3.4.3 Electric Fence电网 USACO(毕克定理) USACO
题目描述
在这道题目中,“格点”指的是整点(整数坐标点)。
为了管理他的牛们,FJ用几条通着电的铁丝建造了一个三角形的围栏,从原点(0,0)到整点(n,m),再到x正半轴上的点(p,0),再回到原点。
奶牛能被放在围栏里的每个格点上。不能把奶牛放在有围栏的格点上。给出围栏,最多能放几只奶牛呢?
输入
一行包含 n,m,p。
输出
一行包含提到的奶牛数
样例输入
7 5 10
样例输出
20
题解:
使用数学方法:毕克定理
学过小学奥数的都知道,毕克定理的定义为
给定顶点坐标均是整点(或正方形格点)的简单多边形,其面积=内部各点数+外部个点数/2-1
而本题中,我们要求的不是面积!而是内部各点数!
内部格点数的公式可以通过以上式子转化为:内部各点数=其面积-外部格点数/2+1
式子中的面积可以通过底×高÷2得到,所以剩下的问题就是求外部格点数了
经过一定的尝试就可以得到外部个点数的求法了:三角形边(0,0)->(n,m)的格点数为gcd(n,m),同理,三角形边(n,m)->(p,0)的格点数为gcd(abs(p-n),m),三角形边(p,0)->(0,0)的格点数为p
所以,外部个点数=gcd(n,m)+gcd(abs(p-n),m)+p
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,p;
int Get_Gcd(int a,int b)
{if(b==0)return a;return Get_Gcd(b,a%b);
}
int Get_Pick()
{int Outside_Node=Get_Gcd(n,m)+Get_Gcd(abs(p-n),m)+p;int S=(p*m)/2;int Inside_Node=S-Outside_Node/2+1;return Inside_Node;
}
int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);printf("%d\n",Get_Pick());
}
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