Coursera吴恩达《序列模型》课程笔记（1）-- 循环神经网络（RNN）

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《Recurrent Neural Networks》是Andrw Ng深度学习专项课程中的第五门课，也是最后一门课。这门课主要介绍循环神经网络（RNN）的基本概念、模型和具体应用。该门课共有3周课时，所以我将分成3次笔记来总结，这是第一节笔记。

1. Why sequence models

序列模型能够应用在许多领域，例如：

语音识别
音乐发生器
情感分类
DNA序列分析
机器翻译
视频动作识别
命名实体识别

这些序列模型基本都属于监督式学习，输入x和输出y不一定都是序列模型。如果都是序列模型的话，模型长度不一定完全一致。

2. Notation

下面以命名实体识别为例，介绍序列模型的命名规则。示例语句为：

Harry Potter and Hermione Granger invented a new spell.

该句话包含9个单词，输出y即为1 x 9向量，每位表征对应单词是否为人名的一部分，1表示是，0表示否。很明显，该句话中“Harry”，“Potter”，“Hermione”，“Granger”均是人名成分，所以，对应的输出y可表示为：

y=[1 1 0 1 1 0 0 0 0]y=[110110000]

y=[1\ \ 1\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 0]

一般约定使用y<t>y<t>y^{}表示序列对应位置的输出，使用TyTyT_y表示输出序列长度，则1≤t≤Ty1≤t≤Ty1\leq t\leq T_y。

对于输入x，表示为：

[x<1> x<2> x<3> x<4> x<5> x<6> x<7> x<8> x<9>][x<1>x<2>x<3>x<4>x<5>x<6>x<7>x<8>x<9>]

[x^{}\ \ x^{}\ \ x^{}\ \ x^{}\ \ x^{}\ \ x^{}\ \ x^{}\ \ x^{}\ \ x^{}]

同样，x<t>x<t>x^{}表示序列对应位置的输入，TxTxT_x表示输入序列长度。注意，此例中，Tx=TyTx=TyT_x=T_y，但是也存在Tx≠TyTx≠TyT_x\neq T_y的情况。

如何来表示每个x<t>x<t>x^{}呢？方法是首先建立一个词汇库vocabulary，尽可能包含更多的词汇。例如一个包含10000个词汇的词汇库为：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢aand⋅⋅⋅harry⋅⋅⋅potter⋅⋅⋅zulu⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥[aand⋅⋅⋅harry⋅⋅⋅potter⋅⋅⋅zulu]

\left[ \begin{matrix} a \\ and \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ harry \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ potter \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ zulu \end{matrix} \right]

该词汇库可看成是10000 x 1的向量。值得注意的是自然语言处理NLP实际应用中的词汇库可达百万级别的词汇量。

然后，使用one-hot编码，例句中的每个单词x<t>x<t>x^{}都可以表示成10000 x 1的向量，词汇表中与x<t>x<t>x^{}对应的位置为1，其它位置为0。该x<t>x<t>x^{}为one-hot向量。值得一提的是如果出现词汇表之外的单词，可以使用UNK或其他字符串来表示。

对于多样本，以上序列模型对应的命名规则可表示为：X(i)<t>X(i)<t>X^{(i)}，y(i)<t>y(i)<t>y^{(i)}，T(i)xTx(i)T_x^{(i)}，T(i)yTy(i)T_y^{(i)}。其中，iii表示第i个样本。不同样本的Tx(i)" role="presentation" style="position: relative;">T(i)xTx(i)T_x^{(i)}或T(i)yTy(i)T_y^{(i)}都有可能不同。

3. Recurrent Neural Network Model

对于序列模型，如果使用标准的神经网络，其模型结构如下：

使用标准的神经网络模型存在两个问题：

第一个问题，不同样本的输入序列长度或输出序列长度不同，即T(i)x≠T(j)xTx(i)≠Tx(j)T_x^{(i)}\neq T_x^{(j)}，T(i)y≠T(j)yTy(i)≠Ty(j)T_y^{(i)}\neq T_y^{(j)}，造成模型难以统一。解决办法之一是设定一个最大序列长度，对每个输入和输出序列补零并统一到最大长度。但是这种做法实际效果并不理想。

