岸上的猫和水里的老鼠

这是我在2007年7月9日发在魔方吧论坛的一道智力题。从小一直很热衷于思考各种有趣的题目，这道题则是我根据一个很简单的猫和老鼠的题目扩展出来的。

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魔方的帖子原文如下（查看原贴点此链接）

想到一个有趣的题：
有一个圆形的湖，直径100米。
一只老鼠在湖心处游泳，岸边来了一只猫。
猫很饿啊，到嘴边的美味自然不会放过，可是猫不会游泳，只好绕着湖岸追老鼠跑。
猫的速度是10m/s，那么，老鼠游泳速度至少要多少才能安全逃上岸呢？
（老鼠到岸边时，若猫没有到达老鼠的位置，老鼠便安全了）
我想，老鼠大可不必沿着半径直线游回岸边去，所以，它可以游得比3.18m/s更慢一些。。。那是怎样的路线呢?

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下面是顺着思路考虑下来的三种想法：

第一种路线，老鼠从湖心沿着半径径直向猫的对面的那一点狂奔，如图，这样算得它需要的最小速度大约是3.18m/s。

第二种路线，引入了一个中转站，也就是图中虚线的圆形位置。老鼠在这个圆形的线上游的时候，老鼠和猫能总保持一样的角速度，这样，老鼠有能力一直和猫处在同一条直径，但是在圆心两侧的位置，减小了老鼠逃跑的距离。到达这一安全的中转站后，老鼠要拼命的向离它最近的岸边跑，如图，这条路线老鼠最少需要的速度大约是2.41m/s。

第三种路线，在使用安全中转位置的同时，让老鼠向一个垂直的方向跑。这样子老鼠逃跑的距离增加了，但是，猫却得绕一大圈才追得到老鼠。这个路线大家可能会有疑问，说猫为什么要绕这么一大圈，而不是回过头来追。但仔细分析一下老鼠逃跑的过程就会发现，猫回过头追的话，老鼠也会采取调整方向的策略，会让猫更吃亏！如图，这条路线算得老鼠最少速度需要达到2.17m/s。

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这是一道寻找最优解的问题，上述第三种结果就是我找到的最小答案了，但是没能证明它就是最小的。

这道题后来被钟七珍转载到了百度的思维定势吧，大家讨论的结果和我的答案一致（贴吧链接）。

在魔方吧论坛的讨论贴中，29#金眼睛也对这道题的解法做了详细的分析，同意2.17m/s就是这道题的最小答案。

大家有兴趣可以把这道已知条件很少的小题作为一个思维训练，想一想充满智慧的老鼠会如何逃脱猫的魔爪^^

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