数据结构（三）—树

树的定义

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根在上，而叶在下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。除根节点外，其余结点被分成m(m > 0)个互不相交的集合T1、T2、…… 、Tm，其中每一个集合Ti(1 <= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，但可以有0个或多个后继。

树的样例

这里一颗树有且只有一个根节点（图中：A），然后以B为节点的数称为数A的左子树，然后以C为节点的称为右子树。
我们在这里介绍一些树的概念

树的概念

（1）结点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；A的为2，即B、C。

（2）叶结点：度为0的节点称为叶结点；如上图：K、J、L…等为叶结点。

（3）双亲结点或父结点：若一个节点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点。

（4）孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子节点。

（5）兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点。

（6）树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为3。

（7）结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。

（8）树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4。

（9）节点的祖先：从根到某一结点所经分支上的所有结点；如上图：D、A是K的祖先；A是所有结点的公共祖先。

（10）子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。

（11）森林：多棵互不相交的树的集合称为森林。

树的初始化

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType data; // 结点中的数据域
};

二叉树

二叉树的概念及其特点

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合为空，或者是由一个根节点加上两棵称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

（1）每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
（2）二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

二叉树分类

二叉树分为完全二叉树，满二叉树，及普通二叉树。
这里我们主要讲完全二叉树和满二叉树

满二叉树

1）满二叉树

每一层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
也就是说，如果一个二叉树的层数为K（根节点是第1层），且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

2）完全二叉树

完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
也就是说：完全二叉树的叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点从左到右连续；前K-1层是满的二叉树。

二叉树的实现

typedef int BTData;
typedef struct BinaryTree
{BTData x;//数据域struct BinaryTree* left;//左子树的根节点struct BinaryTree* right;//右子树的根节点
}BTNode;

二叉树的遍历
前序遍历

//前序遍历：根 左子树 右子树
void PrevOrder(BTNode* root)
{//root为空是递归的终止条件if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%c ", root->x);//访问根，这里进行打印操作，也可进行其他操作PrevOrder(root->left);//递归访问左子树PrevOrder(root->right);//递归访问右子树
}

中序遍历

//中序遍历：左子树 根 右子树
void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%c ", root->x);InOrder(root->right);
}

后续遍历

//后序遍历：左子树 右子树 根
void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%c ", root->x);
}

二叉树的操作

1）求某层节点个数

int TreeKLevelSize(BTNode* root, BTData k)
{if (root == NULL)return 0;//root != NULLif (k == 1)return 1;return TreeKLevelSize(root->left, k - 1) + TreeKLevelSize(root->right, k - 1);
}

2）一棵树的结点总个数

int TreeSize2(BTNode* root)
{//结点是空则为0，否则为左右子树的结点个数加上1（这个不为空的结点是1个结点）return root == NULL ? 0 : (TreeSize2(root->left) + TreeSize2(root->right) + 1);
}

3）一棵树的叶子结点个数

int LeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)//空结点不计数return 0;else if (root->left == NULL && root->right == NULL)//是叶子结点计数return 1;elsereturn LeafSize(root->left) + LeafSize(root->right);
}

4）查找某个值

BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTData x)
{BTNode* leftRet = NULL;BTNode* rightRet = NULL;if (root == NULL)//是空返回return NULL;if (root->x == x)//找到return root;//代码运行到这里说明root不是空，且root的值不为xleftRet = TreeFind(root->left, x);//去root的左子树找if (leftRet != NULL)//leftRet不是空说明找到了return leftRet;//代码运行到这里说明root不是空，且root的值不为x，且root的左子树中没有值为x的结点rightRet = TreeFind(root->right, x);if (rightRet != NULL)return rightRet;//代码运行到这里说明root不是空，且root的值不为x，且root的左右子树中均没有值为x的结点//说明树中没有值为x的结点，返回空return NULL;
}

树的搜索方式

广度优先搜索

广度搜索，顾名思义，就是更大范围内搜索，先访问完当前顶点的所有邻接点，然后再访问下一层的所有节点，该算法适用于解决最短、最小路径等问题，但是构建广度优先算法需要维护自己的队列。

广度搜索是同时搜索所有路径，相当于一层一层地搜索，就好比波浪的扩展一样。此搜索方法跟树的层次遍历类似，因此宽度搜索一般都用队列存储结构。

比如二叉树的层次遍历，我们大概会有如下几个步骤：

向Queue中放入root节点。
只要这个Queue中有元素就一直遍历。
每次遍历时，首先计算一下当前Queue里有多少个元素，这就是这棵树当前层级元素的数量，记作Size。
接下来从Queue中移除Size中的多个元素，对他们进行符合我们题目的一些操作。
移除每个节点时，把它们的子节点添加进Queue中。
只要Queue中还有元素，说明还有下一个层级，就一直重复步骤3去处理下一个层级。
图解

算法实现：

static const int dirs[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};
void bfs(int row, int col) {if (row,col满足某种条件) {return;}int * queue = (int *)malloc(sizeof(int) * m * n);int head = 0;int tail = 0; 双指针实现队列先进先出queue[tail++] = row * n + col; while (head != tail) {int row = queue[head] / n;int col = queue[head] % n;head++;for (int i = 0; i < 4; i++) {int newRow = row + dirs[i][0], newCol = col + dirs[i][1];if 满足某种条件(newRow >= 0 && newRow < m && newCol >= 0 && newCol < n &&……) {对点进行某种操作操作queue[tail++] = newRow * n + newCol;}}}free(queue);
}

深度优先搜索

算法简介

DFS是可用于遍历树或者图的搜索算法，DFS与回溯法类似，一条路径走到底后需要返回上一步，搜索第二条路径。在树的遍历中，首先一直访问到最深的节点，然后回溯到它的父节点，遍历另一条路径，直到遍历完所有节点。图也类似，如果某个节点的邻居节点都已遍历，回溯到上一个节点。

深度优先搜索是图论中的经典算法，利用深度优先搜索算法可以产生目标图的相应拓扑排序表，利用拓扑排序表可以方便的解决很多相关的图论问题，如最大路径问题等等。一般用栈数据结构来辅助实现DFS算法。根据深度优先搜索的特点，采用递归函数实现比较简单。但也可以不采用递归

图解：

代码实现

int dxy[4][2]={//模拟上下左右四个方向-1,0,//向上（x减一，y不变）1, 0,//向下0,-1,//向左0, 1//向右}
void dfs(int x0,int y0)
{if(x0,y0满足某种条件)//找到目标点{//执行操作如输出路径等return；}for(int i=0;i<4;i++)//遍历四个方向每一个分支，对每一个分支都进行深度搜索{int dx=dxy[i][0];//移动后的横坐标int dy=dxy[i][1];//移动后的纵坐标if(坐标越界||遇到障碍物||...)//不满足条件continue;//执行操作dfs(dx,dy)//深度遍历//遍历结束恢复操作}
}