第二个问题，也是主要问题，这种标准神经网络结构无法共享序列不同x<t>x<t>x^{}之间的特征。例如，如果某个x<t>x<t>x^{}即“Harry”是人名成分，那么句子其它位置出现了“Harry”，也很可能也是人名。这是共享特征的结果，如同CNN网络特点一样。但是，上图所示的网络不具备共享特征的能力。值得一提的是，共享特征还有助于减少神经网络中的参数数量，一定程度上减小了模型的计算复杂度。例如上图所示的标准神经网络，假设每个x<t>x<t>x^{}扩展到最大序列长度为100，且词汇表长度为10000，则输入层就已经包含了100 x 10000个神经元了，权重参数很多，运算量将是庞大的。

标准的神经网络不适合解决序列模型问题，而循环神经网络（RNN）是专门用来解决序列模型问题的。RNN模型结构如下：

序列模型从左到右，依次传递，此例中，Tx=TyTx=TyT_x=T_y。x<t>x<t>x^{}到y^<t>y^<t>\hat y^{}之间是隐藏神经元。a<t>a<t>a^{}会传入到第t+1t+1t+1个元素中，作为输入。其中，a<0>a<0>a^{}一般为零向量。

RNN模型包含三类权重系数，分别是WaxWaxW_{ax}，WaaWaaW_{aa}，WyaWyaW_{ya}。且不同元素之间同一位置共享同一权重系数。

RNN的正向传播（Forward Propagation）过程为：

a<t>=g(Waa⋅a<t−1>+Wax⋅x<t>+ba)a<t>=g(Waa⋅a<t−1>+Wax⋅x<t>+ba)

a^{}=g(W_{aa}\cdot a^{}+W_{ax}\cdot x^{}+ba)

y^<t>=g(Wya⋅a<t>+by)y^<t>=g(Wya⋅a<t>+by)

\hat y^{}=g(W_{ya}\cdot a^{}+b_y)

其中，g(⋅)g(⋅)g(\cdot)表示激活函数，不同的问题需要使用不同的激活函数。

为了简化表达式，可以对a<t>a<t>a^{}项进行整合：

Waa⋅a<t−1>+Wax⋅x<t>=[Waa Wax][a<t−1>x<t>]→Wa[a<t−1>,x<t>]Waa⋅a<t−1>+Wax⋅x<t>=[WaaWax][a<t−1>x<t>]→Wa[a<t−1>,x<t>]

W_{aa}\cdot a^{}+W_{ax}\cdot x^{}=[W_{aa}\ \ W_{ax}]\left[ \begin{matrix} a^{} \\ x^{} \end{matrix} \right]\rightarrow W_a[a^{},x^{}]

则正向传播可表示为：

a<t>=g(Wa[a<t−1>,x<t>]+ba)a<t>=g(Wa[a<t−1>,x<t>]+ba)

a^{}=g(W_a[a^{},x^{}]+b_a)

y^<t>=g(Wy⋅a<t>+by)y^<t>=g(Wy⋅a<t>+by)

\hat y^{}=g(W_{y}\cdot a^{}+b_y)

值得一提的是，以上所述的RNN为单向RNN，即按照从左到右顺序，单向进行，y^<t>y^<t>\hat y^{}只与左边的元素有关。但是，有时候y^<t>y^<t>\hat y^{}也可能与右边元素有关。例如下面两个句子中，单凭前三个单词，无法确定“Teddy”是否为人名，必须根据右边单词进行判断。

He said, “Teddy Roosevelt was a great President.”

He said, “Teddy bears are on sale!”

