     }
40     return res;
41 }
42
43 int main()
44 {
45     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
46     {
47         Matrix a;
48         a.matrix[0][0] = 4;
49         a.matrix[0][1] = 0;
50         a.matrix[1][0] = a.matrix[1][1] = 1;
51         int k = n / 2;
52         a = a ^ k;
53         LL ans =(2 * a.matrix[1][0]) % m;
54         if(n & 1 == 1)
55             ans = (ans * 2 + 1) % m;
56         printf("%lld\n",ans);
57
58
59     }
60     return 0;
61 }

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