天天爱跑步【树上差分】

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很好的一道题目，主要是要想到这个方向。

首先，很容易想到的是，S到T的路径可以拆分成S~LCA和LCA~T这两条，现在，我们假设有一个点x满足条件，那么可以列出怎样的恒等式呢？

$deep[S] - deep[x] = W[x]$ 表示x到S的路径长度为W[x]。这样说明的是到S的，是S~LCA这条链上的，但是换成LCA~T那条链上的话呢，那又是怎样？

$W[x] - (deep[S] - deep[LCA]) = deep[x] - deep[LCA]$ ，意味着我们走到LCA的剩余时间再走到x，将上面两个式子化简一下，我们可以得到：

$deep[S] = deep[x] + W[x]$ （等式一）

$2 * deep[LCA] - deep[S] = deep[x] - W[x]$ （等式二）

我们可以发现等式的左边就是一个恒值，不变值。统计答案可以通过统计等式右边的值来得到，于是，我们可以在树上维护左边的值，查询的时候只需要查询该子树下右边的值的个数即可。

主要的思维就是在这了，其余的部分就不是太难处理了，可以利用差分的方式来解决问题。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 3e5 + 7;
int N, M, head[maxN], cnt, deep[maxN], root[maxN][20], LOG2[maxN], W[maxN];
struct Eddge
{int nex, to;Eddge(int a=-1, int b=0):nex(a), to(b) {}
}edge[maxN << 1];
inline void addEddge(int u, int v)
{edge[cnt] = Eddge(head[u], v);head[u] = cnt++;
}
inline void _add(int u, int v) { addEddge(u, v); addEddge(v, u); }
void pre_dfs(int u, int fa)
{root[u][0] = fa; deep[u] = deep[fa] + 1;for(int i=0; i<LOG2[N]; i++) root[u][i + 1] = root[root[u][i]][i];for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex){v = edge[i].to;if(v == fa) continue;pre_dfs(v, u);}
}
inline int LCA(int u, int v)
{if(deep[u] < deep[v]) swap(u, v);int det = deep[u] - deep[v];for(int i=LOG2[det]; i>=0; i--) if((det >> i) & 1) u = root[u][i];if(u == v) return u;for(int i=LOG2[N]; i>=0; i--){if(root[u][i] ^ root[v][i]){u = root[u][i];v = root[v][i];}}return root[u][0];
}
vector<int> delt[maxN], put_in[maxN], redelt[maxN];
int s1[maxN << 1] = {0}, sum[maxN] = {0}, ans[maxN] = {0};
void dfs_1(int u, int fa)
{int old = s1[deep[u] + W[u]];for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex){v = edge[i].to;if(v == fa) continue;dfs_1(v, u);}s1[deep[u]] += sum[u];ans[u] += s1[deep[u] + W[u]] - old;for(auto x : delt[u]){if(deep[x] - deep[u] == W[u]) ans[u]--; //之后还会被算一遍s1[deep[x]] --;}
}
unordered_map<int, int> s2;
void dfs_2(int u, int fa)
{int old = s2[deep[u] - W[u]];for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex){v = edge[i].to;if(v == fa) continue;dfs_2(v, u);}for(auto x : put_in[u]){s2[x] ++;}ans[u] += s2[deep[u] - W[u]] - old;for(auto x : redelt[u]){s2[x] --;}
}
inline void init()
{cnt = 0;for(int i=1; i<=N; i++) head[i] = -1;for(int i=1, j = 2, k = 0; i < maxN; i++){if(i == j) { k++; j <<= 1; }LOG2[i] = k;}
}
int main()
{scanf("%d%d", &N, &M);init();for(int i=1, u, v; i<N; i++){scanf("%d%d", &u, &v);_add(u, v);}deep[0] = 0;pre_dfs(1, 0);for(int i=1; i<=N; i++) scanf("%d", &W[i]);for(int i=1, Si, Ti, _lca; i<=M; i++){scanf("%d%d", &Si, &Ti);_lca = LCA(Si, Ti);sum[Si]++; delt[_lca].push_back(Si);put_in[Ti].push_back(2 * deep[_lca] - deep[Si]);redelt[_lca].push_back(2 * deep[_lca] - deep[Si]);}dfs_1(1, 0);dfs_2(1, 0);for(int i=1; i<=N; i++) printf("%d%c", ans[i], i == N ? '\n' : ' ');return 0;
}

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