因此，有另外一种RNN结构是双向RNN，简称为BRNN。y^<t>y^<t>\hat y^{}与左右元素均有关系，我们之后再详细介绍。

4. Backpropagation through time

针对上面识别人名的例子，经过RNN正向传播，单个元素的Loss function为：

L<t>(y^<t>,y<t>)=−y<t>log y^<t>−(1−y<t>)log (1−y^<t>)L<t>(y^<t>,y<t>)=−y<t>logy^<t>−(1−y<t>)log(1−y^<t>)

L^{}(\hat y^{},y^{})=-y^{}log\ \hat y^{}-(1-y^{})log\ (1-\hat y^{})

该样本所有元素的Loss function为：

L(y^,y)=∑t=1TyL<t>(y^<t>,y<t>)L(y^,y)=∑t=1TyL<t>(y^<t>,y<t>)

L(\hat y,y)=\sum_{t=1}^{T_y}L^{}(\hat y^{},y^{})

然后，反向传播（Backpropagation）过程就是从右到左分别计算L(y^,y)L(y^,y)L(\hat y,y)对参数WaWaW_{a}，WyWyW_{y}，babab_a，bybyb_y的偏导数。思路与做法与标准的神经网络是一样的。一般可以通过成熟的深度学习框架自动求导，例如PyTorch、Tensorflow等。这种从右到左的求导过程被称为Backpropagation through time。

5. Different types of RNNs

以上介绍的例子中，Tx=TyTx=TyT_x=T_y。但是在很多RNN模型中，TxTxT_x是不等于TyTyT_y的。例如第1节介绍的许多模型都是Tx≠TyTx≠TyT_x\neq T_y。根据TxTxT_x与TyTyT_y的关系，RNN模型包含以下几个类型：

Many to many: Tx=TyTx=TyT_x=T_y
Many to many: Tx≠TyTx≠TyT_x\neq T_y
Many to one: Tx>1,Ty=1Tx>1,Ty=1T_x>1,T_y=1
One to many: Tx=1,Ty>1Tx=1,Ty>1T_x=1,T_y>1
One to one: Tx=1,Ty=1Tx=1,Ty=1T_x=1,T_y=1

不同类型相应的示例结构如下：

6. Language model and sequence generation

语言模型是自然语言处理（NLP）中最基本和最重要的任务之一。使用RNN能够很好地建立需要的不同语言风格的语言模型。

什么是语言模型呢？举个例子，在语音识别中，某句语音有两种翻译：

The apple and pair salad.
The apple and pear salad.

很明显，第二句话更有可能是正确的翻译。语言模型实际上会计算出这两句话各自的出现概率。比如第一句话概率为10−1310−1310^{-13}，第二句话概率为10−1010−1010^{-10}。也就是说，利用语言模型得到各自语句的概率，选择概率最大的语句作为正确的翻译。概率计算的表达式为：

P(y<1>,y<2>,⋯,y<Ty>)P(y<1>,y<2>,⋯,y<Ty>)

P(y^{},y^{},\cdots,y^{})

如何使用RNN构建语言模型？首先，我们需要一个足够大的训练集，训练集由大量的单词语句语料库（corpus）构成。然后，对corpus的每句话进行切分词（tokenize）。做法就跟第2节介绍的一样，建立vocabulary，对每个单词进行one-hot编码。例如下面这句话：

The Egyptian Mau is a bread of cat.

One-hot编码已经介绍过了，不再赘述。还需注意的是，每句话结束末尾，需要加上< EOS >作为语句结束符。另外，若语句中有词汇表中没有的单词，用< UNK >表示。假设单词“Mau”不在词汇表中，则上面这句话可表示为：

The Egyptian < UNK > is a bread of cat. < EOS >

准备好训练集并对语料库进行切分词等处理之后，接下来构建相应的RNN模型。

语言模型的RNN结构如上图所示，x<1>x<1>x^{}和a<0>a<0>a^{}均为零向量。Softmax输出层y^<1>y^<1>\hat y^{}表示出现该语句第一个单词的概率，softmax输出层y^<2>y^<2>\hat y^{}表示在第一个单词基础上出现第二个单词的概率，即条件概率，以此类推，最后是出现< EOS >的条件概率。

单个元素的softmax loss function为：

L<t>(y^<t>,y<t>)=−∑iy<t>ilog y^<t>iL<t>(y^<t>,y<t>)=−∑iyi<t>logy^i<t>

L^{}(\hat y^{},y^{})=-\sum_iy_i^{}log\ \hat y_i^{}

该样本所有元素的Loss function为：

L(y^,y)=∑tL<t>(y^<t>,y<t>)L(y^,y)=∑tL<t>(y^<t>,y<t>)

