UKF滤波的简单理解与仿真

一、简单理解(不严谨)

UKF的本质是利用随机采样的条件均值代替均值，使用被估计量和量测量的再现样本点计算两者的方差阵。通常通过选取(2n+1)个Sigma点来拟合均值和方差，再用得到的方差去更新卡尔曼增益系数和状态误差。

假设存在非线性系统：

1）首先选取Sigma点(也就是常说的UT变换)，使其满足：

2）将得到的Sigma点矩阵乘以相应的状态转移矩阵，得到预测点 Xi(或者表示为Xk|k-1)，再次重复步骤1，根据预测值，再次使用UT变换，得到新的sigma点集同理可以得到量测点。通过乘以相应的权值可以得到新的均值协方差。

二、代码仿真

这里转载文章：UKF学习笔记之匀速直线运动目标跟踪_扛着小兵逃跑的博客-CSDN博客的代码

function UKF
clc;
clear;
T=1;           % 采样周期
N=60/T;        % 采样次数
X=zeros(4,N);  % 初始化真实轨迹矩阵
X(:,1)=[100 2 200 20]; % 目标初始位置、速度
Z=zeros(1,N);  % 初始化 观测距离矩阵
w =1e-5;
Q = w*diag([0.5,1]); % 过程噪声协方差矩阵
G=[T^2/2, 0;T,    0;0,T^2/2;0,    T]; % 过程噪声驱动矩阵
R=5;            % 观测噪声协方差
F=[1 T 0 0;0 1 0 0;0 0 1 T;0 0 0 1];    % 状态转移矩阵
Xstation=[200,300];  % 观测位置
V = sqrt(R)*randn(1,N);    % v均值为0，协方差为R的高斯白噪声 %sqrt(A)矩阵每个元素分别开方,与矩阵点乘有关;sqrtm(A)矩阵为整体,与矩阵相乘有关
W = sqrt(Q)*randn(2,1);    % W均值为0，协方差为Q的高斯白噪声
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for t=2:N X(:,t)=F*X(:,t-1)+G*W; % 目标的真实轨迹
end
for t=1:NZ(t)=Distance(X(:,t),Xstation)+V(t);  % 真实观测目标位置
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% UKF滤波 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
L=4;     % L为状态维度
a=1;     % a控制采样点的分布状态
k=1;     % k为待选参数 没有界限，但是要保证（n+lamda）*P为半正定矩阵
b=2;     % b非负的权系数
lambda=a*a*(L+k)-L; % lambda为缩放比列参数，用于降低总的预测误差
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% sigma点的权值 %%%%%%%%%%%%%%%%%
Wm=zeros(1,2*L+1);
Wc=zeros(1,2*L+1);
Wm(1)=lambda/(L+lambda);
Wc(1)=lambda/(L+lambda)+1-a*a+b; % 第一个采样点的均值和协方差的权值
for j=2:2*L+1      % 剩下2n个sigma点的均值和协方差的权值Wm(j)= lambda/(2*(L+lambda));  % 下标m为均值的权值Wc(j)= lambda/(2*(L+lambda));  % 下标c为协方差的权值
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Xukf = zeros(4,N);
Xukf(:,1)=X(:,1);  %无迹Kalman滤波状态初始化
P0=eye(4);         %协方差阵初始化
for t=2:Nxestimate = Xukf(:,t-1);P=P0;
%%%%%%% 第一步:获得一组采样点，Sigma点集 %%%%%%%%%%%%%%cho=(chol(P*(L+lambda)))';  % cho=chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，产生一个上三角阵cho，使cho'cho=X。若X为非对称正定，则输出一个出错信息。for k=1:LxgamaP1(:,k)=xestimate+cho(:,k);xgamaP2(:,k)=xestimate-cho(:,k);endXsigma=[xestimate xgamaP1 xgamaP2]; % 获得 2L+1 个Sigma点
%第二步:对Sigme点集进行一步预测Xsigmapre=F*Xsigma;
%第三步：利用第二部结果计算均值和协方差Xpred=zeros(4,1);for k=1:2*L+1Xpred=Xpred+Wm(k)*Xsigmapre(:,k);endPpred=zeros(4,4); %协力差阵预测for k=1:2*L+1Ppred=Ppred+Wc(k)*(Xsigmapre(:,k)-Xpred)*(Xsigmapre(:,k)-Xpred)';endPpred=Ppred+G*Q*G';
%第四步:根据预测值，再次使用UT变换，得到新的sigma点集chor=(chol((L+lambda)*Ppred))';for k=1:LXaugsigmaP1(:,k)=Xpred+chor(:,k);XaugsigmaP2(:,k)=Xpred-chor(:,k);endXaugsigma=[Xpred XaugsigmaP1 XaugsigmaP2];
%第五步:观测预测for k=1:2*L+1 %观测预测Zsigmapre(1,k)=h(Xaugsigma(:,k),Xstation);end
%第六步:计算观测预测均值和协方差Zpred=0; %观测预测的均值for k=1:2*L+1Zpred=Zpred+ Wm(k)*Zsigmapre(1,k);endPzz=0;for k=1:2*L+1Pzz=Pzz+Wc(k)*(Zsigmapre(1,k)-Zpred)*(Zsigmapre(1,k)-Zpred)';endPzz=Pzz+R; %得到协方差PzzPxz= zeros(4,1);for k=1:2*L+1Pxz=Pxz+Wc(k)*(Xaugsigma(:,k)-Xpred)*(Zsigmapre(1,k)-Zpred)';end
%第七步:计算Kalman增益K=Pxz/Pzz;  % Kalman
%第八步:状态和方差更新Xukf(:,t)=Xpred+K*(Z(t)-Zpred);% 状态更新P=Ppred-K*Pzz*K'; %方差更新P0=P;
end
%6误差分析
Err_KalmanFilter=zeros(2,N);
for i=1:NErr_KalmanFilter(1,i)=X(1,i)-Xukf(1,i); %滤波后的误差Err_KalmanFilter(2,i)=X(3,i)-Xukf(3,i);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure
hold on;box on;
plot(X(1,:),X(3,:),'-B.');       %真实轨迹
plot(Xukf(1,:),Xukf(3,:),'-rs'); %无迹Kalman滤波轨迹
legend('真实轨迹','UKF轨迹')
xlabel('横向坐标-X/m')
ylabel('纵向坐标-Y');
figure
hold on;
box on;
plot(Err_KalmanFilter(1,:),'-kd','MarkerFace','r');
xlabel('时间/s');
ylabel('横向坐标误差/m');
figure
plot(Err_KalmanFilter(2,:),'-bd','MarkerFace','g');
xlabel('时间/s');
ylabel('纵向坐标误差/m');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%子函数:求两点间的距离
function d=Distance(X1,X2)d=sqrt((X1(1)- X2(1))^2 + (X1(3)-X2(2))^2);
end
%观测子函数:观测距离
function [y]=h(x,xx)
y=sqrt((x(1)-xx(1))^2+(x(3)-xx(2))^2);
end
end

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