L(\hat y,y)=\sum_tL^{}(\hat y^{},y^{})

对语料库的每条语句进行RNN模型训练，最终得到的模型可以根据给出语句的前几个单词预测其余部分，将语句补充完整。例如给出“Cats average 15”，RNN模型可能预测完整的语句是“Cats average 15 hours of sleep a day.”。

最后补充一点，整个语句出现的概率等于语句中所有元素出现的条件概率乘积。例如某个语句包含y<1>,y<2>,y<3>y<1>,y<2>,y<3>y^{},y^{},y^{}，则整个语句出现的概率为：

P(y<1>,y<2>,y<3>)=P(y<1>)⋅P(y<2>|y<1>)⋅P(y<3>|y<1>,y<2>)P(y<1>,y<2>,y<3>)=P(y<1>)⋅P(y<2>|y<1>)⋅P(y<3>|y<1>,y<2>)

P(y^{},y^{},y^{})=P(y^{})\cdot P(y^{}|y^{})\cdot P(y^{}|y^{},y^{})

7 Sampling novel sequences

利用训练好的RNN语言模型，可以进行新的序列采样，从而随机产生新的语句。与上一节介绍的一样，相应的RNN模型如下所示：

首先，从第一个元素输出y^<1>y^<1>\hat y^{}的softmax分布中随机选取一个word作为新语句的首单词。然后，y<1>y<1>y^{}作为x<2>x<2>x^{}，得到y^<1>y^<1>\hat y^{}的softmax分布。从中选取概率最大的word作为y<2>y<2>y^{}，继续将y<2>y<2>y^{}作为x<3>x<3>x^{}，以此类推。直到产生< EOS >结束符，则标志语句生成完毕。当然，也可以设定语句长度上限，达到长度上限即停止生成新的单词。最终，根据随机选择的首单词，RNN模型会生成一条新的语句。

值得一提的是，如果不希望新的语句中包含< UNK >标志符，可以在每次产生< UNK >时重新采样，直到生成非< UNK >标志符为止。

以上介绍的是word level RNN，即每次生成单个word，语句由多个words构成。另外一种情况是character level RNN，即词汇表由单个英文字母或字符组成，如下所示：

Vocabulay=[a,b,c,⋯,z,.,;, ,0,1,⋯,9,A,B,⋯,Z]Vocabulay=[a,b,c,⋯,z,.,;,,0,1,⋯,9,A,B,⋯,Z]

Vocabulay=[a,b,c,\cdots,z,.,;,\ ,0,1,\cdots,9,A,B,\cdots,Z]

Character level RNN与word level RNN不同的是，y^<t>y^<t>\hat y^{}由单个字符组成而不是word。训练集中的每句话都当成是由许多字符组成的。character level RNN的优点是能有效避免遇到词汇表中不存在的单词< UNK >。但是，character level RNN的缺点也很突出。由于是字符表征，每句话的字符数量很大，这种大的跨度不利于寻找语句前部分和后部分之间的依赖性。另外，character level RNN的在训练时的计算量也是庞大的。基于这些缺点，目前character level RNN的应用并不广泛，但是在特定应用下仍然有发展的趋势。

8. Vanisging gradients with RNNs

语句中可能存在跨度很大的依赖关系，即某个word可能与它距离较远的某个word具有强依赖关系。例如下面这两条语句：

The cat, which already ate fish, was full.

The cats, which already ate fish, were full.

第一句话中，was受cat影响；第二句话中，were受cats影响。它们之间都跨越了很多单词。而一般的RNN模型每个元素受其周围附近的影响较大，难以建立跨度较大的依赖性。上面两句话的这种依赖关系，由于跨度很大，普通的RNN网络容易出现梯度消失，捕捉不到它们之间的依赖，造成语法错误。关于梯度消失的原理，我们在之前的 Coursera吴恩达《优化深度神经网络》课程笔记（1）– 深度学习的实用层面已经有过介绍，可参考。

另一方面，RNN也可能出现梯度爆炸的问题，即gradient过大。常用的解决办法是设定一个阈值，一旦梯度最大值达到这个阈值，就对整个梯度向量进行尺度缩小。这种做法被称为gradient clipping。

9. Gated Recurrent Unit(GRU)

RNN的隐藏层单元结构如下图所示：

a<t>a<t>a^{}的表达式为：

a<t>=tanh(Wa[a<t−1>,x<t>]+ba)a<t>=tanh(Wa[a<t−1>,x<t>]+ba)

a^{}=tanh(W_a[a^{},x^{}]+b_a)

为了解决梯度消失问题，对上述单元进行修改，添加了记忆单元，构建GRU，如下图所示：

相应的表达式为：

c~<t>=tanh(Wc[c<t−1>,x<t>]+bc)c~<t>=tanh(Wc[c<t−1>,x<t>]+bc)

\tilde c^{}=tanh(W_c[c^{},x^{}]+b_c)

Γu=σ(Wu[c<t−1>,x<t>]+bu)Γu=σ(Wu[c<t−1>,x<t>]+bu)

\Gamma_u=\sigma(W_u[c^{},x^{}]+b_u)

c<t>=Γ∗c~<t>+(1−Γu)∗c<t−1>c<t>=Γ∗c~<t>+(1−Γu)∗c<t−1>

c^{}=\Gamma*\tilde c^{}+(1-\Gamma_u)*c^{}

其中，c<t−1>=a<t−1>c<t−1>=a<t−1>c^{}=a^{}，c<t>=a<t>c<t>=a<t>c^{}=a^{}。ΓuΓu\Gamma_u意为gate，记忆单元。当Γu=1Γu=1\Gamma_u=1时，代表更新；当Γu=0Γu=0\Gamma_u=0时，代表记忆，保留之前的模块输出。这一点跟CNN中的ResNets的作用有点类似。因此，ΓuΓu\Gamma_u能够保证RNN模型中跨度很大的依赖关系不受影响，消除梯度消失问题。

上面介绍的是简化的GRU模型，完整的GRU添加了另外一个gate，即ΓrΓr\Gamma_r，表达式如下：

c~<t>=tanh(Wc[Γr∗c<t−1>,x<t>]+bc)c~<t>=tanh(Wc[Γr∗c<t−1>,x<t>]+bc)

\tilde c^{}=tanh(W_c[\Gamma_r*c^{},x^{}]+b_c)

Γu=σ(Wu[c<t−1>,x<t>]+bu)Γu=σ(Wu[c<t−1>,x<t>]+bu)

\Gamma_u=\sigma(W_u[c^{},x^{}]+b_u)

Γr=σ(Wr[c<t−1>,x<t>]+br)Γr=σ(Wr[c<t−1>,x<t>]+br)

\Gamma_r=\sigma(W_r[c^{},x^{}]+b_r)

c<t>=Γ∗c~<t>+(1−Γu)∗c<t−1>c<t>=Γ∗c~<t>+(1−Γu)∗c<t−1>

c^{}=\Gamma*\tilde c^{}+(1-\Gamma_u)*c^{}

a<t>=c<t>a<t>=c<t>

a^{}=c^{}

注意，以上表达式中的∗∗*表示元素相乘，而非矩阵相乘。

10. Long Short Term Memory(LSTM)

LSTM是另一种更强大的解决梯度消失问题的方法。它对应的RNN隐藏层单元结构如下图所示：

相应的表达式为：

c~<t>=tanh(Wc[a<t−1>,x<t>]+bc)" role="presentation">c~<t>=tanh(Wc[a<t−1>,x<t>]+bc)c~<t>=tanh(Wc[a<t−1>,x<t>]+bc)

\tilde c^{}=tanh(W_c[a^{},x^{}]+b_c)

Γu=σ(Wu[a<t−1>,x<t>]+bu)Γu=σ(Wu[a<t−1>,x<t>]+bu)

\Gamma_u=\sigma(W_u[a^{},x^{}]+b_u)

Γf=σ(Wf[a<t−1>,x<t>]+bf)Γf=σ(Wf[a<t−1>,x<t>]+bf)

\Gamma_f=\sigma(W_f[a^{},x^{}]+b_f)

Γo=σ(Wo[a<t−1>,x<t>]+bo)Γo=σ(Wo[a<t−1>,x<t>]+bo)

\Gamma_o=\sigma(W_o[a^{},x^{}]+b_o)

c<t>=Γu∗c~<t>+Γf∗c<t−1>c<t>=Γu∗c~<t>+Γf∗c<t−1>

c^{}=\Gamma_u*\tilde c^{}+\Gamma_f*c^{}

a<t>=Γo∗c<t>a<t>=Γo∗c<t>

a^{}=\Gamma_o*c^{}

LSTM包含三个gates：ΓuΓu\Gamma_u，ΓfΓf\Gamma_f，ΓoΓo\Gamma_o，分别对应update gate，forget gate和output gate。

如果考虑c<t−1>c<t−1>c^{}对ΓuΓu\Gamma_u，ΓfΓf\Gamma_f，ΓoΓo\Gamma_o的影响，可加入peephole connection，对LSTM的表达式进行修改：

c~<t>=tanh(Wc[a<t−1>,x<t>]+bc)c~<t>=tanh(Wc[a<t−1>,x<t>]+bc)

\tilde c^{}=tanh(W_c[a^{},x^{}]+b_c)

Γu=σ(Wu[a<t−1>,x<t>,c<t−1>]+bu)Γu=σ(Wu[a<t−1>,x<t>,c<t−1>]+bu)

\Gamma_u=\sigma(W_u[a^{},x^{},c^{}]+b_u)

Γf=σ(Wf[a<t−1>,x<t>,c<t−1>]+bf)Γf=σ(Wf[a<t−1>,x<t>,c<t−1>]+bf)

\Gamma_f=\sigma(W_f[a^{},x^{},c^{}]+b_f)

Γo=σ(Wo[a<t−1>,x<t>,c<t−1>]+bo)Γo=σ(Wo[a<t−1>,x<t>,c<t−1>]+bo)

\Gamma_o=\sigma(W_o[a^{},x^{},c^{}]+b_o)

c<t>=Γu∗c~<t>+Γf∗c<t−1>c<t>=Γu∗c~<t>+Γf∗c<t−1>

c^{}=\Gamma_u*\tilde c^{}+\Gamma_f*c^{}

a<t>=Γo∗c<t>a<t>=Γo∗c<t>

a^{}=\Gamma_o*c^{}

GRU可以看成是简化的LSTM，两种方法都具有各自的优势。

11. Bidirectional RNN

我们在第3节中简单提过Bidirectional RNN，它的结构如下图所示：

BRNN对应的输出y<t>y<t>y^{}表达式为：

y^<t>=g(Wy[a→<t>,a←<t>]+by)y^<t>=g(Wy[a→<t>,a←<t>]+by)

\hat y^{}=g(W_{y}[a^{\rightarrow },a^{\leftarrow }]+b_y)

BRNN能够同时对序列进行双向处理，性能大大提高。但是计算量较大，且在处理实时语音时，需要等到完整的一句话结束时才能进行分析。

12. Deep RNNs

Deep RNNs由多层RNN组成，其结构如下图所示：

与DNN一样，用上标[l][l][l]表示层数。Deep RNNs中a[l]<t>a[l]<t>a^{[l]}的表达式为：

a[l]<t>=g(W[l]a[a[l]<t−1>,a[l−1]<t>]+b[l]a)a[l]<t>=g(Wa[l][a[l]<t−1>,a[l−1]<t>]+ba[l])

a^{[l]}=g(W_a^{[l]}[a^{[l]},a^{[l-1]}]+b_a^{[l]})

我们知道DNN层数可达100多，而Deep RNNs一般没有那么多层，3层RNNs已经较复杂了。

另外一种Deep RNNs结构是每个输出层上还有一些垂直单元，如下图所示：

至此，第一节笔记介绍完毕！

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